《高考數(shù)學(xué) 3.7 正弦定理和余弦定理課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 3.7 正弦定理和余弦定理課件.ppt（60頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第七節(jié)正弦定理和余弦定理 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 正弦定理 2R R是 ABC外接圓的半徑 2 余弦定理 在 ABC中 有a2 b2 c2 在 ABC中 有 cosA cosB cosC b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB a2 b2 2abcosC 3 在 ABC中 已知a b和A時(shí) 三角形解的情況 一解 兩解 一解 一解 無解 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 三角形的內(nèi)角和定理 在 ABC中 A B C 其變式有 A B 等 2 三角形中的三角函數(shù)關(guān)系 sin A B cos A B sin cos C sinC cosC 3 正弦定理的公式變形 a b c sinA sinB sinC sinA sinB sinC 2RsinA 2RsinB 2RsinC a b c 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 代入法 邊角轉(zhuǎn)化法 2 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合 分類討論 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 正弦定理和余弦定理對(duì)任意三角形都成立 2 三角形中各邊和它所對(duì)角的弧度數(shù)之比相等 3 已知兩邊及其夾角求第三邊 用余弦定理 4 在 ABC的六個(gè)元素中 已知任意三個(gè)元素可求其他元素 5 在 ABC中 若sinA sinB 則A B 解析 1 正確 由正弦定理和余弦定理的證明過程可知 它們對(duì)任意三角形都成立 2 錯(cuò)誤 由正弦定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤 3 正確 由余弦定理可知該結(jié)論正確 4 錯(cuò)誤 當(dāng)已知三個(gè)角時(shí)不能求三邊 5 正確 由正弦定理知sinA sinB 由sinA sinB得a b 即A B 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修5P8T2 1 改編 在 ABC中 已知a 5 b 7 c 8 則A C A 90 B 120 C 135 D 150 解析 選B 先求B cosB 因?yàn)? B 180 所以B 60 故A C 120 2 必修5P4T1 2 改編 在 ABC中 已知A 60 B 75 c 20 則a 解析 C 180 A B 180 60 75 45 由正弦定理 得答案 10 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 湖北高考 在 ABC中 角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 已知A a 1 b 則B 解析 依題意 由正弦定理知得出sinB 由于0 B 所以B 答案 2 2014 福建高考 在 ABC中 A 60 AC 2 BC 則AB等于 解析 由余弦定理BC2 AB2 AC2 2AB AC cosA 得3 AB2 4 2 2AB cos60 即AB2 2AB 1 0 解得AB 1 答案 1 考點(diǎn)1正弦定理的應(yīng)用 典例1 1 在 ABC中 已知a 2 b A 45 則滿足條件的三角形有 A 一個(gè)B 兩個(gè)C 0個(gè)D 無法確定 2 2014 廣東高考 在 ABC中 角A B C的對(duì)邊分別為a b c 已知bcosC ccosB 2b 則 3 2015 吉林模擬 如圖 在 ABC中 AB AC 2 BC 2 點(diǎn)D在BC邊上 ADC 75 則AD的長(zhǎng)為 解題提示 1 利用正弦定理計(jì)算 2 利用正弦定理化邊為角 利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn) 3 根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出角B 再利用正弦定理求解 規(guī)范解答 1 選B 由正弦定理 得sinB 因?yàn)閎 a 所以B 60 或120 故滿足條件的三角形有兩個(gè) 2 由正弦定理得 sinBcosC sinCcosB 2sinB 所以sin B C 2sinB sin A 2sinB 即sinA 2sinB 再由正弦定理得a 2b 所以 2 答案 2 3 過點(diǎn)A作AE BC 垂足為E 則在Rt ABE中 在 ABD中 ADB 180 ADC 180 75 105 由正弦定理得AD 答案 一題多解 解答本例 1 2 你還有其他方法嗎 1 選B 數(shù)形結(jié)合法 如圖 CD sin45 又a 2 b 所以CD a b 故滿足條件的三角形有兩個(gè) 2 如圖 作AD BC于點(diǎn)D 則a BC BD DC ccosB bcosC 2b 即 2 答案 2 規(guī)律方法 1 正弦定理的應(yīng)用技巧 1 求邊 利用公式或其他相應(yīng)變形公式求解 2 求角 先求出正弦值 再求角 即利用公式sinA 或其他相應(yīng)變形公式求解 3 相同的元素歸到等號(hào)的一邊 即可應(yīng)用這些公式解決邊或角的比例關(guān)系問題 2 判斷三角形解的個(gè)數(shù)的兩種方法 1 代數(shù)法 根據(jù)大邊對(duì)大角的性質(zhì) 三角形內(nèi)角和公式 正弦函數(shù)的值域等判斷 2 幾何圖形法 根據(jù)條件畫出圖形 通過圖形直觀判斷解的個(gè)數(shù) 變式訓(xùn)練 2015 三門峽模擬 已知在 ABC中 a x b 2 B 45 若三角形有兩解 則x的取值范圍是 A x 2B x2且xsin45 2 所以2 x 2 加固訓(xùn)練 1 在 ABC中 a 10 B 60 C 45 則c等于 A 10 B 10 1 C 1D 10 解析 選B A 180 B C 180 60 45 75 由正弦定理 得 2 2015 綿陽模擬 在銳角 ABC中 角A B所對(duì)的邊分別為a b 若2asinB b 則角A 解析 由正弦定理得2sinA sinB sinB 又sinB 0 故sinA 又0 A 90 所以A 60 答案 60 3 2015 黃山模擬 若 ABC的三內(nèi)角A B C滿足A C 2B 且最大邊為最小邊的2倍 則三角形三內(nèi)角之比為 解析 因?yàn)锳 C 2B 不妨設(shè)A B C B 因?yàn)锳 B C 所以B B B 所以B 再設(shè)最小邊為a 則最大邊為2a 由正弦定理得即sincos cossin 2 sincos cossin 所以tan 所以三內(nèi)角分別為它們的比為1 2 3 答案 1 2 3 考點(diǎn)2余弦定理的應(yīng)用 典例2 1 2015 青島模擬 已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1 3 x 則x的取值范圍是 A 8 x 10B 2 x C 2 x 10D x 8 2 2015 咸陽模擬 在 ABC中 三個(gè)內(nèi)角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 若 a b c a b c bc 0 則A 3 2014 遼寧高考 在 ABC中 內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別為a b c 且a c 已知 2 cosB b 3 求 a和c的值 cos B C 的值 解題提示 1 使大邊的對(duì)角是銳角 其余弦值大于0 列不等式組求解 2 已知三邊的關(guān)系求角用余弦定理 3 利用向量運(yùn)算及余弦定理找等量關(guān)系求解 利用已知條件求sinB cosC sinC 代入公式求值 規(guī)范解答 1 選B 因?yàn)? 1 所以只需使邊長(zhǎng)為3及x的對(duì)角都為銳角即可 故又因?yàn)閤 0 所以 2 因?yàn)?a b c a b c bc a2 b c 2 bc a2 b2 c2 bc 0 所以a2 b2 c2 bc cosA 又A 0 所以A 答案 3 由 cacosB 2 所以ac 6 又由b 3及余弦定理得b2 a2 c2 2accosB 所以a2 c2 13 因?yàn)閍 c 解得a 3 c 2 由a 3 b 3 c 2得cosC sinC 由cosB 得sinB 所以cos B C cosBcosC sinBsinC 互動(dòng)探究 對(duì)于本例 2 若 ABC的三邊a b c滿足a2 b2 c2 則A 解析 由余弦定理 得cosA 因?yàn)锳 0 所以A 答案 規(guī)律方法 1 利用余弦定理解三角形的步驟 2 利用余弦定理判斷三角形的形狀在 ABC中 c是最大的邊 若c2a2 b2 則 ABC是鈍角三角形 提醒 已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形 可用正弦定理 也可用余弦定理 用正弦定理時(shí) 需判斷其解的個(gè)數(shù) 用余弦定理時(shí) 可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù) 變式訓(xùn)練 2015 合肥模擬 設(shè) ABC的內(nèi)角A B C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a b c 若b c 2a 3sinA 5sinB 則角C 解析 選B 因?yàn)?sinA 5sinB 所以由正弦定理可得3a 5b 所以a 因?yàn)閎 c 2a 所以c 所以cosC 因?yàn)镃 0 所以C 加固訓(xùn)練 1 在 ABC中 若a b c 3 5 7 則這個(gè)三角形中最大內(nèi)角為 A 60 B 90 C 120 D 150 解析 選C 令a 3x b 5x c 7x x 0 則c為最大邊 角C為三角形中最大內(nèi)角 由余弦定理 得cosC 所以C 120 2 在 ABC中 C 60 a b c分別為角A B C的對(duì)邊 則 解析 因?yàn)镃 60 所以a2 b2 c2 ab 所以a2 b2 ab c2 等式兩邊都加上ac bc 整理得 a2 ac b2 bc b c a c 所以答案 1 考點(diǎn)3正 余弦定理的綜合應(yīng)用知 考情利用正 余弦定理求三角形中的邊和角 判斷三角形的形狀是高考的重要考向 常與三角恒等變換相結(jié)合 以選擇題 填空題 解答題的形式出現(xiàn) 以后兩種題型為主 明 角度命題角度1 綜合利用正 余弦定理求角 或其正 余弦值 典例3 2014 天津高考 在 ABC中 內(nèi)角A B C所對(duì)的邊分別是a b c 已知b c a 2sinB 3sinC 則cosA的值為 解題提示 利用正弦定理化角為邊 解方程組得邊的關(guān)系 然后利用余弦定理求cosA的值 規(guī)范解答 因?yàn)?sinB 3sinC 所以2b 3c 又b c a 解得b a 2c 所以cosA 答案 命題角度2 判斷三角形的形狀 典例4 2013 陜西高考改編 設(shè) ABC的內(nèi)角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 若bcosC ccosB asinA 且sin2B sin2C 則 ABC的形狀為 A 等腰三角形B 銳角三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形 解題提示 由正弦定理對(duì)題中的兩個(gè)等式分別變形判斷 規(guī)范解答 選D 因?yàn)閎cosC ccosB asinA 所以由正弦定理得sinBcosC sinCcosB sin2A 所以sin B C sin2A sinA sin2A sinA 1 即A 又因?yàn)閟in2B sin2C 所以由正弦定理得b2 c2 即b c 故 ABC為等腰直角三角形 命題角度3 綜合利用正 余弦定理求邊長(zhǎng) 典例5 2014 湖南高考 如圖 在平面四邊形ABCD中 AD 1 CD 2 AC 1 求cos CAD的值 2 若cos BAD sin CBA 求BC的長(zhǎng) 解題提示 利用余弦定理和正弦定理求解 規(guī)范解答 1 在 ADC中 由余弦定理 得cos CAD 2 設(shè) BAC 則 BAD CAD 因?yàn)閏os CAD cos BAD 所以sin CAD 悟 技法1 綜合利用正 余弦定理求邊和角的步驟 1 根據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形 并在圖中標(biāo)出 2 結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解 提醒 在運(yùn)算和求解過程中注意三角恒等變換和三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用 2 判斷三角形形狀的方法若已知條件中有邊又有角 則 1 化邊 通過因式分解 配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系 從而判斷三角形的形狀 2 化角 通過三角恒等變形 得出內(nèi)角的關(guān)系 從而判斷三角形的形狀 此時(shí)要注意應(yīng)用A B C 這個(gè)結(jié)論 通 一類1 2013 山東高考 ABC的內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別是a b c 若B 2A a 1 b 則c A 2B 2C D 1 解析 選B 由B 2A 則sinB sin2A 由正弦定理知即所以cosA 所以A B 2A 所以C B A 所以c2 a2 b2 1 3 4 故c 2 2 2015 錦州模擬 在 ABC中 cos2 a b c分別為角A B C的對(duì)邊 則 ABC的形狀為 A 等邊三角形B 直角三角形C 等腰三角形或直角三角形D 等腰直角三角形 解析 選B 因?yàn)閏os2 所以2cos2所以cosB 所以所以c2 a2 b2 所以 ABC為直角三角形 3 2015 開封模擬 如圖 ABC中 已知點(diǎn)D在BC邊上 滿足 0 sin BAC AB 3 BD 1 求AD的長(zhǎng) 2 求cosC 解析 1 因?yàn)樗訟D AC 所以sin BAC sin BAD cos BAD 因?yàn)閟in BAC 所以cos BAD 在 ABD中 由余弦定理可知BD2 AB2 AD2 2AB ADcos BAD 即AD2 8AD 15 0 解之得AD 5或AD 3 由于AB AD 所以AD 3 2 在 ABD中 由正弦定理可知又由cos BAD 可知sin BAD 所以sin ADB 因?yàn)?ADB DAC C DAC 所以cosC 規(guī)范解答4正 余弦定理在三角形計(jì)算中的應(yīng)用 典例 12分 2014 天津高考 在 ABC中 內(nèi)角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 已知a c b sinB sinC 1 求cosA的值 2 求cos 2A 的值 解題導(dǎo)思研讀信息快速破題 規(guī)范解答閱卷標(biāo)準(zhǔn)體會(huì)規(guī)范 1 在 ABC中 由及sinB sinC 可得b c 2分又由a c b 有a 2c 4分所以cosA 7分 2 在 ABC中 由cosA 可得sinA 8分于是 cos2A 2cos2A 1 9分sin2A 2sinA cosA 10分所以 高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭(zhēng)取滿分1 認(rèn)真審題 把握變形的方向認(rèn)真審題 弄清已知條件和要求的值的關(guān)系 確定條件的變形方向是解答三角函數(shù) 解三角形問題的關(guān)鍵 如本題第 1 問求cosA的值 自然想到用余弦定理 由此確定化角為邊 找出邊的關(guān)系 2 大膽書寫 爭(zhēng)取多得分解答題不同于選擇 填空題 它是按步給分 故要善于把已知條件變形 在變形中探究解題思路 即使不能把問題全部解答完整 也要爭(zhēng)取多得幾分 3 計(jì)算準(zhǔn)確 爭(zhēng)取得滿分 1 公式運(yùn)用要準(zhǔn)確 這是算對(duì)的前提 2 算數(shù)要準(zhǔn)確無誤 尤其注意正 負(fù)號(hào)的選擇 計(jì)算時(shí)要盡量利用學(xué)過的公式簡(jiǎn)化計(jì)算過程 簡(jiǎn)單了就不易算錯(cuò) 要是算錯(cuò)了結(jié)果 扣分是很重的