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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)陣圖（二） 　　上一講我們講了僅有一個(gè)“重疊數(shù)”的輻射型數(shù)陣圖的填數(shù)問題，這一講我們講有多個(gè)“重疊數(shù)”的封閉型數(shù)陣圖。 例1 將1～8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都等于21。 分析與解：中間兩個(gè)數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次，所以兩個(gè)重疊數(shù)之和為 　　212-(1+2+…+8)=6。 　　在已知的八個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)之和為6的只有1與5，2與4。每個(gè)大圓上另外三個(gè)數(shù)之和為21-6=15。 　　如果兩個(gè)重疊數(shù)為1與5，那么剩下的六個(gè)數(shù)2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15的只有 　　2+6+7=15和3+4+8=15， 　　故有左下圖的填法。 　 　　如果兩個(gè)重疊數(shù)為2與4，那么同理可得上頁右下圖的填法。 例2 將1～6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○內(nèi)，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于11。 分析與解：本題有三個(gè)重疊數(shù)，即三角形三個(gè)頂點(diǎn)○內(nèi)的數(shù)都是重疊數(shù)，并且各重疊一次。所以三個(gè)重疊數(shù)之和等于 　　113-(1+2+…+6)=12。 　　1～6中三個(gè)數(shù)之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。 　　如果三個(gè)重疊數(shù)是1，5，6，那么根據(jù)每條邊上的三個(gè)數(shù)之和等于11，可得左下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn)，所填數(shù)不是1～6，不合題意。 　　同理，三個(gè)重疊數(shù)也不能是3，4，5。 　　經(jīng)試驗(yàn)，當(dāng)重疊數(shù)是2，4，6時(shí)，可以得到符合題意的填法(見右上圖)。 例3 將1～6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○中，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等。 分析與解：與例2不同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾。因?yàn)槿齻€(gè)重疊數(shù)都重疊了一次，由(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和3，得到每邊的三數(shù)之和等于 　　[(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和]3 　　=(21+重疊數(shù)之和)3 　　=7+重疊數(shù)之和3。 　　因?yàn)槊窟叺娜龜?shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)?？紤]到重疊數(shù)是1～6中的數(shù)，所以三個(gè)重疊數(shù)之和只能是6，9，12或15，對(duì)應(yīng)的每條邊上的三數(shù)之和就是9，10，11或12。 　　與例2的方法類似，可得下圖的四種填法： 　　每邊三數(shù)之和=9 每邊三數(shù)之和=10 每邊三數(shù)之和=11 每邊三數(shù)之和=12 例4將2～9這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○里，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于18。 分析與解：四個(gè)角上的數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。所以四個(gè)重疊數(shù)之和等于 　　184-(2+3+…+9)=28。 　　而在已知的八個(gè)數(shù)中，四數(shù)之和為28的只有： 　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。 　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八個(gè)數(shù)之一，所以，8和9只能填對(duì)角處。由此得到左下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法： 　　“試填”的結(jié)果，只有右上圖的填法符合題意。 　　以上例題都是封閉型數(shù)陣圖。 　　一般地，在m邊形中，每條邊上有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。 　　與“輻射型m-n圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是m-1”不同的是，封閉型m-n圖有m個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。 　　對(duì)于封閉型數(shù)陣圖，因?yàn)橹丿B數(shù)只重疊一次，所以 　　已知各數(shù)之和+重疊數(shù)之和 　　=每邊各數(shù)之和邊數(shù)。 　　由這個(gè)關(guān)系式，就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問題。 　　前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖，雖然大多數(shù)數(shù)陣問題要比它們復(fù)雜些，但只要緊緊抓住“重疊數(shù)”進(jìn)行分析，就能解決很多數(shù)陣問題。 例5把1～7分別填入左下圖中的七個(gè)空塊里，使每個(gè)圓圈里的四個(gè)數(shù)之和都等于13。 分析與解：這道題的“重疊數(shù)”很多。有重疊2次的(中心數(shù)，記為a)；有重疊1次的(三個(gè)數(shù)，分別記為b，c，d)。根據(jù)題意應(yīng)有 　　(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=133， 　　即 a+a+b+c+d=11。 　　因?yàn)?+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。 練習(xí) 　　1.把1～8填入下頁左上圖的八個(gè)○里，使每個(gè)圓圈上的五個(gè)數(shù)之和都等于20。 　　2.把1～6這六個(gè)數(shù)填入右上圖的○里，使每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)之和都相等。 　　3.將1～8填入左下圖的八個(gè)○中，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。 　　4.將1～8填入右上圖的八個(gè)○中，使得每條直線上的四個(gè)數(shù)之和與每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都相等。 　　5.將1～7填入右圖的七個(gè)○，使得每條直線上的各數(shù)之和都相等。 　　6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七個(gè)空塊中，使得每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)之和都等于34。 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 文字算式謎 專題簡析： 一般說來，算式都是由一些數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)組成的，可有些算式卻由漢字或英文字母組成，我們稱它為文字算式。 文字算式是一種數(shù)字謎，解答時(shí)要注意在同一道題中，相同的文字或英文字母應(yīng)表示相同的數(shù)字，不同的文字或英文字母應(yīng)表示不同的數(shù)字。 通過本周的學(xué)習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)解文字算式謎與添運(yùn)算符號(hào)、填豎式的步驟與方法基本是一樣的，都要仔細(xì)觀察算式的特征，認(rèn)真分析，正確選擇解題的突破口，最后通過嘗試找尋正確答案。 例題1 下式中，每個(gè)字各代表一個(gè)不同的數(shù)字，其中“心”代表9，請(qǐng)問其他漢字分別代表哪個(gè)數(shù)字？ 思路導(dǎo)航：乘數(shù)個(gè)位與被乘數(shù)個(gè)位相乘，“心”“心”=99=81，所以“少”=1，乘積就是111111111。根據(jù)積，用乘數(shù)“心”去逐一乘被乘數(shù)，9“中”的積個(gè)位數(shù)應(yīng)該是3，所以“中”=7，往前一位進(jìn)7；9“樂”的積的個(gè)位數(shù)應(yīng)是4，“樂”=6，往前一位進(jìn)6；9“俱”的積個(gè)位數(shù)應(yīng)是5，“俱”=5，往前一位進(jìn)5；9“球”積個(gè)位數(shù)字應(yīng)是6，“球”=4，往前一位進(jìn)4；9“足”的積個(gè)位數(shù)是7，所以“足”=3，往前一位進(jìn)3；9“年”的積的個(gè)位數(shù)是8，“年”=2，往前一位進(jìn)2；91＋2=11，即： 123456799=111111111 練 習(xí) 一 1．下面每個(gè)字代表不同的數(shù)字，這些漢字分別代表幾？ 2．如果A、B滿足下面算式，它們各代表幾？ 3．下面各個(gè)漢字分別代表幾？ 例題2 下面不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。它們各表示幾？ 思路導(dǎo)航：由積的個(gè)位是2，乘數(shù)是3，可推出被乘數(shù)個(gè)位上“學(xué)”是4，43=12，在積的個(gè)位上寫2，向十位進(jìn)1；因?yàn)榉e的十位上“學(xué)”為4，所以“數(shù)”3應(yīng)為3，推出“數(shù)”為1；因?yàn)椤皵?shù)”為1，百位上“庚”3末位應(yīng)為1，因而“庚”為7，千位上53＋2=17，在千位上寫7，向萬位進(jìn)1，因而“羅”為5，萬位上83＋1=25，在千位上寫5，向前一位進(jìn)2，因而“華”為8。 練 習(xí) 二 下面各個(gè)豎式中的漢字分別代表幾？ 例題3 在下面的豎式中，a、b、c、d各代表什么數(shù)字？ 思路導(dǎo)航：仔細(xì)審題發(fā)現(xiàn)千位a9的結(jié)果是一位數(shù)，于是就可以確定a只能是1。接著思考個(gè)位d9=1是不可能的，所以應(yīng)該是d9等于幾十一，于是確定d=9?；蛘呦肭簧?9=9，所以d一定是9。最后確定剩下的c為8。只有89=72，72＋8=80，積中才會(huì)有0。 練 習(xí) 三 1．下面豎式中的字母各代表幾？ 2． A＋B＋C=（ ） 例題4 下面算式里，相同的漢字代表同一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。如果以下3個(gè)等式成立： 小小朋朋=友小小友 愛愛科科=愛學(xué)學(xué)愛 朋朋朋朋=小小學(xué)學(xué) 那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ） 愛=（ ） 科=（ ） 學(xué)=（ ） 思路導(dǎo)航：通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)第三個(gè)等式最特殊，它是相同的兩位數(shù)相乘得到千位和百位、十位和個(gè)位分別相同的積，逐步試驗(yàn)，1111，2222得不到四位數(shù)，然后從3333試，我們發(fā)現(xiàn)8888=7744，這樣可以得出：朋=8，小=7，學(xué)=4。將朋=8、小=7代入第一個(gè)算式中得出7788=6776，確定友=6。這樣，0——9中，只剩下9，5，3，2，1，0這幾個(gè)數(shù)字，其中0、1不考慮，試后發(fā)現(xiàn)5599=5445，所以愛=5，科=9。 練 習(xí) 四 例題5 下面算式中四個(gè)字分別代表四個(gè)數(shù)，你能求出來嗎？ 新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 樂=（ ） 思路導(dǎo)航：從千位上看，千位上得數(shù)是2，假設(shè)新=2，那么百位上，“新＋年”不可能等于0，因而“新”不可能是2，只能是“新=1”。從百位上看，新＋年＋進(jìn)來的數(shù)=10，我們可判斷“年”=7或8。而“新＋年=8”，即使個(gè)位進(jìn)來2，十位上也不可能向百位進(jìn)2，因而“年”=8，十位上“新＋年”=1＋8=9，而個(gè)位上已向十位進(jìn)了1，因而“快”=0，最后從“新＋年＋快＋樂”=11中可推出“樂”=1。即： 新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 樂=（ 1 ） 練 習(xí) 五 1．下面算式中相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，請(qǐng)問這些漢字各代表幾？ 2．下面各字母分別代表幾？ 3．下面豎式中每個(gè)字母代表不同的數(shù)字，想想下面的算式怎樣寫？