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中考專題復(fù)習(xí)——幾何題用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”模型 一、教學(xué)目標(biāo)： 1.了解并熟悉“手拉手模型”，歸納掌握其基本特征． 2.借助“手拉手模型”，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等解決相關(guān)問題． 3.舉一反三，解決求定值，定角，最值等一類問題． 二、教學(xué)重難點(diǎn)： 1.挖掘和構(gòu)造“手拉手模型”，學(xué)會用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等． 2.用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的解題方法最優(yōu)化選擇． 三、教學(xué)過程： 1.復(fù)習(xí)舊知 師：如圖，△ABD，△BCE為等邊三角形，從中你能得出哪些結(jié)論？ 生：（1）△ABE≌△DBC （2）△ABG≌△DBF （3）△CFB≌△EGB （4）△BFG為等邊三角形 （5）△AGB∽△DGH （6）∠DHA＝60（7）H，G，F(xiàn)，B四點(diǎn)共圓 （8）BH平分∠AHC …… 師：我們再來重點(diǎn)研究△ABE與△DBC，這兩個全等的三角形除了對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等外，還有什么共同特征呢？ 生：它們有同一個字母B，即同一個頂點(diǎn)B． 師：我們也可以把△DBC看作由△ABE經(jīng)過怎樣的圖形運(yùn)動得到？ 生：繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到． 2.引入新課 師：其實(shí)我們可以給這兩個全等的三角形賦予一個模型，叫“手拉手模型”，誰可以將這個模型的特征再做進(jìn)一步的簡化歸納呢？ 生：對應(yīng)邊相等． 師：我們可以稱之為“等線段”． 生：有同一個頂點(diǎn)． 師：我們可以稱之為“共頂點(diǎn)”． 師：等線段，共頂點(diǎn)的兩個全等三角形，我們一般可以考慮哪一種圖形運(yùn)動？ 生：旋轉(zhuǎn)． 師： “手拉手模型”可以歸納為：等線段，共頂點(diǎn)，一般用旋轉(zhuǎn)． 3.小題熱身 圖3 圖2 圖1 1．如圖1，△BAD中，∠BAD＝45，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C， 則AF＝____BE． 2．如圖2，△ABC和△BED均為等邊三角形，ADE三點(diǎn)共線，若BE＝2，CE＝4，則AE＝______． 3．如圖3，正方形ABCD中，∠EAF＝45， BE＝3，DF＝5，則EF＝_______． 師：我們來看第1，第2題，這里面有“手拉手模型”嗎？請你找出其中的“等線段，共頂點(diǎn)”． 生：題1中，等線段是AC，BC，共頂點(diǎn)是C，△ACF繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90得△BCD． 題2中，等線段是AB，BC，共頂點(diǎn)是B，△ABD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60得△CBE． 師：我們再來看第3題，這里有“手拉手模型”嗎？ 生：沒有． 師：那其中有沒有“等線段，共頂點(diǎn)”呢？ 生：等線段是AD，AB，共頂點(diǎn)是A． 師：我們可否利用旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造“手拉手模型”呢？ 生：將AE旋轉(zhuǎn)，繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90． 師：為什么是逆時針旋轉(zhuǎn)90，你是如何思考的？ 生：我準(zhǔn)備構(gòu)造一個和△ABE全等的三角形， AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90即為AD，那么將AE逆時針旋轉(zhuǎn)90可得AG，連接GD，證明全等． 師：說的不錯，誰能再來歸納一下，借助“手拉手模型”，用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法嗎？ 生：先找有沒有“等線段，共頂點(diǎn)”，再找其中一條 “共頂點(diǎn)”的線段，將其旋轉(zhuǎn)． 師：旋轉(zhuǎn)角度如何確定，方向怎么選擇？ 生：選擇其中一個三角形，將“共頂點(diǎn)”的線段旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)角為兩條“等線段”間的夾角．方向應(yīng)與所選擇的起始“等線段”旋轉(zhuǎn)到另一條“等線段”時的方向一致． 師：非常棒，可以說，你已經(jīng)掌握了這節(jié)課的精髓．但是，很多題目中只是隱含了“手拉手模型”的一些條件，剩余的需要我們自己去構(gòu)造，可以如何構(gòu)造呢？ 步驟1：先找有沒有“等線段，共頂點(diǎn)”． 步驟2：選擇其中一個三角形，將其中經(jīng)過 “共頂點(diǎn)”的線段旋轉(zhuǎn)． 步驟3：旋轉(zhuǎn)方向與這個三角形的“等線段”旋轉(zhuǎn)到另一條“等線段”的方向一致，旋轉(zhuǎn)角為“等線段”間的夾角． 師：這道題還有一個要注意的地方，你發(fā)現(xiàn)了嗎？ 生：連接GD后，要證明G，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 4.例題精講 例1：等邊△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度數(shù)． 師：這里有沒有隱含的“手拉手模型”？ 要構(gòu)造全等，該怎樣旋轉(zhuǎn)？ 生：將△ADC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60． 師：你是怎么想的，還有其他做法嗎？ 生：我發(fā)現(xiàn)AB＝AC，A為“共頂點(diǎn)”，我選擇的旋轉(zhuǎn)線段 是AD，因?yàn)锳C繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60到AB，所以△ADC也要繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60．也可將△ADB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60． 【解答】 將AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60到AE，連接BE，DE．則△ADE也為等邊三角形．易證△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根據(jù)勾股定理逆定理，可證∠BED＝90，則∠AEB＝∠ADC＝150 例2： 如圖，△ABO和△CDO均為等腰直角三角形， AOB＝COD＝90．若△BOC的面積為1， 試求以AD、BC、OC＋OD的長度為三邊長的三角形的面積． 師：由于線段分散，如何通過圖形變換，使這些線段能構(gòu)成一個三角形？ 生：將OD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90至OE，即可使OC，OD共線，再通過證明確定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的長度為三邊長的三角形． 【解答】 如圖，將OD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90至OE，連接BE．易證△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD長度為三邊長的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2． 5.自主練習(xí) 1．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45，則BD的長為_________． 師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法． 生：“等線段”是CA和BA，“共頂點(diǎn)”是A．方法是將AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90． 2．如圖，在△ABC中，BC＝2，AB＝，以AC為邊，向外做正方形ACDE，連接BE，則BE最大值為_________． 師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法． 生：“等線段”是CA和EA，“共頂點(diǎn)”是A． 方法是將AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90． 師：你為何要逆時針旋轉(zhuǎn)，你準(zhǔn)備旋轉(zhuǎn)哪個三角形？ 生：△ABC，因?yàn)锳C是逆時針旋轉(zhuǎn)90到AE，所以AB也繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90． 3．如圖，點(diǎn)A在⊙B上，AB＝1，BC＝2，△ACD是等邊三角形，求△BCD面積的最大值． 師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法． 生：“等線段”是CA和CD，“共頂點(diǎn)”是C． 方法是將CA繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60． 附：自主練習(xí)解答 1． 如圖，將AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90至AE，易證△EAC≌△DAB，可得CE＝BD，又∵∠EDA＝45，∴∠CDE＝90，CD＝3，DE＝4，則Rt△CDE中，CE2＝CD2＋DE2＝32 ＋ (4)2＝41 ∴CE＝，∴DB＝ 2.如圖，將AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90至AF，易證△EAF≌△CAB，可得EF＝BC＝2．Rt△BAF中，AF＝AB＝，∴BF＝2．由三角形三邊關(guān)系易知，BE≤EF＋BF，∴BE最小值為4. 3.如圖，將CB繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60至CE，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥CB于F，過點(diǎn)D作DG⊥CB于G．易證△CBA≌CED， 則DE＝1，EF＝，過E作DG邊上的高，可證DG＜DE＋EF． 當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，DG＝DE＋EF．即高的最大值為1＋， S△BCDmax＝2（1＋）＝1＋