山東省德州市2019年中考數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí) 第五章 四邊形 第二節(jié) 矩形、菱形、正方形訓(xùn)練.doc
第五章 四邊形
第二節(jié) 矩形、菱形、正方形
姓名：________ 班級：________ 用時：______分鐘
1．(xx荊州中考)菱形不具備的性質(zhì)是( )
A．四條邊都相等 B．對角線一定相等
C．是軸對稱圖形 D．是中心對稱圖形
2．(xx湘潭中考)如圖，已知點E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD各邊的中點，則四邊形EFGH是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．平行四邊形
3．(2019易錯題)下列命題正確的是( )
A．對角線相等的四邊形是平行四邊形
B．對角線相等的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
4．(xx上海中考)已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是( )
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C
C．AC＝BD D．AB⊥BC
5．(xx淮安中考)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，則這個菱形的周長是( )
A．20 B．24 C．40 D．48
6．(xx宜昌中考)如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別是對角線AC上的兩點，EG⊥AB，EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J，則圖中陰影部分的面積等于( )
A．1 B. C. D.
7．(xx廣州中考)如圖，若菱形ABCD的頂點A，B的坐標(biāo)分別為(3，0)，
(－2，0)，點D在y軸上，則點C的坐標(biāo)是________________．
8．(xx株洲中考)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC＝10，P，Q分別為AO，AD的中點，則PQ的長度為________．
9．(2019改編題)對于?ABCD，從以下五個關(guān)系式中任取一個作為條件：
①AB＝BC；②∠BAD＝90；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB＝∠ABC.能判定?ABCD是矩形的序號是_________．
10．(xx郴州中考)如圖，在?ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF.求證：四邊形BFDE是菱形．
11．(xx沈陽中考改編)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O.過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E.求證：四邊形OCED是矩形．
12．(xx宿遷中考)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E為邊CD的中點，若菱形ABCD的周長為16，∠BAD＝60，則△OCE的面積是( )
A. B．2
C．2 D．4
13．(xx陜西中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若點E是邊CD的中點，連接AE，過點B作BF⊥AE交AE于點F，則BF的長為( )
A. B.
C. D.
14．(xx瀘州中考)如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE＝3ED，DF＝CF，則的值是( )
A. B. C. D.
15．(xx連云港中考)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，連接AC，HE，EC，GA，GF.已知AG⊥GF，AC＝，則AB的長為______．
16．(xx白銀中考)已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點．
(1)求證：△BGF≌△FHC；
(2)設(shè)AD＝a，當(dāng)四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積．
17．(xx益陽中考)如圖1，在矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E為直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點B，C，∠F＝30.
(1)求證：BE＝CE；
(2)將△EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動，若EF，EG分別與AB，BC相交于點M，N(如圖2)．
①求證：△BEM≌△CEN；
②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；
③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點B恰好在FG上(如圖3)，求sin∠EBG的值．
18．(2019創(chuàng)新題)已知：對于任意實數(shù)a，b，總有a2＋b2≥2ab，且當(dāng)a＝b時，代數(shù)式a2＋b2取得最小值為2ab.
若一個矩形的面積固定為n，它的周長是否會有最值？若有，求出周長的最值及此時矩形的長和寬；若沒有，請說明理由．
參考答案
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
1．B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B
7．(－5，4) 8. 9.②③⑤
10．證明：∵在?ABCD中，O為對角線BD的中點，
∴BO＝DO，∠EDO＝∠FBO.
在△EOD和△FOB中，
∴△EOD≌△FOB(ASA)，∴OE＝OF.
又∵OB＝OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形．
∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE為菱形．
11．證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90.
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
又∵∠COD＝90，
∴平行四邊形OCED是矩形．
【拔高訓(xùn)練】
12．A 13.B 14.C
15．2
16．(1)證明：∵點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點，
∴BF＝CF，BG＝GE，F(xiàn)H∥BE，F(xiàn)H＝BE，
∴FH＝BG，∠CFH＝∠CBG，
∴△BGF≌△FHC.
(2)解：當(dāng)四邊形EGFH是正方形時，可得EF⊥GH且EF＝GH.
∵在△BEC中，點G，H分別是BE，CE的中點，
∴GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC，
∴EF⊥BC.
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝a，
∴矩形ABCD的面積＝aa＝a2.
17．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90.
∵E是AD的中點，∴AE＝DE，
∴△BAE≌△CDE，∴BE＝CE.
(2)①證明：由(1)可知，△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EBC＝∠ECB＝45.
∵∠ABC＝∠BCD＝90，
∴∠EBM＝∠ECN＝45.
∵∠MEN＝∠BEC＝90，
∴∠BEM＝∠CEN.
∵EB＝EC，∴△BEM≌△CEN.
②解：∵△BEM≌△CEN，∴BM＝CN.
∵AB＝2，∴BC＝4.
設(shè)BM＝CN＝x，則BN＝4－x，
∴S△BMN＝x(4－x)＝－(x－2)2＋2.
∴x＝2時，△BMN的面積最大，最大值為2.
③解：如圖，作EH⊥BG于H.
設(shè)NG＝m，則BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m，
∴EG＝m＋m＝(1＋)m.
∵S△BEG＝EGBN＝BGEH，
∴EH＝＝m.
在Rt△EBH中，sin∠EBH＝＝＝.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
18．解：設(shè)矩形的長為a，寬為b(a≥b＞0)，
周長C＝2(a＋b)≥4＝4，且當(dāng)a＝b時，代數(shù)式2(a＋b)取得最小值為4，
此時a＝b＝.
故若一個矩形的面積固定為n，它的周長有最小值，周長的最小值為4，此時矩形的長和寬均為.
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山東省德州市2019年中考數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí)
第五章
四邊形
第二節(jié)
矩形、菱形、正方形訓(xùn)練
山東省
德州市
2019
年中
數(shù)學(xué)
同步
復(fù)習(xí)
第五
第二
矩形
菱形
正方形
訓(xùn)練
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第五章 四邊形
第二節(jié) 矩形、菱形、正方形
姓名：________ 班級：________ 用時：______分鐘
1．(xx荊州中考)菱形不具備的性質(zhì)是( )
A．四條邊都相等 B．對角線一定相等
C．是軸對稱圖形 D．是中心對稱圖形
2．(xx湘潭中考)如圖，已知點E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD各邊的中點，則四邊形EFGH是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．平行四邊形
3．(2019易錯題)下列命題正確的是( )
A．對角線相等的四邊形是平行四邊形
B．對角線相等的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
4．(xx上海中考)已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是( )
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C
C．AC＝BD D．AB⊥BC
5．(xx淮安中考)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，則這個菱形的周長是( )
A．20 B．24 C．40 D．48
6．(xx宜昌中考)如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別是對角線AC上的兩點，EG⊥AB，EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J，則圖中陰影部分的面積等于( )
A．1 B. C. D.
7．(xx廣州中考)如圖，若菱形ABCD的頂點A，B的坐標(biāo)分別為(3，0)，
(－2，0)，點D在y軸上，則點C的坐標(biāo)是________________．
8．(xx株洲中考)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC＝10，P，Q分別為AO，AD的中點，則PQ的長度為________．
9．(2019改編題)對于?ABCD，從以下五個關(guān)系式中任取一個作為條件：
①AB＝BC；②∠BAD＝90；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB＝∠ABC.能判定?ABCD是矩形的序號是_________．
10．(xx郴州中考)如圖，在?ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF.求證：四邊形BFDE是菱形．
11．(xx沈陽中考改編)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O.過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E.求證：四邊形OCED是矩形．
12．(xx宿遷中考)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E為邊CD的中點，若菱形ABCD的周長為16，∠BAD＝60，則△OCE的面積是( )
A. B．2
C．2 D．4
13．(xx陜西中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若點E是邊CD的中點，連接AE，過點B作BF⊥AE交AE于點F，則BF的長為( )
A. B.
C. D.
14．(xx瀘州中考)如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE＝3ED，DF＝CF，則的值是( )
A. B. C. D.
15．(xx連云港中考)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，連接AC，HE，EC，GA，GF.已知AG⊥GF，AC＝，則AB的長為______．
16．(xx白銀中考)已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點．
(1)求證：△BGF≌△FHC；
(2)設(shè)AD＝a，當(dāng)四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積．
17．(xx益陽中考)如圖1，在矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E為直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點B，C，∠F＝30.
(1)求證：BE＝CE；
(2)將△EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動，若EF，EG分別與AB，BC相交于點M，N(如圖2)．
①求證：△BEM≌△CEN；
②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；
③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點B恰好在FG上(如圖3)，求sin∠EBG的值．
18．(2019創(chuàng)新題)已知：對于任意實數(shù)a，b，總有a2＋b2≥2ab，且當(dāng)a＝b時，代數(shù)式a2＋b2取得最小值為2ab.
若一個矩形的面積固定為n，它的周長是否會有最值？若有，求出周長的最值及此時矩形的長和寬；若沒有，請說明理由．
參考答案
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
1．B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B
7．(－5，4) 8. 9.②③⑤
10．證明：∵在?ABCD中，O為對角線BD的中點，
∴BO＝DO，∠EDO＝∠FBO.
在△EOD和△FOB中，
∴△EOD≌△FOB(ASA)，∴OE＝OF.
又∵OB＝OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形．
∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE為菱形．
11．證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90.
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
又∵∠COD＝90，
∴平行四邊形OCED是矩形．
【拔高訓(xùn)練】
12．A 13.B 14.C
15．2
16．(1)證明：∵點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點，
∴BF＝CF，BG＝GE，F(xiàn)H∥BE，F(xiàn)H＝BE，
∴FH＝BG，∠CFH＝∠CBG，
∴△BGF≌△FHC.
(2)解：當(dāng)四邊形EGFH是正方形時，可得EF⊥GH且EF＝GH.
∵在△BEC中，點G，H分別是BE，CE的中點，
∴GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC，
∴EF⊥BC.
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝a，
∴矩形ABCD的面積＝aa＝a2.
17．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90.
∵E是AD的中點，∴AE＝DE，
∴△BAE≌△CDE，∴BE＝CE.
(2)①證明：由(1)可知，△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EBC＝∠ECB＝45.
∵∠ABC＝∠BCD＝90，
∴∠EBM＝∠ECN＝45.
∵∠MEN＝∠BEC＝90，
∴∠BEM＝∠CEN.
∵EB＝EC，∴△BEM≌△CEN.
②解：∵△BEM≌△CEN，∴BM＝CN.
∵AB＝2，∴BC＝4.
設(shè)BM＝CN＝x，則BN＝4－x，
∴S△BMN＝x(4－x)＝－(x－2)2＋2.
∴x＝2時，△BMN的面積最大，最大值為2.
③解：如圖，作EH⊥BG于H.
設(shè)NG＝m，則BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m，
∴EG＝m＋m＝(1＋)m.
∵S△BEG＝EGBN＝BGEH，
∴EH＝＝m.
在Rt△EBH中，sin∠EBH＝＝＝.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
18．解：設(shè)矩形的長為a，寬為b(a≥b＞0)，
周長C＝2(a＋b)≥4＝4，且當(dāng)a＝b時，代數(shù)式2(a＋b)取得最小值為4，
此時a＝b＝.
故若一個矩形的面積固定為n，它的周長有最小值，周長的最小值為4，此時矩形的長和寬均為.
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