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成才之路 數學 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 人教A版 必修5 解三角形 第一章 在本章 解三角形 的引言中 我們遇到這么一個問題 遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢 在古代 天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離 那么 他們是用什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢 我們知道 對于未知的距離 高度等 存在著許多可供選擇的測量方案 比如可以應用全等三角形 相似三角形的方法 或借助解直角三角形的方法 阿基米德說過 給我一個支點 我可以撬起地球 但實際情況是根本找不到這樣的支點 全等三角形法有時就像這樣 你根本沒有足夠的空間去構造出全等三角形 所以每種方法都有它的局限性 其實上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的 從本節(jié)我們開始學習正弦定理 余弦定理以及它們在科學實踐中的應用 看看它們能解決這個問題嗎 1 1正弦定理和余弦定理 第一章 第1課時正弦定理 1 了解正弦定理的推導過程 掌握正弦定理及其基本應用 2 能用正弦定理解三角形 并能判斷三角形的形狀 無限風光在險峰 在充滿象征色彩的詩意里 對險峰的慨嘆躍然紙上 成為千古之佳句 對于難以到達的險峰應如何測出其海拔高度呢 能通過在水平飛行的飛機上測量飛機下方的險峰海拔高度嗎 在本節(jié)中 我們將學習正弦定理 借助已學的三角形的邊角關系解決類似于上述問題的實際問題 180 大于 小于 大角 小角 a2 b2 c2 對正弦定理的理解 1 適用范圍 正弦定理對任意的三角形都成立 2 結構形式 分子為三角形的邊長 分母為相應邊所對角的正弦的連等式 3 揭示規(guī)律 正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應角的正弦之間的一個關系式 它描述了三角形中邊與角的一種數量關系 4 主要功能 正弦定理的主要功能是實現三角形中邊角關系的轉化 有關正弦定理的敘述 正弦定理只適用于銳角三角形 正弦定理不適用于鈍角三角形 在某一確定的三角形中 各邊與它的對角的正弦的比是定值 在 ABC中 sinA sinB sinC a b c 其中正確的個數是 A 1B 2C 3D 4 答案 B 解析 正弦定理適用于任意三角形 故 均不正確 由正弦定理可知 三角形一旦確定 則各邊與其所對角的正弦的比就確定了 故 正確 由比例性質和正弦定理可推知 正確 故選B 在 ABC中 B 30 C 45 c 1 求邊b的長及 ABC外接圓的半徑R 3 兩角和一邊分別對應相等的兩個三角形全等嗎 兩邊和其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形全等嗎 下圖中 AC AD ABC與 ABD的邊角有何關系 你發(fā)現了什么 4 已知兩邊及其中一邊對角 怎樣判斷三角形解的個數 應用三角形中大邊對大角的性質以及正弦函數的值域判斷解的個數 在 ABC中 已知a b和A 以點C為圓心 以邊長a為半徑畫弧 此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數即為三角形的個數 解的個數見下表 圖示已知a b A ABC解的情況 A為鈍角或直角時解的情況如下 A為銳角時 解的情況如下 不解三角形 判斷下列三角形解的個數 1 a 5 b 4 A 120 2 a 7 b 14 A 150 3 a 9 b 10 A 60 在 ABC中 已知A 60 B 45 c 2 解三角形 分析 已知兩角 由三角形內角和定理第三角可求 已知一邊可由正弦定理求其它兩邊 已知兩角和一邊解三角形 方法規(guī)律總結 已知任意兩角和一邊 解三角形的步驟 求角 根據三角形內角和定理求出第三個角 求邊 根據正弦定理 求另外的兩邊 已知內角不是特殊角時 往往先求出其正弦值 再根據以上步驟求解 答案 2 分析 在 ABC中 已知兩邊和其中一邊的對角 可運用正弦定理求解 但要注意解的個數的判定 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形 方法規(guī)律總結 已知三角形兩邊及一邊對角解三角形時利用正弦定理求解 但要注意判定解的情況 基本步驟是 1 求正弦 根據正弦定理求另外一邊所對角的正弦值 判斷解的情況 2 求角 先根據正弦值求角 再根據內角和定理求第三角 3 求邊 根據正弦定理求第三條邊的長度 答案 D 分析 由正弦定理 得a 2RsinA b 2RsinB 代入已知等式 利用三角恒等變換 得出角之間的關系 進而判斷 ABC的形狀 三角形形狀的判斷 分析 本題可先求tanA tanB的值 由此求出sinA及sinB 再利用正弦定理求出a b及三角形的面積 運用正弦定理求三角形的面積 在 ABC中 a 15 b 12 A 60 則cosB 辨析 a b A B 因此cosB 0 警示 已知兩邊和其中一邊對角解三角形時必須依據條件判斷解的情況