2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 包含與排除.doc
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2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 包含與排除 同學(xué)們對這個(gè)題目可能很陌生,為了搞清楚什么是“包含與排除”,大家先一起回答兩個(gè)問題: (1) 兩個(gè)面積都是4厘米2的正方形擺在桌面上(見左下圖),它們遮蓋住桌面的面積是8厘米2嗎? (2)一個(gè)正方形每條邊上有6個(gè)點(diǎn)(見右上圖),四條邊上一共有24個(gè)點(diǎn)嗎? 聰明的同學(xué)馬上就會發(fā)現(xiàn): (1)兩個(gè)正方形的面積和是8厘米2,現(xiàn)在它們有一部分重疊了。因此蓋住桌面的面積應(yīng)當(dāng)從兩個(gè)正方形的面積和中減去重疊的這部分面積,所以蓋住桌面的面積應(yīng)少于8厘米2。 (2)四個(gè)角上的點(diǎn)每個(gè)點(diǎn)都在兩條邊上,因此被重復(fù)計(jì)算了,在求四條邊上共有多少點(diǎn)時(shí),應(yīng)當(dāng)減去重復(fù)計(jì)算的點(diǎn),所以共有 64-4= 20(個(gè))點(diǎn)。 這兩個(gè)問題,在計(jì)算時(shí),都采用了“去掉”重復(fù)的數(shù)值(面積或個(gè)數(shù))的方法。 一般地,若已知A,B,C三部分的數(shù)量(見右圖),其中C為A,B的重復(fù)部分,則圖中的數(shù)量就等于 A+ B- C。 因?yàn)锳,B有互相包含(重復(fù))的部分C,所以,在求A和B合在一起的數(shù)量時(shí),就要在A+B中減去A和B互相包含的部分C。這種方法稱為包含排除法。 實(shí)際上,我們前面已經(jīng)遇到過包含與排除的問題。如,第10講“植樹問題”的例3和例4,只不過那時(shí)我們沒有明確提出“包含排除法”。 例1 把長38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長4厘米,焊接后這根鐵條有多長? 解:因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后這根鐵條長 38+ 53- 4= 87(厘米)。 例2某小學(xué)三年級四班,參加語文興趣小組的有28人,參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人,有12人兩個(gè)小組都參加。這個(gè)班有多少人參加了語文或數(shù)學(xué)興趣小組? 分析與解:如上頁左下圖所示,A圓表示參加語文興趣小組的人,B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人,A與B重合的部分(陰影部分)表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人。圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人,有28-12=16(人);圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語文興趣小組的人,有29-12=17(人)(見上頁右下圖)。 由此得到參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的有 16+ 12+ 17= 45(人)。 根據(jù)包含排除法,直接可得 28+ 29- 12= 45(人)。 例3 某班共有46人,參加美術(shù)小組的有12人,參加音樂小組的有23人,有5人兩個(gè)小組都參加了。這個(gè)班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人? 分析與解:與例2對比,本例已知全班總?cè)藬?shù),如果能仿照例2求出參加了美術(shù)或音樂小組的人數(shù),那么只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù),就得到所求的人數(shù)。 根據(jù)包含排除法知,該班至少參加了一個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為12+ 23- 5= 30(人)。所以,該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46-30=16(人)。綜合列式為 46- ( 12+ 23- 5)= 16(人)。 例4 三年級科技活動(dòng)組共有63人。在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中,老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn):剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人,裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人。每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)。問:同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人? 分析與解:因42+34=76,76>63,所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng)。由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng),根據(jù)包含排除法知, 42+34-(完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù))=全組人數(shù),即76-(完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù))=63。 由減法運(yùn)算法則知,完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為 76-63=13(人)。 例5 在前100個(gè)自然數(shù)中,能被2或3整除的數(shù)有多少個(gè)? 分析與解:如右圖所示,A圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被2整除的數(shù),B圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被3整除的數(shù),C為前100個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)。 前100個(gè)自然數(shù)中能被2整除的數(shù)有1002=50 (個(gè))。由 1003= 33…… 1知,前 100個(gè)自然數(shù)中能被 3整除的數(shù)有 33個(gè)。由 100(23)= 16……4知,前 100個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)有16個(gè)。 所以A中有50個(gè)數(shù),B中有33個(gè)數(shù),C中有16個(gè)數(shù)。因?yàn)锳,B都包含C,根據(jù)包含排除法得到,能被2或3整除的數(shù)有 50+ 33- 16= 67(個(gè))。 附送: 2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 周期問題 專題簡析: 在日常生活中,有一些按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)的現(xiàn)象,如:人的十二生肖,一年有春夏秋冬四個(gè)季節(jié),一個(gè)星期七天等等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題,我們稱為簡單周期問題。這類問題一般要利用余數(shù)的知識來解答。 在研究這些簡單周期問題時(shí),我們首先要仔細(xì)審題,判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律,也就是找出循環(huán)的固定數(shù),然后利用除法算式求出余數(shù),最后根據(jù)余數(shù)得出正確的結(jié)果。 例題1 小丁把同樣大小的紅、白、黑珠子按先2個(gè)紅的、后1個(gè)白的、再3個(gè)黑的的規(guī)律排列(如下圖),請你算一算,第32個(gè)珠子是什么顏色? 從上圖可以看出,珠子是按“兩紅一白三黑”的規(guī)律重復(fù)排列,即6個(gè)珠子為一周期。326=5(組)……2(個(gè)),32個(gè)珠子中含有5個(gè)周期多2個(gè),所以第32個(gè)珠子就是重復(fù)5個(gè)周期后的第2個(gè)珠子,應(yīng)為紅色。 練 習(xí) 一 1.如圖,算出第20個(gè)圖形是什么? ○△△□□□○△△□□□○△△…… 2.“數(shù)學(xué)趣味題數(shù)學(xué)趣味題……”依次重復(fù)排列,第xx個(gè)字是什么? 3.把38面小三角旗按下圖排列,其中有多少面白旗? 例題2 2001年10月1日是星期一,問:10月25日是星期幾? 思路導(dǎo)航:我們知道,每星期有7天,也就是說以7天為一個(gè)周期不斷地重復(fù)。從10月1日到10月25日經(jīng)過25-1=24天,247=3(星期)……3(天),說明24天中包括3個(gè)星期還多3天。所以從10月1日開始過3個(gè)星期,最后一天還是星期一,從這最后一天起再過3天就應(yīng)是星期四。 練 習(xí) 二 1.2001年5月3日是星期四,5月20日是星期幾? 2.2001年8月1日是星期三,8月28日是星期幾? 3.2001年6月1日是星期五,9月1日是星期幾? 例題3 100個(gè)3相乘,積的個(gè)位數(shù)字是幾? 思路導(dǎo)航:這道題我們只考慮積的個(gè)位數(shù)字的排列規(guī)律。1個(gè)3,積的個(gè)位是3;2個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是9;3個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是7;4個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是1;5個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是3……可以發(fā)現(xiàn),積的個(gè)位數(shù)字分別以3、9、7、1不斷重復(fù)出現(xiàn),即每4個(gè)3積的個(gè)位數(shù)字為一周期。1004=25(個(gè)),因此100個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是第25個(gè)周期中的最后一個(gè),即是1。 練 習(xí) 三 1.23個(gè)3相乘,積的個(gè)位數(shù)字是幾? 2.100個(gè)2相乘,積的個(gè)位數(shù)字是幾? 3.50個(gè)7相乘,積的個(gè)位數(shù)字是幾? 例題4 有一列數(shù)按“432791864327918643279186……”排列,那么前54個(gè)數(shù)字之和是多少? 思路導(dǎo)航:上面一列數(shù)中,從第1個(gè)數(shù)字開始重復(fù)出現(xiàn)的部分是“43279186”,周期數(shù)是8。要求出這列數(shù)字的和,就要先求出這列數(shù)里共有多少組“43279186”。 548=6(組)……6(個(gè)) 因此,前6組數(shù)字和是(4+3+2+7+9+1+8+6)6=240,余下6個(gè)數(shù)字之和是4+3+2+7+9+1=26。所以,這列數(shù)中前54個(gè)數(shù)字之和是240+26=266。 練 習(xí) 四 1.一列數(shù)按“294736294736294……”排列,那么前40個(gè)數(shù)字之和是多少? 2.有一列數(shù)按“9453672945367294……”排列,那么前50個(gè)數(shù)字之和是多少? 3.有一列數(shù)“7231652316523165……”,請問從左起第2個(gè)數(shù)字到第25個(gè)數(shù)字之間(含第2個(gè)與第25個(gè)數(shù)字)所有數(shù)字的和是多少? 例題5 小紅買了一本童話書,每兩頁文字之間有3頁插圖,也就是說3頁插圖前后各有1頁文字。如果這本書有128頁,而第1頁是文字,這本童話書共有插圖多少頁? 思路導(dǎo)航:已知這本童話書3頁插圖前后各有1頁文字,也就是說這本書是按“1頁文字3頁插圖“的規(guī)律重復(fù)排列的,把“1頁文字3頁插圖”看作一周期,128頁中含有128(1+3)=32個(gè)周期,所以這本童話書共有插圖332=96頁。 練 習(xí) 五 1.校門口擺了一排花,每兩盆菊花之間擺3盆月季,共擺了112盆花。如果第一盆花是菊花,那么共擺了多少盆月季花? 2.同學(xué)們做早操,36個(gè)同學(xué)排成一列,每兩個(gè)女生中間是兩個(gè)男生,第一個(gè)是女生,這列隊(duì)伍中男生有多少人? 3.一個(gè)圓形花輔周圍長30米,沿周圍每隔3米插一面紅旗,每兩面紅旗中間插兩面黃旗。花輔周圍共插了多少面黃旗?- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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