浙江省2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 微專題五 以特殊三角形為背景的計(jì)算與證明訓(xùn)練.doc
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微專題五 以特殊三角形為背景的計(jì)算與證明 姓名:________ 班級(jí):________ 用時(shí):______分鐘 1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠BAC=30,E為AB邊的中點(diǎn),以BE為邊作等邊△BDE,連結(jié)AD,CD. (1)求證:△ADE≌△CDB; (2)若BC=,在AC邊上找一點(diǎn)H,使得BH+EH最小,并求出這個(gè)最小值. 2.如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別同時(shí)從點(diǎn)A,B,C出發(fā),以相同的速度在AB,BC,CA上運(yùn)動(dòng),連結(jié)DE,EF,DF. (1)證明:△DEF是等邊三角形; (2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)△CEF是直角三角形時(shí),試求的值. 3.從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線. (1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40,∠B=60,求證:CD為△ABC的完美分割線; (2)在△ABC中,∠A=48,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù); (3)如圖2,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長(zhǎng). 4.如圖,△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn). (1)求證:BD=CE; (2)若AB=2,AD=1,把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠EAC=90時(shí),求PB的長(zhǎng). 5.如圖,直角△ABC中,∠A為直角,AB=6,AC=8.點(diǎn)P,Q,R分別在AB,BC,CA邊上同時(shí)開(kāi)始作勻速運(yùn)動(dòng),2秒后三個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)R由點(diǎn)C出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中: (1)求證:△APR,△BPQ,△CQR的面積相等; (2)求△PQR面積的最小值; (3)用t(秒)(0≤t≤2)表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間,是否存在t,使∠PQR=90?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 6.問(wèn)題:(1)如圖1,在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AE,連結(jié)EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為_(kāi)_______; 探索:(2)如圖2,在Rt△ABC與Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BC邊上,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論; 應(yīng)用:(3)如圖3,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45.若BD=9,CD=3,求AD的長(zhǎng). 參考答案 1.(1)證明:在Rt△ABC中,∠BAC=30,E為AB邊的中點(diǎn), ∴BC=EA,∠ABC=60. ∵△DEB為等邊三角形, ∴DB=DE,∠DEB=∠DBE=60, ∴∠DEA=120,∠DBC=120, ∴∠DEA=∠DBC, ∴△ADE≌△CDB. (2)解:如圖,作點(diǎn)E關(guān)于直線AC對(duì)稱點(diǎn)E′,連結(jié)BE′交AC于點(diǎn)H,連結(jié)EH,AE′, 則點(diǎn)H即為符合條件的點(diǎn). 由作圖可知,EH=HE′,AE′=AE,∠E′AC=∠BAC=30, ∴∠EAE′=60,∴△EAE′為等邊三角形, ∴EE′=EA=AB,∴∠AE′B=90. 在Rt△ABC中,∠BAC=30,BC=, ∴AB=2,AE′=AE=, ∴BE′===3, ∴BH+EH的最小值為3. 2.(1)證明:∵△ABC是等邊三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60,AB=BC=CA. ∵AD=BE=CF,∴BD=CE=AF. 在△ADF,△BED和△CFE中, ∵ ∴△ADF≌△BED≌△CFE, ∴FD=DE=EF, ∴△DEF是等邊三角形. (2)解:∵△ABC和△DEF是等邊三角形, ∴△DEF∽△ABC. 當(dāng)DE⊥BC時(shí)(EF⊥BC時(shí),同理),∠BDE=30, ∴BE=BD,即BE=BC, CE=BC. ∵EF=ECsin 60=BC=BC, ∴=()2=()2=. 3.(1)證明:∵∠A=40,∠B=60, ∴∠ACB=80,∴△ABC不是等腰三角形. ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40, ∴∠ACD=∠A=40, ∴△ACD為等腰三角形. ∵∠DCB=∠A=40,∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC, ∴CD是△ABC的完美分割線. (2)解:①當(dāng)AD=CD時(shí),如圖, 則∠ACD=∠A=48. ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96. ②當(dāng)AD=AC時(shí),如圖, 則∠ACD=∠ADC==66. ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114. ③當(dāng)AC=CD時(shí),如圖, 則∠ADC=∠A=48. ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48. ∵∠ADC=∠BCD=48與∠ADC>∠BCD矛盾, ∴AC=CD不成立. 綜上所述,∠ACB=96或114. (3)解:由已知得AD=AC=2. ∵△BCD∽△BAC,∴==. 設(shè)BD=x(x>0), 則()2=x(x+2), 解得x=-1(負(fù)值舍去), ∴==, ∴CD=2=-. 4.(1)證明:∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90, ∴AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠EAC, ∴△ADB≌△AEC,∴BD=CE. (2)解:如圖,①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),BE=AB-AE=1. ∵∠EAC=90,∴CE==. 同(1)可證△ADB≌△AEC, ∴∠DBA=∠ECA. ∵∠PEB=∠AEC,∴△PEB∽△AEC, ∴=,∴=,∴PB=. ②如圖,當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí),BE=3. ∵∠EAC=90,∴CE==. 同(1)可證△ADB≌△AEC, ∴∠DBA=∠ECA. ∵∠BEP=∠CEA,∴△PEB∽△AEC, ∴=,∴=,∴PB=. 綜上所述,PB的長(zhǎng)為或. 5.(1)證明:在Rt△ABC中,AB=6,AC=8, ∴BC=10,sin∠B===,sin∠C=. 如圖,過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E,作QD⊥AC于點(diǎn)D. 在Rt△BQE中,BQ=5t, ∴sin∠B==,∴QE=4t. 在Rt△CDQ中,CQ=BC-BQ=10-5t, ∴QD=CQsin∠C=(10-5t)=3(2-t), QE=BQsin∠B=5t=4t. 由運(yùn)動(dòng)知AP=3t,CR=4t, ∴BP=AB-AP=6-3t=3(2-t),AR=AC-CR=8-4t=4(2-t), ∴S△APR=APAR=3t4(2-t)=6t(2-t), S△BPQ=BPQE=3(2-t)4t=6t(2-t), S△CQR=CRQD=4t3(2-t)=6t(2-t), ∴S△APR=S△BPQ=S△CQR, ∴△APR,△BPQ,△CQR的面積相等. (2)解:由(1)知,S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t(2-t). ∵AB=6,AC=8, ∴S△PQR=S△ABC-(S△APR+S△BPQ+S△CQR) =68-36t(2-t)=24-18(2t-t2) =18(t-1)2+6. ∵0≤t≤2,∴當(dāng)t=1時(shí),S△PQR最小=6. (3)解:存在.由(1)知QE=4t,QD=3(2-t),AP=3t,CR=4t,AR=4(2-t), ∴BP=AB-AP=6-3t=3(2-t), AR=AC-CR=8-4t=4(2-t). ∵∠A=90,∴四邊形AEQD是矩形, ∴AE=DQ=3(2-t),AD=QE=4t, ∴DR=|AD-AR|=|4t-4(2-t)| =|4(2t-2)|, PE=|AP-AE|=|3t-3(2-t)| =|3(2t-2)|. ∵∠DQE=90,∠PQR=90, ∴∠DQR=∠EQP, ∴tan∠DQR=tan∠EQP. 在Rt△DQR中, tan∠DQR==, 在Rt△EQP中, tan∠EQP==, ∴=, ∴t=或1. 6.解:(1) BC=DC+EC (2)BD2+CD2=2AD2,理由如下: 如圖,連結(jié)CE. ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90,∠DAE=∠CAE+∠DAC=90, ∴∠BAD=∠CAE. 在△BAD與△CAE中, ∵ ∴△BAD≌△CAE, ∴BD=CE,∠ACE=∠B, ∴∠DCE=90,∴CE2+CD2=ED2. 在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,AD=AE, ∴BD2+CD2=ED2,ED=AD, ∴BD2+CD2=2AD2. (3)如圖,作AE⊥AD,使AE=AD,連結(jié)CE,DE. ∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. 在△BAD與△CAE中, ∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE=9. ∵∠ADC=45,∠EDA=45, ∴∠EDC=90,∴DE==6. ∵∠DAE=90,∴AD=AE=DE=6.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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