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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 差倍問(wèn)題（二） 專(zhuān)題簡(jiǎn)析： 有些差倍問(wèn)題比較復(fù)雜，不能直接利用公式進(jìn)行解答，這時(shí)需要我們小朋友仔細(xì)審題，尤其注意一些隱含條件，同時(shí)借助線(xiàn)段圖幫助理解題意，從而找到解題方法。 較復(fù)雜的差倍應(yīng)用題，數(shù)量關(guān)系比較隱蔽。先依題意畫(huà)出線(xiàn)段圖，數(shù)量關(guān)系就會(huì)比較清晰地展現(xiàn)出來(lái)，然后借助線(xiàn)段圖找出兩個(gè)數(shù)的差以及所對(duì)應(yīng)的倍數(shù)，再利用公式進(jìn)行解答。 例題1 有兩袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果將小袋的玉米吃掉4千克，這時(shí)大袋的玉米重量是小袋的4倍。兩袋玉米原來(lái)各重量多少千克？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫(huà)出線(xiàn)段圖。 從圖上可以看出，小袋玉為吃掉4千克后，大袋里的玉米就比小袋現(xiàn)有玉米重4+56=60千克；又根據(jù)“這時(shí)大袋的玉米重量是小袋的4倍”，可知把小袋現(xiàn)有的玉米重量看作1倍數(shù)，大袋比小袋多的60千克正好相當(dāng)于現(xiàn)有小袋的4－1=3倍，所以小袋現(xiàn)有玉米603=20千克，原有重量20+4=24千克，大袋原有204=80千克。 練 習(xí) 一 1．有兩箱玩具，第一盒比第二盒多60只。如果從第二盒中取出3只，這時(shí)第一盒的只數(shù)是第二盒的8倍。求兩箱玩具原來(lái)各有多少只？ 2．一個(gè)書(shū)架上放著一些書(shū)，第二層比第一層多12本。如果從第一層中拿走6本，這時(shí)第二層的本數(shù)是第一層的4倍。求第一、第二層原來(lái)各有多少本書(shū)？ 3．甲、乙兩桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少20千克，如果從甲桶倒出5千克放入5千克，這時(shí)乙桶內(nèi)油的重量是甲桶的4倍。甲、乙兩桶原來(lái)各有油多少千克？ 例題2 有甲、乙兩桶色拉油，如果向甲桶中倒入8千克，則兩桶色拉油就一樣重；如果向乙桶中倒入12千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5倍。甲、乙兩桶原來(lái)各有色拉油多少千克？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫(huà)出線(xiàn)段圖。 從線(xiàn)段圖上可以看出：如果向甲桶倒入8千克，兩桶油重量相等，說(shuō)明乙桶油比甲桶油多8千克；如果向乙桶倒入12千克，乙桶油就比甲桶油多8+12=20千克，與20千克相對(duì)應(yīng)的倍數(shù)差是5－1=4倍。所以，甲桶原有：（8+12）（5－1）=5千克，乙桶原有5+8=13千克。 練 習(xí) 二 1．有甲、乙兩桶水，如果向甲桶中倒入10千克水，兩桶水就一樣多；如果向乙桶中倒入4千克水，乙桶的水就是甲桶的3倍。原來(lái)甲、乙兩桶各有多少千克水？ 2．三（1）班同學(xué)參加英語(yǔ)比賽，如果男生少去1人，男、女參賽人數(shù)相等；如果女生少去1人，男生參賽人數(shù)是女生的2倍。三（1）班參加英語(yǔ)比賽的男、女生各幾人？ 3．小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏給小文3粒，兩人的玻璃球數(shù)就一樣多；如果小文給小敏1粒，小敏的玻璃球數(shù)就是小文的5倍。小敏、小文原有玻璃球各幾粒？ 例題3 甲的錢(qián)數(shù)是乙的3倍，甲買(mǎi)一套180元的《百科大全》，乙買(mǎi)一套30元的故事書(shū)后，兩人余下的錢(qián)一樣多。甲原來(lái)有多少錢(qián)？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫(huà)出線(xiàn)段圖。 把乙原有的錢(qián)看作1份，甲原有的錢(qián)不是3份；甲買(mǎi)書(shū)用去180元，乙買(mǎi)書(shū)用去30元，甲比乙多用去180－30=150元。從圖上可以看出，這多出的150元正好相當(dāng)于乙原有錢(qián)數(shù)的3－1=2倍，所以乙原有錢(qián)：1502=75元，甲原有錢(qián)753=225元。 練 習(xí) 三 1．甲的錢(qián)數(shù)是乙的4倍，甲買(mǎi)了一只30元的書(shū)包，乙買(mǎi)了一枝6元的鋼筆后，兩人余下的錢(qián)一樣多。甲原來(lái)有多少錢(qián)？ 2．丹丹的錢(qián)數(shù)是小敏的5倍，丹丹買(mǎi)了一套115元的衣服，小敏買(mǎi)了一雙15元的鞋子后，兩人余下的錢(qián)一樣多。丹丹原來(lái)有多少錢(qián)？ 3．云云的錢(qián)是小月的4倍，云云買(mǎi)了一套水彩筆用了19元錢(qián)，小月買(mǎi)了一塊1元錢(qián)的橡皮后，兩人剩下的錢(qián)一樣多。云云原來(lái)有多少錢(qián)？ 例題4 學(xué)校里白粉筆的盒數(shù)是彩色粉筆的4倍，如果白粉筆和彩色粉筆各購(gòu)進(jìn)12盒，那么白粉筆的盒數(shù)是彩色粉筆的3倍。原來(lái)白粉筆和彩色粉筆各有多少盒？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，如果彩色粉筆購(gòu)進(jìn)12盒，而白粉筆購(gòu)進(jìn)124=48盒，那么現(xiàn)在白粉筆的盒數(shù)仍是彩色粉筆的4倍，可見(jiàn)48－12=36盒就是彩色粉筆現(xiàn)有盒數(shù)的4－3=1倍，所以彩色粉筆現(xiàn)有361=36盒，原來(lái)有36－12=24盒，白粉筆原有244=96盒。 練 習(xí) 四 1．有甲、乙兩筐蘋(píng)果，甲筐蘋(píng)果的千克數(shù)是乙筐的3倍，如果兩筐蘋(píng)果各增加8千克，那么甲筐蘋(píng)果的千克數(shù)就是乙筐的2倍。甲、乙兩筐原來(lái)各有多少千克蘋(píng)果？ 2．小明和聰聰各有一些彩色筆，小明彩色筆的枝數(shù)是聰聰?shù)?倍。如果每人再買(mǎi)4枝彩色筆，那么小明的枝數(shù)就是聰聰?shù)?倍。小明和聰聰原來(lái)各有彩色筆多少枝？ 3．有甲、乙兩桶油，甲桶油的重量是乙桶油的5倍。如果每桶分別倒入8千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的3倍。甲、乙兩桶原來(lái)各有多少千克油？ 例題5 天天小學(xué)買(mǎi)來(lái)了一批籃球和足球，籃球的個(gè)數(shù)比足球的4倍多5個(gè)，籃球比足球多26個(gè)。籃球和足球各多少個(gè)？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫(huà)出線(xiàn)段圖。 從圖上可以看出，如果把足球的個(gè)數(shù)看作1倍數(shù)，那么籃球減少5個(gè)就是足球個(gè)數(shù)的4倍，所以足球有（26－5）（4－1）=7個(gè)，籃球有74＋5=33個(gè)。 練 習(xí) 五 1．商店里有一些紅皮球和白皮球，紅皮球的個(gè)數(shù)比白皮球的3倍多2個(gè)，紅皮球比白皮球多24個(gè)。紅、白皮球各有多少個(gè)？ 2．有兩袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的5倍多12千克，乙袋比甲袋少132千克。甲、乙兩袋面粉各多少千克？ 3．圖書(shū)室里有一些故事書(shū)和連環(huán)畫(huà)，故事書(shū)的本數(shù)比連環(huán)畫(huà)的4倍少8本，故事書(shū)比連環(huán)畫(huà)多28本。圖書(shū)室里有故事書(shū)和連環(huán)畫(huà)各多少本？ 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 平均數(shù) 　　把一個(gè)(總)數(shù)平均分成幾個(gè)相等的數(shù)，相等的數(shù)的數(shù)值就叫做這個(gè)(總)數(shù)的平均數(shù)。例如，24平均分成四個(gè)數(shù)：6，6，6，6，數(shù)6就叫做24分成四份的平均數(shù)。又如，24平均分成六個(gè)數(shù)：4，4，4，4，4，4，數(shù)4就叫做24分成六份的平均數(shù)。 　　由此可見(jiàn)，平均數(shù)是相對(duì)于“總數(shù)”和分成的“份數(shù)”而言的。知道了被均分的“總數(shù)”和均分的“份數(shù)”，就可以求出平均數(shù)： 總數(shù)份數(shù)=平均數(shù)。 　　“平均數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念在我們的日常生活和工作中經(jīng)常用到。例如，某次考試全班同學(xué)的“平均成績(jī)”，幾件貨物的“平均重量”，某輛汽車(chē)行駛某段路程的“平均速度”等等，都是我們經(jīng)常碰到的求平均數(shù)的問(wèn)題。根據(jù)求平均數(shù)的一般公式可以得到它們的計(jì)算方法： 　　全班同學(xué)的總成績(jī)?nèi)嗤瑢W(xué)人數(shù)=平均成績(jī)， 　　幾件貨物的總重量貨物件數(shù)=平均重量， 　　一輛汽車(chē)行駛的路程所用的時(shí)間=平均速度。 　　我們?cè)谏弦恢v的例2中，已經(jīng)接觸到求平均數(shù)的應(yīng)用題，下面再舉一些例子來(lái)說(shuō)明有關(guān)平均數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的解法。 例1一小組六個(gè)同學(xué)在某次數(shù)學(xué)考試中，分別為98分、87分、93分、86分、88分、94分。他們的平均成績(jī)是多少？ 解：總成績(jī)=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。 　　這個(gè)小組有6個(gè)同學(xué)，平均成績(jī)是 　　5466＝91(分)。 　　答：平均成績(jī)是91分。 例2把40千克蘋(píng)果和80千克梨裝在6個(gè)筐內(nèi)(可以混裝)，使每個(gè)筐裝的重量一樣。每筐應(yīng)裝多少千克？ 解：蘋(píng)果和梨的總重量為 　　40＋80＝120(千克)。 　　因要裝成6筐，所以，每筐平均應(yīng)裝 　　1206＝20(千克)。 　　答：每筐應(yīng)裝20千克。 例3小明家先后買(mǎi)了兩批小豬，養(yǎng)到今年10月。第一批的3頭每頭重66千克，第二批的5頭每頭重42千克。小明家養(yǎng)的豬平均多重？ 解：兩批豬的總重量為 　　663＋425＝408(千克)。 　　兩批豬的頭數(shù)為3＋5＝8(頭)，故平均每頭豬重 　　4088＝51(千克)。 　　答：平均每頭豬重51千克。 　　注意，在上例中不能這樣來(lái)求每頭豬的平均重量： 　　(66＋42)2＝54(千克)。 　　上式求出的是兩批豬的“平均重量的平均數(shù)”，而不是(3＋5＝)8頭豬的平均重量。這是剛接觸平均數(shù)的同學(xué)最容易犯的錯(cuò)誤！ 例4一個(gè)學(xué)生為了培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)解題能力，除了認(rèn)真讀一些書(shū)外，還規(guī)定自己每周(一周為7天)平均每天做4道數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六兩天共做了13道。那么，星期日要做幾道題才能達(dá)到自己規(guī)定的要求？ 　　分析：要先求出每周規(guī)定做的題目總數(shù)，然后求出星期一至星期六已做的題目數(shù)。兩者相減就是星期日要完成的題目數(shù)。 　　每周要完成的題目總數(shù)是47=28(道)。星期一至星期六已做題目33＋13＝22(道)，所以，星期日要完成28-22＝6(道)。 解：47-(33＋13)＝6(道)。 　　答：星期日要做6道題。 例5三年級(jí)二班共有42名同學(xué)，全班平均身高為132厘米，其中女生有18人，平均身高為136厘米。問(wèn)：男生平均身高是多少？ 解：全班身高的總數(shù)為 　　13242＝5544(厘米)， 　　女生身高總數(shù)為 　　13618＝2448(厘米)， 　　男生有42-18＝24(人)，身高總數(shù)為 　　5544-2448＝3096(厘米)， 　　男生平均身高為 　　309624＝129(厘米)。 　　綜合列式： 　　(13242-13618)(42-18)＝129(厘米)。 　　答：男生平均身高為129厘米。 例6小敏期末考試，數(shù)學(xué)92分，語(yǔ)文90分，英語(yǔ)成績(jī)比這三門(mén)的平均成績(jī)高4分。問(wèn)：英語(yǔ)得了多少分？ 　　分析：英語(yǔ)比平均成績(jī)高的這4分，是“補(bǔ)”給了數(shù)學(xué)和語(yǔ)文，所以三門(mén)功課的平均成績(jī)?yōu)? 　　(92＋90＋4)2＝93(分)， 　　由此可求出英語(yǔ)成績(jī)。 解：(92＋92＋4)2＋4＝97(分)。 　　答：英語(yǔ)得了97分。 練習(xí) 　　1.一班有40個(gè)學(xué)生，二班有42個(gè)學(xué)生，三班有45個(gè)學(xué)生。開(kāi)學(xué)后又轉(zhuǎn)學(xué)來(lái)了11個(gè)學(xué)生。怎樣分才能使每班學(xué)生人數(shù)相等？ 　　2.小崗計(jì)劃4天做15道數(shù)學(xué)題，結(jié)果多做了9道。平均每天做了多少道？ 　　3.一小組同學(xué)體檢量身高時(shí)發(fā)現(xiàn)其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均為132厘米。這個(gè)小組同學(xué)的平均身高是多少？ 　　4.小梅做跳繩練習(xí)，第一次跳了67下，第二次跳了76下。她要想三次平均成績(jī)達(dá)到80下，第三次至少要跳多少下？ 　　5.一農(nóng)機(jī)站有960千克的柴油。用了6天，還剩240千克。照此用法，剩下的柴油還可用幾天？ 　　6.小浩為培養(yǎng)自己的閱讀能力，自己規(guī)定這一個(gè)月(30天)要讀完共288頁(yè)的彩圖世界童話(huà)名著《伊索寓言》。頭9天平均每天讀了8頁(yè)，第二個(gè)9天平均每天讀了10頁(yè)，第三個(gè)9天平均每天讀了11頁(yè)。最后三天平均每天需要讀幾頁(yè)才能達(dá)到自己規(guī)定的要求？ 　　7.五個(gè)同學(xué)期末考試的數(shù)學(xué)成績(jī)平均94分，而其中有三個(gè)同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?2分，另兩個(gè)同學(xué)的平均成績(jī)是多少？ 　　8.小亮學(xué)游泳，第一次游了25米，第二次游的距離比兩次游的平均距離多8米。小亮第二次游了多少米？ 　　9.籃球隊(duì)中四名隊(duì)員的平均身高是182厘米，另一名隊(duì)員的身高比這五隊(duì)員的平均身高矮8厘米，這名隊(duì)員的身高是多少？