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2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 乘法中的巧算 　　上一講我們介紹了乘、除法的一些運算律和性質(zhì)，它是乘、除法中巧算的理論根據(jù)，也給出了一些巧算的方法。本講在此基礎上再介紹一些乘法中的巧算方法。 　　1.乘11，101，1001的速算法。 　　一個數(shù)乘以11，101，1001時，因為11，101，1001分別比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得 　　a11=a(10＋1)=10a＋a， 　　a101=a(101＋1)=100a＋a， 　　a1001=a(1000＋1)=1000a＋a。 　　例如，38101=38100＋38=3838。 　　2.乘9，99，999的速算法。 　　一個數(shù)乘以9，99，999時，因為9，99，999分別比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得 　　a9=a(10-1)=10a-a， 　　a99=a(100-1)=100a- a， 　　a999=a(1000-1)=1000a-a。 　　例如，1899=18100-18=1782。 　　上面講的兩類速算法，實際就是乘法的湊整速算。湊整速算是當乘數(shù)接近整十、整百、整千……的數(shù)時，將乘數(shù)表示成上述整十、整百、整千……與一個較小的自然數(shù)的和或差的形式，然后利用乘法分配律進行速算的方法。 例1 計算： (1) 3561001 　?。?56(1000＋1) 　?。?561000＋356 　　＝356000＋356 　?。?56356； (2) 38102 　?。?8(100＋2) 　?。?8100＋382 　?。?3800＋76 　?。?876； (3)52699 　?。?26(100-1) 　?。?526100-526 　?。?52600-526 　　＝52074； (4)12349998 　?。?1234(10000-2) 　?。?23410000-12342 　?。?2340000-2468 　　＝12337532。 　　3.乘5，25，125的速算法。 　　一個數(shù)乘以 5，25，125時，因為 52＝10，254＝100，1258＝1000，所以可以利用“乘一個數(shù)再除以同一個數(shù)，數(shù)值不變”及乘法結(jié)合律，得到 　　例如，7625＝76004＝1900。 　　上面的方法也是一種“湊整”，只不過不是用加減法“湊整”，而是利用乘法“湊整”。當一個乘數(shù)乘以一個較小的自然數(shù)就能得到整十、整百、整千……的數(shù)時，將乘數(shù)先乘上這個較小的自然數(shù)，再除以這個較小的自然數(shù)，然后利用乘法結(jié)合律就可達到速算的目的。 例2 計算： (1) 1865 　　=186(52)2 　　=18602 　　=930； (2) 96125 　　=96(1258)8 　　=960008=1xx。 　　有時題目不是上面講的“標準形式”，比如乘數(shù)不是25而是75，此時就需要靈活運用上面的方法及乘法運算律進行速算了。 例3 計算： (1) 8475 　　=(214)(253) 　　=(213)(425) 　　=63100=6300； (2)56625 　　=(78)(1255) 　　=(75)(8125) 　　=351000=35000； (3) 33125 　　=32125+1125 　　=4000+125=4125； (4) 3975 　　=(32+1)125 =(40-1)75 　　=4075-175 　　=3000-75=2925。 　　4.個位是5的兩個相同的兩位數(shù)相乘的速算法。 　　個位是5的兩個相同的兩位數(shù)相乘，積的末尾兩位是25，25前面的數(shù)是這個兩位數(shù)的首位數(shù)與首位數(shù)加1之積。例如： 　　仿此同學們自己算算下面的乘積 　　3535＝______ 5555＝______ 　　6565＝______ 8585＝______ 　　9595＝______ 　　這種方法也適用于個位數(shù)是5的兩個相同的多位 　　數(shù)相乘的計算，例如， 練習 　　用速算法計算下列各題： 　　1.(1) 68101； (2) 74201； 　　(3) 2561002； (4) 154601。 　　2.(1)459；　　(2)45799； 　　 (3)762999； (4) 3498。 　　3.(1)5365； 　(2)4375； 　　(3)63815； 　(4)73915。 　　4.(1)3225； 　(2)1725； 　　　(3)13025；　(4)6875； 　　(5)4975； (6)8775。 　　5.(1)56125； (2)77125； 　　(3)66375； (4) 256625； 　　(5)555375； (6)888875。 　　6.(1)295295； (2)705705。 附送： 2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 乘法速算 專題簡析： 我們已經(jīng)學會了整數(shù)乘法的計算方法，但計算多位數(shù)乘法要一位一位地乘，運算起來比較麻煩。其實，多位數(shù)與一些特殊的數(shù)相乘，也可以用簡便的方法來計算。 計算乘法時，如果一個因數(shù)是25，另一個因數(shù)考慮可拆成4幾，這樣可“先拆數(shù)再擴整”。兩位數(shù)、三位數(shù)乘11，可采用“兩頭一拉，中間相加”的辦法。但要注意頭尾相加作積的中間數(shù)時，哪一位上滿10要向前一位進一。 例題1 你能很快算出4325的結(jié)果嗎？ 思路導航：一個數(shù)與5相乘，因為102=5，因而可以在這個數(shù)末尾添上一個0，然后再除以2，所得的結(jié)果就是這個數(shù)與5的積。所以，我們在432的末尾添上一個零，然后再除以2就可得出結(jié)果。 練習一 很快算出下面各題的結(jié)果： 1．3215 255 415 2．4705 6295 5465 3．10325 48325 73265 例題2 試著計算下列各題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ （1）1811 （2）3811 （3）43211 思路導航：通過計算、觀察可以發(fā)現(xiàn)，一個數(shù)與11相乘，所得的結(jié)果就是將這個數(shù)的首位與末位拉開分別作為積的最高位和最低位，再依次將這個數(shù)相鄰兩位由個位起加起，和寫在十位、百位……，哪一位上滿十就向前一位進一。 （1）1811，就把8寫在個位上，8與1的和9寫在十位上，1寫在百位上，得1811=198； （2）3811，把8寫在個位上，3與8的和為11，把1寫在十位上，同時向百位進1，百位上3加1為4，得3811=418； （3）43211，把2寫在個位上，2與3的和5寫在十位上，3與的和7寫在百位上，千位上寫4，得43211=4752。 練習二：很快算出下面各題的結(jié)果。 1．1211 2311 4511 3511 2．4711 1165 1196 8711 3．13511 60311 32911 87211 例題3 你能迅速算出下面各題嗎？ （1）2415 （2）24815 （3）345615 思路導航：一個因數(shù)乘15，因為15=10＋5，那么2415就可以寫成24（10＋5），也就是用24加上它的一半再乘10，24＋12=36，再用3610=360； 24815就用248加上124得到372，再乘10為3720； 345615就用3456加上1728得到5184，再乘10為51840。 一個因數(shù)乘15，也就是用這個數(shù)加上它的一半再乘10。 練習三：速算 1．3215 7415 2815 2．43815 28415 67215 3．876215 495615 794815 例題4 下面的乘法有規(guī)律嗎？ （1）2425 （2）2125 （3）25427 （4）251923 思路導航：因為254100，因此一個數(shù)與25相乘，我們就看這個數(shù)里有幾個4，有幾個4就有幾個100，余1就加25，余2就加50，余3加75。 （1）24中有6個4，所以積是6個100； （2）21中有5個4余1，所以積是5個100加25； （3）427中有106個4余3，所以積是106個100加75； （4）1923中有480個4余3，所以積是480個100加75。 練習四：速算 1．3225 4025 2825 2．8125 3325 2527 3．47325 252562 25377 例題5 你能迅速算出下面的結(jié)果嗎？ （1）159 （2）389 （3）7299 （4）87499 思路導航：（1）我們可以先用1510=150，這樣就多加了1個15，因此我們還要從150中減去1個15，即150－15=135； （2）我們可以先用3810=380，這樣就多加了1個38，因此我們還要從380中減去1個38，即380－38=342； （3）我們可以先用72100=7200，這樣就多加了1個72，因此我們還要從7200中減去1個72，即7200－72=7128； （4）我們可以先用874100=87400，這樣就多加了1個874，因此要從87400中減去1個874，即87400－874=86526。 從上面幾題可以看出，一個數(shù)與9相乘，就用這個數(shù)乘10，再減這個數(shù)；一個數(shù)與99相乘，就用這個數(shù)乘100，再減這個數(shù)。 練習五：計算 1．529 4329 13219 2．7299 32199 723199 3．789 14299 15649 172399