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數學競賽輔導系列講座八——相似形 1、在正三角形ABC的邊BC、AC上分別有點E、F，且滿足BE=CF=a， EC=FA=b（a>b），當BF平分AE時，則的值為（ ） A、 B、 C、 D、 2、設AD、BE、CF為△ABC的三條高，若AB=6，BC=5，EF=3，則線段BE的長為（ ） A、 B、4 C、 D、 3、O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，則OD：OE：OF=（ ） A、a：b：c B、：： C、Cos A：CosB： CosC D、SinA：SinB：SinC 4、如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截， AB被截成三等分，則圖中陰影部分面積為（ ） A、4 B、2 C、3 D、4 5、在等腰直角三角形ABC的斜邊AB上取兩點M、N，使∠MCN=45， 記AM=m，MN=x，BN=n，則以x、m、n為邊長的三角形形狀是（ ） A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、隨x、m、n的變化而變化 6、△ABC中，D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD=DC=FC=1，則AC=（ ） A、 B、 C、 D、 7、Rt△ABC中，∠C=Rt∠，CD是斜邊AB上的高，在BC和CA上分別取點E和F，使△EFD和△ABC相似，這樣的△FED有（ ）個 A、1 B、2 C、3 D、多于3 8、設銳角△ABC的三條高AD、BE、CF相交于H，若BC=a，AC=b，AB=c，則AHAC+BHBE+CHCF的值是（ ） A、 B、 C、 D、 9、設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE∥BC交AC于點E，作DF∥AC交BC于點F，已知△ADE，△DBF的面積為m和n，則四邊形DECF的面積為__________． 10、如圖，ABCD的對角線相交于O，在AB的延長線上任取一點E， 連結OE，交BC于F，若AB=a，AD=c，BE=b，則BF=___________． 11、已知△ABC為銳角三角形，其最大邊AC上有一點P（P與A、C不重合），過P作直線l，使l截△ABC所得的三角形與原三角形相似，則這樣的直線可以作______條． 12、正方形ABCD邊長為1，M、N為BD所在直線上兩點，且AM=，∠MAN=135，則四邊形AMCN的面積為________． 13、如圖，已知△ABC的面積為1，D為BC的中點，E、F分別在AC、AB上，且S△BDF=，S△CDE=，則S△DEF=_________． 14、△ABC中，∠C=90，D、E分別為BC上的兩點，且∠ABC=∠ADC=∠AEC，若BD=11，DE=5，則AC=______． 15、如圖，已知邊長為的正方形DEFG內接于面積為1的正三角形，其中a、b、c是整數，且b不能被任何質數的平方整除，則=___________． 16、如圖，△ABC中，AB=2，AC=，∠A=∠BCD=45，則BC的長為______，△BDC的面積為______． 17、設CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，I1、I2分別是△ADC、△BDC的內心，AC=3，BC=4，求I1I2． 18、如圖，在△ABC，D、E分別是AC、BC的中點，BF=AB，BD與FC相交于G， （1）求證：EG∥AC； （2）求的比值． 19、已知線段AB，只用圓規(guī)把線段AB二等分． 20、分別以銳角△ABC的三邊為邊向外作正△ABC、正△BCE、正△CAF，三個正三角形的中心分別為O1、O2、O3，求證：△O1O2O3是正三角形． 21、如圖，在平行四邊形ABCD中，P1、P2、……、Pn-1分別是BD的n等分點，連結AP2并延長交BC于點E，連結APn-2并延長交CD于點F， （1）求證：EF∥BD； （2）若平行四邊形ABCD的面積為S，且S△AEF=S，求n的值． 22、是否存在一個邊長恰是三個連續(xù)正整數，且其中一個內角是另一個內角的2倍的△ABC？證明你的結論． 23、如圖，在直角梯形ABCD，∠ABC=∠BAD=90，AB=16，對角線AC與BD交于點E，過E作EF⊥AB于點F，O為AB中點，且EF+EO=8，求AD+BC的值． 24、已知點D在△ABC的邊BC上，且與B、C不重合，過D作AC的平行線DE交AB于E，作AB的平行線DF交AC于點F，又已知BC=5， ①設△ABC的面積為S，若四邊形AEDF的面積為S，求BD的長； ②若AC=AB，且DF經過△ABC的重心G，求EF兩點間的距離． 25、如圖，O是四邊形ABCD對角線交點，已知∠BAD+∠BCA=180，AB=5，AC=4，AD=3，=，求BC． 26．如圖是由四個大小不等的、頂角為120o的等腰三角形拼接而成．已知三角形ABC面積為100，三角形ACD面積為33，三角形ABF面積為35．組成圖形的四個等腰三角形中，求最小的一個面積是多少? 27．如圖在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，E是CD上一點，且∠EBC=∠ABD． （1）若BC=x，CE=y．求y關于x的函數關系式，并求自變量x的取值范圍； （2）連結AE，是否存在x，使⊿ABE與⊿DBC相似．若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由． 28． 29．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH中，O為BC、FG的中點，且點F在正方形ABCD內，連AE、BF，則AE：BF的值為 ． 30．如圖所示，在⊿ABC的兩側向形外作正⊿ABP和⊿ACQ，點E、F是這兩個正三角形的中心，再以EF為一邊向上作正三角形DEF． 求證：（1）BC=AD； （2）AD⊥BC． 31．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若⊿CDF為等腰三角形，則 ． 32．在⊿ABC中，∠A=，∠B=，在邊AB上有一點D，使BD=AC，連結CD．求∠BDC的度數． 33．（xx年北京市中考）如圖在Rt△中，，，AB=2，D是AB邊上的一個動點（不與點A、B重合），過點D作CD的垂線交射線CA于點E．設，，則下列圖象中，能表示y與x的函數關系圖象大致是( ) 34.等腰梯形中，，=4,=，=45．直角三角板含45角的頂點在邊上移動（不與點C重合），一直角邊始終經過點（如圖），斜邊與交于點．設BE=x，CF=y， （1） 求y關于x的函數解析式，并求出當點E移動到什么位置時y的值最大，最大值是多少？ （2） 連結AF，當⊿AEF為直角三角形時，求x的值; （3） 求點E移動過程中，⊿ADF外接圓半徑的最小值.