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2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 一筆畫（二） 　　利用一筆畫原理，我們可以解決許多有趣的實際問題。 例1 下圖是某展覽館的平面圖，一個參觀者能否不重復地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由。如果能，應從哪開始走？ 分析與解：我們將每個展室看成一個點，室外看成點E，將每扇門看成一條線段，兩個展室間有門相通表示兩個點間有線段相連，于是得到右圖。能否不重復地穿過每扇門的問題，變?yōu)橛覉D是否一筆畫問題。 　　下圖中只有A，D兩個奇點，是一筆畫，所以答案是肯定的，應該從A或D展室開始走。 例1的關鍵是如何把一個實際問題變?yōu)榕袛嗍欠褚还P畫問題，就像歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題時做的那樣。 例2 一個郵遞員投遞信件要走的街道如下圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局。怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 分析與解：圖中共有8個奇點，必須在8個奇點間添加4條線，才能消除所有奇點，成為能從郵局出發(fā)最后返回郵局的一筆畫。在距離最近的兩個奇點間添加一條連線，如左上圖中虛線所示，共添加4條連線，這4條連線表示要重復走的路，顯然，這樣重復走的路程最短，全程30千米。走法參考右上圖(走法不唯一)。 例3下圖中每個小正方形的邊長都是100米。小明沿線段從A點到B點，不許走重復路，他最多能走多少米？ 分析與解：這道題大多數(shù)同學 　　都采用試畫的方法，實際上可以用一筆畫原理求解。首先，圖中有8個奇點，在8個奇點之間至少要去掉4條線段，才能使這8個奇點變成偶點；其次，從A點出發(fā)到B點，A，B兩點必須是奇點，現(xiàn)在A，B都是偶點，必須在與A，B連接的線段中各去掉1條線段，使A，B成為奇點。所以至少要去掉6條線段，也就是最多能走1800米，走法如下圖?；? 例2與例3的圖中各有8個奇點，都是通過減少奇點個數(shù)，將多筆畫變成一筆畫的問題，但它們采用的方法卻完全不同。因為例2中只要求走遍所有的線段，沒有要求不能重復，所以通過添加線段的方法(實際是重復走添加線段的這段路)，將奇點變?yōu)榕键c，使多筆畫變成一筆畫。而在例3中，要求不能走重復的路，所以不能添加線段，只能通過減少線段的方法，將奇點變?yōu)榕键c，使多筆畫變成一筆畫。區(qū)別就在于能否重復走！能“重復”就“添線”，不能“重復”就“減線”。 例4在六面體的頂點B和E處各有一只螞蟻(見下圖)，它們比賽看誰能爬過所有的棱線，最終到達終點D。已知它們的爬速相同，哪只螞蟻能獲勝？ 分析與解：許多同學看不出這 　　是一筆畫問題，但利用一筆畫的知識，能非常巧妙地解答這道題。這道題只要求爬過所有的棱，沒要求不能重復。可是兩只螞蟻爬速相同，如果一只不重復地爬遍所有的棱，而另一只必須重復爬某些棱，那么前一只螞蟻爬的路程短，自然先到達D點，因而獲勝。問題變?yōu)閺腂到D與從E到D哪個是一筆畫問題。圖中只有E，D兩個奇點，所以從E到D可以一筆畫出，而從B到D卻不能，因此E點的螞蟻獲勝。 附送： 2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 一題多解 專題簡析： 一題多解是指從不同角度，運用不同的思維方式來解答同一道題的思考方法，經(jīng)常進行一題多解的訓練，可以鍛煉我們的思維，使頭腦更靈活。 在進行一題多解的練習時，要根據(jù)題目的具體情況，首先確定思維的起點，然后沿著不同的思考方向，就能找到不同的解題方法。在尋求一題多解時，還應該特別選擇解決問題的簡便方法和最佳途徑。 例題1 有一個正方形池塘，四周種樹，每邊種8棵，每個頂點種一棵，每兩棵樹之間距離都相等。四周一共種了多少棵樹？ 思路導航： 方法一：根據(jù)條件可知，每邊種8棵，4邊就是84=32棵，但每邊起點一棵算了兩次，一共多算了4棵，所以四周一共種了32－4=28棵樹。 方法二：我們可以先數(shù)正方形的一組對邊，包括兩個頂點的，每邊種8棵；再數(shù)另一組對邊的，不數(shù)兩個頂點的，每邊種8－2=6棵。所以，一共有：82＋62=28棵。 方法三：把正方形四邊拉直，每邊種8棵，就是把每邊分成了7等份，4邊共分成了28等份，每一等份對應一棵樹，所以共有28棵樹。 練 習 一 1．在一個正方形的菜地四周圍籬笆，每個頂點插一根，每兩根籬笆之間的距離相等，每邊有12根籬笆，四周一共圍了多少根籬笆？ 2．有一個三角形花圃周圍種松樹，每個頂點種一棵，每邊種10棵，每兩棵之間距離相等，四周一共種了多少棵？ 3．少先隊員表演節(jié)目，圍成一個正方形，每個頂點站1人，已知每邊站6人，一共站了多少人？ 例題2 一瓶花生油連瓶一共重800克，吃掉一半油，連瓶一起稱，還剩550克。瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？ 思路導航： 方法一：根據(jù)條件可知，花生油和瓶的重量油800克變?yōu)?50克，是因為吃掉了一半油，半瓶油的重量是800－550=250克，一瓶油的重量是2502=500克，油瓶的重量是800－500=300克。 方法二：根據(jù)條件可知，半瓶油連瓶重550克，從800克中減去半瓶油的重量800－550=250克，550－250=300克即為瓶的重量，油的重量為：800－300=500克。 方法三：根據(jù)“半瓶油連瓶共重550克”可求出一瓶油和兩個瓶共重5502=1100克，所以瓶重：1100－800=300克，油重800－300=500克。 練 習 二 1．一袋大米，連袋共重50千克。吃掉一半后，連袋剩下27千克。大米重多少千克？袋重多少千克？ 2．一筐蘋果連筐共重85千克，倒去一半后，連筐共重45千克。蘋果和筐各重多少千克？ 3．一筐橘子，連筐共重45千克。先拿一半送給幼兒園，再拿出剩下的一半給敬老院的老人，余下的橘子連筐重15千克。橘子和筐各重多少千克？ 例題3 甲班有42人，乙班有35人，開學時來了25位新同學，怎樣分才能使兩班學生人數(shù)相等？ 思路導航： 方法一：根據(jù)已知條件，我們可求出轉(zhuǎn)來了25位同學后的總?cè)藬?shù)為：42＋35＋25=102人，再求出平均每班為1022=51人，再根據(jù)甲班乙班原有的人數(shù)分別求出甲班分了：51－42=9人，乙班分了：51－35=16人。 方法二：根據(jù)已知條件，我們可先求出乙班比甲班少42－35=7人，那么25位新同學中我們可先分7人給乙班，使乙班和甲班一樣多，這樣就剩下25－7=18人。剩下的18人，我們再平均分給兩班，每班各分182=9人。 所以，甲班共分了9人，乙班共分了9＋7=16人。 練 習 三 1．小明有18枝鉛筆，小紅有15枝鉛筆，媽媽又買來13枝鉛筆，怎樣分，才能使兩人鉛筆一樣多？ 2．甲倉庫有糧食420噸，乙倉庫有糧食370噸，又運來糧食180噸，怎樣分，才能使兩倉庫糧食一樣多？ 3．有甲、乙兩筐蘋果，甲筐有蘋果25千克，乙筐有蘋果18千克，又買來13千克蘋果，怎樣分才能使兩筐蘋果一樣多？ 例題4 從小青家經(jīng)小紅和小強家到學校有450米，從小青家到小強家有390米，從學校到小紅家有320米。從小紅家到小強家有多少米？ 思路導航：根據(jù)題意，畫出線段圖。 方法一：從小青家到學校有450米，到小強家有390米，說明小強家到學校有450－390=60米，又因為小紅家到學校有320米，所以小紅家到小強家有320－60=260米。 方法二：根據(jù)上面線段圖和已知條件可知： 從小青家到學校有450米，從學校到小紅家有320米，說明小青家到小紅家有450－320=130米。又因為小青家到小強家有390米，所以小紅家到小強家有390－320=260米。 方法三：根據(jù)上面線段圖和已知條件可知： 從小青家到小強家有390米，從學校到小紅家有320米。我們可求出小青家到學校與小紅家到小強家的距離為390＋320=710米，從中減去小青家到學校的距離450米，就是小紅家到小強家的距離：710－450=260米。 練 習 四 1．亮亮經(jīng)過小明、小丹家到電影院共500米，從亮亮家到小丹家是270米，從小明家到電影院是410米。從小明家到小丹家多少米？ 2．小敏外出旅游乘車回家，從汽車站經(jīng)醫(yī)院、商店到家共1000米，從汽車站到商店是620米，從醫(yī)院到家是690米。那么醫(yī)院到商店多少米？ 3．有兩塊木板，一塊長70厘米，另一塊長80厘米。如果把兩塊木板重疊后釘成一塊木板，全長130厘米。重疊部分長多少厘米？ 例題5 小青以均勻的速度在公路上散步，從第1根電線桿走到第10根電線桿共用了12分鐘，如果她走24分鐘，應走到第幾根電線桿？ 思路導航： 方法一：根據(jù)題意，畫出線段圖。 從圖上可以看出，由于每個間隔所用的時間無法直接求出，因而只有從時間關系上加以考慮，24分鐘正好是12分鐘的2倍，就相當于小青先走12分鐘，又繼續(xù)走12分鐘。注意第10根（圖中A處）既是前12分鐘的終點，又是后12分鐘的起點，顯然被重復算了一次。因此，小紅如果走24分鐘，應走到102－1=19根電線桿處。 方法二：根據(jù)題意，畫出線段圖。 由圖可知，12分鐘走到第10根電線桿，共走了10－1=9個間隔，24分鐘正好是12分鐘的2倍，那么24分鐘就走了92=18個間隔。 要求應走到第幾根電線桿，我們要加上起點B點那根電線桿，因而應走到第18＋1=19根電線桿。 練 習 五 1．玲玲上樓，從一樓到三樓用6分鐘，如果她走12分鐘，應走到幾樓？ 2．路的一旁插著彩旗，如果從第一面旗走到第4面旗要用12分鐘，那么走24分鐘能從第一面走到第幾面？ 3．小芳和媽媽用均勻的速度在馬路上散步，他們從第1根電線桿走到第12根電線桿，整整用了8分鐘。仍用這樣的速度，再走8分鐘，他們會走到第幾根電線桿？