2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 算式謎 專題簡析： 小朋友都喜歡猜謎語，你們知道數(shù)學(xué)中也有一種有趣的謎嗎？一個(gè)完整的算式，缺少幾個(gè)數(shù)字，那就成了一道算式謎。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說算式中的一些數(shù)字像是被蟲子咬去了。 算式謎，就是要將算式中缺少的數(shù)字補(bǔ)齊，使它成為一道完整的算式。 解算式謎的思考方法是推理加上嘗試，首先要仔細(xì)觀察算式特征，由推理能確定的數(shù)先填上；不能確定的，要分幾種情況，逐一嘗試。分析時(shí)要認(rèn)真分析已知數(shù)字與所缺數(shù)字的關(guān)系，抓準(zhǔn)解題的突破口。 例題1 在下面算式的□內(nèi)，填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立。 思路導(dǎo)航：已知被乘數(shù)個(gè)位是8，積的個(gè)位是2，可推出乘數(shù)可能是4或9，但積的百位上是7，因而乘數(shù)只能是4，被乘數(shù)百位上是1，那么十位上只能是9。所以算式是：1984=792。 練習(xí)一：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。 例題2 □里填哪些數(shù)字，可使這道除法算式成為一道完整的算式？ 思路導(dǎo)航：已知除數(shù)和商的某些位上的數(shù)，求被除數(shù)，可從商的末位上的數(shù)與除數(shù)相乘的積想起，56=30，可知這個(gè)被除數(shù)個(gè)位為0；再想商十位上的數(shù)與6的乘積為一位數(shù)，這個(gè)數(shù)只能為1.這樣確定商十位上為1，最后被除數(shù)十位上的數(shù)為3＋6=9。 練習(xí)二：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立。 例題3 在下面豎式的□里，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。 思路導(dǎo)航：要求□里填哪些數(shù)，我們可以先想商的個(gè)位上是多少，商個(gè)位上的數(shù)與除數(shù)7相乘積是兩位數(shù)的有14、21、28、35、42、49、56、63，由此可確定被除數(shù)個(gè)位與商個(gè)位有八種情況： 商個(gè)位上的數(shù)確定后，再想被除數(shù)十位上是多少，被除數(shù)十位上的數(shù)是商十位上的數(shù)乘除數(shù)加上第一次除后所得的余數(shù)。我們可以發(fā)現(xiàn)，商為15、16、17、18、19時(shí)，被除數(shù)十位上的數(shù)不是一位數(shù)，而是兩位數(shù)，不合要求，所以這題有三種填法： 練習(xí)三：□里可填哪些數(shù)字？ 例題4 在下面豎式的□里，填入合適的數(shù)字，使算式成立。 思路導(dǎo)航：這道題我們可以從商百位上的4與除數(shù)8的乘積來考慮，48=32，由此可確定被除數(shù)千位和百位上的數(shù)；再想商十位上的數(shù)與8相乘接近61，而小于61，78=56可得商十位上為7。最后想，幾與8相乘得五十幾，78=56，這樣全題可填出。 練習(xí)四：在□里填上合適的數(shù)，使豎式成立。 例題5 在下面□中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。 思路導(dǎo)航：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，商的個(gè)位數(shù)字是9與除數(shù)的乘積為657，由此可以求出除數(shù)為6579=73；再根據(jù)商十位數(shù)字是5，可求出除數(shù)與商十位數(shù)字積為735=365，也就可求出被除數(shù)前三位是365＋65=430，個(gè)位是7。 練習(xí)五：□里應(yīng)填幾才能使算式成立？ 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被2，5整除的數(shù)的特征 　　同學(xué)們都知道，自然數(shù)和0統(tǒng)稱為(非負(fù))整數(shù)。同學(xué)們還知道，兩個(gè)整數(shù)相加，和仍是整數(shù)；兩個(gè)整數(shù)相乘，乘積也是整數(shù)；兩個(gè)整數(shù)相減，當(dāng)被減數(shù)不小于減數(shù)時(shí)，差還是整數(shù)。兩個(gè)整數(shù)相除時(shí)，情況就不那么簡單了。如果被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)，我們就說這個(gè)被除數(shù)能被這個(gè)除數(shù)整除；否則，就是不能整除。例如， 　　84能被2，3，4整除，因?yàn)?42=42，843=28，844=21，42，28，21都是整數(shù)。 　　而84不能被5整除，因?yàn)?45=16……4，有余數(shù)4。也不能被13整除，因?yàn)?413=6……6，有余數(shù)6。 　　因?yàn)?除以任何自然數(shù)，商都是0，所以0能被任何自然數(shù)整除。 　　這一講的內(nèi)容是能被2和5整除的數(shù)的特征，也就是討論什么樣的數(shù)能被2或5整除。 　　1.能被2整除的數(shù)的特征 　　因?yàn)槿魏握麛?shù)乘以2，所得乘數(shù)的個(gè)位數(shù)只有0，2，4，6，8五種情況，所以，能被2整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是0，2，4，6或8。也就是說，凡是個(gè)位數(shù)是0，2，4，6，8的整數(shù)一定能被2整除，凡是個(gè)位數(shù)是1，3，5，7，9的整數(shù)一定不能被2整除。 　　例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。 　　能被2整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)稱為奇數(shù)。 　　0，2，4，6，8，10，12，14，…就是全體偶數(shù)。 　　1，3，5，7，9，11，13，15，…就是全體奇數(shù)。 　　偶數(shù)和奇數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)： 　　偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)， 　　奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)， 　　偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)， 　　奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)， 　　偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)， 　　偶數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)， 　　奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)。 例1在1～199中，有多少個(gè)奇數(shù)？有多少個(gè)偶數(shù)？其中奇數(shù)之和與偶數(shù)之和誰大？大多少？ 分析與解：由于1，2，3，4，…，197，198，199是奇、偶數(shù)交替排列的，從小到大兩兩配對(duì)： 　　(1，2)，(3，4)，…，(197，198)， 　　還剩一個(gè)199。共有1982=99(對(duì))，還剩一個(gè)奇數(shù)199。所以 　　奇數(shù)的個(gè)數(shù)=1982+1=100(個(gè))， 　　偶數(shù)的個(gè)數(shù)=1982=99(個(gè))。 　　因?yàn)槊繉?duì)中的偶數(shù)比奇數(shù)大1，99對(duì)共大99，而199-99=100，所以奇數(shù)之和比偶數(shù)之和大，大100。 　　如果按從大到小兩兩配對(duì)： 　　(199，198)，(197，196)，…，(3，2)，那么怎樣解呢？ 例2(1)不算出結(jié)果，判斷數(shù)(524+42-429)是偶數(shù)還是奇數(shù)？ (2)數(shù)(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么數(shù)？ (3)下面的連乘積是偶數(shù)還是奇數(shù)？ 　　1357911131415。 解：根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)： (1)因?yàn)?24，42是偶數(shù)，所以(524+42)是偶數(shù)。又因?yàn)?29是奇數(shù)，所以(524+42-429)是奇數(shù)。 (2)數(shù)(42□+30-147)能被2整除，則它一定是偶數(shù)。因?yàn)?47是奇數(shù)，所以數(shù)(42□+30)必是奇數(shù)。又因?yàn)槠渲械?0是偶數(shù)，所以，數(shù)42□必為奇數(shù)。于是，□里只能填奇數(shù)1，3，5，7，9。 (3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數(shù)，由13為奇數(shù)，推知135為奇數(shù)……推知 　　13579111315 　　為奇數(shù)。因?yàn)?4為偶數(shù)，所以 　　(13579111315)14為偶數(shù)，即 　　1357911131415為偶數(shù)。 　　由例2得出： (1)在全部是加、減法的運(yùn)算中，若參加運(yùn)算的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則結(jié)果是偶數(shù)；若參加運(yùn)算的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則結(jié)果是奇數(shù)。 (2)在連乘運(yùn)算中，只要有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，則整個(gè)乘積一定是偶數(shù)。 例3在黑板上先寫出三個(gè)自然數(shù)3，然后任意擦去其中的一個(gè)，換成所剩兩個(gè)數(shù)的和。照這樣進(jìn)行100次后，黑板上留下的三個(gè)自然數(shù)的奇偶性如何？它們的乘積是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？ 解：根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知： 　　第一次擦后，改寫得到的三個(gè)數(shù)是6，3，3，是“二奇一偶”； 　　第二次擦后，改寫得到的三個(gè)數(shù)是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”。 　　以后若擦去的是偶數(shù)，則改寫得到的數(shù)為二奇數(shù)之和，是偶數(shù)；若擦去的是奇數(shù)，則改寫得到的數(shù)為一奇一偶之和，是奇數(shù)。總之，黑板上仍保持“二奇一偶”。 　　所以，無論進(jìn)行多少次擦去與改寫，黑板上的三個(gè)數(shù)始終為“二奇一偶”。它們的乘積 　　奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)。 　　故進(jìn)行100次后，所得的三個(gè)自然數(shù)的奇偶性為二奇數(shù)、一偶數(shù)，它們的乘積一定是偶數(shù)。 　　2.能被5整除的數(shù)的特征 　　由05=0，25=10，45=20，65=30，85= 40，…可以推想任何一個(gè)偶數(shù)乘以5，所得乘積的個(gè)位數(shù)都是0。 　　由15=5，35=15，55=25，75=35，95= 45，…可以推想，任何一個(gè)奇數(shù)乘以5，所得乘積的個(gè)位數(shù)都是5。 　　因此，能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是0或5。也就是說，凡是個(gè)位數(shù)是0或5的整數(shù)一定能被5整除；凡是個(gè)位數(shù)不是0或5的整數(shù)一定不能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。 例4由0，3，5寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有哪些能被5整除？ 解：因?yàn)閭€(gè)位數(shù)為0或5的數(shù)才能被5整除，所以由0，3，5寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，只有350，530，305三個(gè)數(shù)能被5整除。 例5下面的連乘積中，末尾有多少個(gè)0？ 　　123…2930。 解：因?yàn)?5=10，所以在連乘積中，有一個(gè)因子2和一個(gè)因子5，末尾就有一個(gè)0。連乘積中末尾的0的個(gè)數(shù)，等于1～30中因子2的個(gè)數(shù)與因子5的個(gè)數(shù)中較少的一個(gè)。而在連乘積中，因子2的個(gè)數(shù)比因子5的個(gè)數(shù)多(如4含兩個(gè)因子2，8含三個(gè)因子2)，所以，連乘積末尾0的個(gè)數(shù)與連乘積中因子5的個(gè)數(shù)相同。連乘積中含因子5的數(shù)有5，10，15，20，25，30，這些數(shù)中共含有七個(gè)因子 5(其中25含有兩個(gè)因子5)。所以，123…2930的積中，末尾有七個(gè)0。