《高考數(shù)學(xué) 7.2 空間幾何體的表面積與體積課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 7.2 空間幾何體的表面積與體積課件.ppt（70頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積 知識梳理 1 必會(huì)知識教材回扣填一填 1 空間幾何體的側(cè)面積和表面積 多面體的表面積 因?yàn)槎嗝骟w的各面都是平面 所以多面體的表面積就是各個(gè)面的 即展開圖的面積 側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積 面積 之和 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖及其表面積與側(cè)面積 2 r2 2 rl 2 r r l 2 rl rl r 2 r2 r l rl r r l 4 r2 2 幾何體的體積 柱體 V S為底面面積 h為高 特別地 V圓柱 r為底面半徑 h為高 錐體 V S為底面積 h為高 特別地 V圓錐 r為底面半徑 h為高 Sh r2h 臺體 V S S 分別為上 下底面面積 h為高 特別地 V圓臺 球 V R為半徑 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 長方體的外接球 球心 體對角線的交點(diǎn) 半徑 r a b c為長方體的長 寬 高 2 正方體的外接球 內(nèi)切球及與各條棱相切的球 外接球 球心是正方體中心 半徑r a為正方體的棱長 內(nèi)切球 球心是正方體中心 半徑r a為正方體的棱長 與各條棱都相切的球 球心是正方體中心 半徑r a a為正方體的棱長 3 正四面體的外接球與內(nèi)切球 正四面體可以看作是正方體的一部分 外接球 球心是正四面體的中心 半徑r a a為正四面體的棱長 內(nèi)切球 球心是正四面體的中心 半徑r a a為正四面體的棱長 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 割補(bǔ)法與等體積轉(zhuǎn)化法 2 數(shù)學(xué)思想 轉(zhuǎn)化與化歸 函數(shù)與方程 3 記憶口訣 臺體體積公式記憶口訣 上底面 下底面 兩底積根加號連 乘高除三體積見 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和 2 錐體的體積等于底面積與高之積 3 球的體積之比等于半徑比的平方 4 簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差 5 長方體既有外接球又有內(nèi)切球 解析 1 正確 多面體的表面積等于側(cè)面積與底面積之和 2 錯(cuò)誤 錐體的體積等于底面積與高之積的 3 錯(cuò)誤 球的體積之比等于半徑比的立方 4 正確 簡單組合體是由簡單幾何體拼接或截去或挖去一部分組成 5 錯(cuò)誤 長方體只有外接球 沒有內(nèi)切球 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修2P28習(xí)題1 3A組T3改編 如圖 將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐 則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為 解析 設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a b c 它截出棱錐的體積為V1 剩下的幾何體的體積V2 所以V1 V2 1 47 答案 1 47 2 必修2P36T10改編 一直角三角形的三邊長分別為6cm 8cm 10cm 繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為 解析 旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以cm為半徑的兩個(gè)同底面的圓錐 其表面積為S 答案 cm2 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 四川高考 某三棱錐的側(cè)視圖 俯視圖如圖所示 則該三棱錐的體積是 錐體體積公式 V Sh 其中S為底面面積 h為高 A 3B 2C D 1 解析 選D 根據(jù)所給的側(cè)視圖和俯視圖 該三棱錐的直觀圖如圖所示 從俯視圖可知 三棱錐的頂點(diǎn)A在底面內(nèi)的投影O為邊BD的中點(diǎn) 所以AO即為三棱錐的高 其體積為 2 2013 天津高考 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上 若球的體積為 則正方體的棱長為 解析 設(shè)球半徑為R 因?yàn)榍虻捏w積為所以R 又由球的直徑與其內(nèi)接正方體的體對角線相等知正方體的體對角線長為3 故其棱長為 答案 3 2014 山東高考 一個(gè)六棱錐的體積為2 其底面是邊長為2的正六邊形 側(cè)棱長都相等 則該六棱錐的側(cè)面積為 解析 設(shè)六棱錐的高為h 斜高為h 則由體積V 得 h 1 h 所以側(cè)面積為 2 h 6 12 答案 12 考點(diǎn)1幾何體的側(cè)面積及表面積 典例1 1 2014 安徽高考 一個(gè)多面體的三視圖如圖所示 則該多面體的表面積為 A 21 B 18 C 21D 18 2 2015 石家莊模擬 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為 解題提示 1 將三視圖還原為原幾何體 求各個(gè)面面積的和 2 將三視圖還原為原幾何體 可得該幾何體是長方體內(nèi)挖去圓柱后剩下的部分 規(guī)范解答 1 選A 由三視圖可知原幾何體是一個(gè)正方體截去兩個(gè)全等的小正三棱錐 正方體的表面積為S 24 兩個(gè)全等的三棱錐是以正方體的相對頂點(diǎn)為頂點(diǎn) 側(cè)面是三個(gè)全等的直角邊長為1的等腰直角三角形 其側(cè)面面積的和為3 三棱錐的底面是邊長為的正三角形 其表面積的和為 故所求幾何體的表面積為24 3 21 2 由三視圖可知 該幾何體是一個(gè)長方體內(nèi)挖去一個(gè)圓柱體 如圖所示 長方體的長 寬 高分別為4 3 1 表面積為4 3 2 3 1 2 4 1 2 38 圓柱的底面圓直徑為2 母線長為1 側(cè)面積為2 1 1 2 圓柱的兩個(gè)底面面積和為2 12 2 故該幾何體的表面積為38 2 2 38 答案 38 易錯(cuò)警示 解答本例題 1 有兩點(diǎn)易出錯(cuò) 1 由三視圖將對應(yīng)的幾何體的結(jié)構(gòu)特征還原錯(cuò) 而誤選 2 還原幾何體正確 但忽視截去三棱錐后截面是一個(gè)邊長為的正三角形 其面積和為 而誤選C 互動(dòng)探究 把本例題 2 中的三視圖改為如下圖形 求該幾何體的表面積 解析 由三視圖知 這是一個(gè)底面是矩形的四棱錐 矩形的長和寬分別是6 2 四棱錐的高是4 所以四棱錐的表面積是2 6 2 2 5 6 4 6 2 34 6 規(guī)律方法 幾何體表面積的求法 1 多面體 其表面積是各個(gè)面的面積之和 2 旋轉(zhuǎn)體 其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和 計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí) 一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行 即將側(cè)面展開化為平面圖形來解決 3 簡單組合體 應(yīng)搞清各構(gòu)成部分 并注意重合部分的處理 4 若以三視圖的形式給出 解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進(jìn)行分析 從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系 得到幾何體的直觀圖 然后根據(jù)條件求解 變式訓(xùn)練 2015 合肥模擬 如圖所示 某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形 側(cè)視圖是平行四邊形 則該幾何體的表面積為 解析 選C 圖中所示的三視圖對應(yīng)的是一個(gè)橫放的四棱柱 該四棱柱四個(gè)側(cè)面都是矩形 上 下兩個(gè)底面是平行四邊形 其表面積為2 3 3 2 3 2 2 3 30 6 加固訓(xùn)練 1 2015 武漢模擬 已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為 A 10 96B 9 96C 8 96D 9 80 解析 選C 圖中所示的三視圖對應(yīng)的是一個(gè)由一個(gè)圓柱和一個(gè)正方體構(gòu)成的簡單組合體 其表面積為S 6 4 4 2 1 4 96 8 2 某幾何體的三視圖如圖所示 該幾何體的表面積是 解析 由幾何體的三視圖可知 該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱 如圖所示 在四邊形ABCD中 作DE AB 垂足為E 則DE 4 AE 3 則AD 5 所以其表面積為2 2 5 4 2 4 4 5 4 5 4 4 92 答案 92 考點(diǎn)2幾何體的體積知 考情空間幾何體的體積計(jì)算是近幾年高考考查空間幾何體的一個(gè)重要考向 常與空間幾何體的三視圖 空間的平行 垂直關(guān)系等知識綜合 主要以選擇 填空題的形式出現(xiàn) 明 角度命題角度1 根據(jù)幾何體的直觀圖計(jì)算體積 典例2 2014 山東高考 三棱錐P ABC中 D E分別為PB PC的中點(diǎn) 記三棱錐D ABE的體積為V1 P ABC的體積為V2 則 解題提示 本題考查了空間幾何體的體積 可以由底面積和高的比值求出體積的比值 規(guī)范解答 分別過E C向平面PAB作高h(yuǎn)1 h2 由E為PC的中點(diǎn)得由D為PB的中點(diǎn)得S ABD S ABP 所以V1 V2 答案 命題角度2 根據(jù)幾何體的三視圖計(jì)算體積 典例3 2014 重慶高考 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 本題源于教材必修2P29B組T1 A 12B 18C 24D 30 解題提示 直接根據(jù)三視圖還原為幾何體 然后求出該幾何體的體積 規(guī)范解答 選C 由三視圖可知 該幾何體為如圖所示的一個(gè)三棱柱上面截去一個(gè)三棱錐得到的 三棱柱的體積為 3 4 5 30 截去的三棱錐的體積為 3 3 4 6 所以該幾何體的體積為24 悟 技法計(jì)算幾何體體積的常見類型及解題策略 通 一類1 2014 浙江高考 某幾何體的三視圖 單位 cm 如圖所示 則該幾何體的體積是 A 72cm3B 90cm3C 108cm3D 138cm3 解析 選B 由三視圖可知 原幾何體是一個(gè)長方體和一個(gè)三棱柱的組合體 如圖所示 所以其體積為V 3 4 6 3 4 3 90 2 2014 新課標(biāo)全國卷 正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為2 側(cè)棱長為 D為BC中點(diǎn) 則三棱錐A B1DC1的體積為 解析 選C 因?yàn)锽1C1 BD 所以BD 面AB1C1 點(diǎn)B和D到面AB1C1的距離相等 所以 3 2015 北京模擬 某幾何體的三視圖如圖所示 當(dāng)a b取最大值時(shí) 這個(gè)幾何體的體積為 解析 選D 由題意知 該幾何體的直觀圖如圖所示 且AC BD 1 BC b AB a 設(shè)CD x AD y 則x2 y2 6 x2 1 b2 y2 1 a2 消去x2 y2得a2 b2 8 所以a b 4 當(dāng)且僅當(dāng)a b 2時(shí)等號成立 此時(shí)x y 所以 4 2015 大連模擬 某一幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 解析 依題意 可知題中的幾何體是從一個(gè)棱長為2的正方體中挖去一個(gè)圓錐 其中該圓錐的底面半徑是1 高是2 因此該幾何體的體積等于23 12 2 8 答案 8 考點(diǎn)3空間幾何體的外接球 內(nèi)切球問題 典例4 1 2014 湖南高考 一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示 將該石材切削 打磨 加工成球 則能得到的最大球的半徑等于 A 1B 2C 3D 4 2 2015 西安模擬 四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上 AB 平面BCD BCD是邊長為3的等邊三角形 若AB 2 則球O的表面積為 A B 12 C 16 D 32 解題提示 1 先由三視圖畫出直觀圖 判斷這個(gè)幾何體是底面是邊長為6 8 10的直角三角形 高為12的水平放置的直三棱柱 底面的內(nèi)切圓的半徑就是得到的最大球的半徑 2 將四面體ABCD補(bǔ)形成正三棱柱 轉(zhuǎn)化為正三棱柱的外接球問題求解 規(guī)范解答 1 選B 由三視圖畫出直觀圖如圖 判斷這個(gè)幾何體是底面是邊長為6 8 10的直角三角形 高為12的水平放置的直三棱柱 直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為r 2 這就是得到的最大球的半徑 2 選C 將四面體ABCD補(bǔ)形成正三棱柱 則其外接球的球心為上 下底面的中心連線的中點(diǎn) 底面 BCD的外接圓半徑為 所以外接球的半徑R 2 球O的表面積S 4 R2 16 規(guī)律方法 空間幾何體與球接 切問題的求解方法 1 求解球與棱柱 棱錐的接 切問題時(shí) 一般過球心及接 切點(diǎn)作截面 把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接 切問題 再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解 2 若球面上四點(diǎn)P A B C構(gòu)成的三條線段PA PB PC兩兩互相垂直 且PA a PB b PC c 一般把有關(guān)元素 補(bǔ)形 成為一個(gè)球內(nèi)接長方體 利用4R2 a2 b2 c2求解 變式訓(xùn)練 2015 鄭州模擬 已知三棱錐P ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上 且PA PB PC兩兩互相垂直 則三棱錐P ABC的側(cè)面積的最大值為 解析 如圖所示 因?yàn)镻A PB PC兩兩互相垂直 所以三棱錐P ABC的外接球就是以PA PB PC為棱長的長方體的外接球 設(shè)PA a PB b PC c 則有a2 b2 c2 4 32 36 而三棱錐P ABC的側(cè)面積為S ab bc ac 又 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號 當(dāng)且僅當(dāng)b c時(shí)取等號 當(dāng)且僅當(dāng)a c時(shí)取等號 所以S 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取等號 答案 18 加固訓(xùn)練 1 2015 吉林模擬 已知直三棱柱ABC A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上 若AB 3 AC 4 AB AC AA1 12 則球O的半徑為 解析 選C 由題意知 三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形 其外接圓的圓心O 為其斜邊BC的中點(diǎn) 連接OA OO O A 由勾股定理得 OA2 O O2 O A2 其中OA R OO AA1 6 O A BC 所以球O的半徑為 2 2015 西安模擬 如圖 已知球O是棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1的內(nèi)切球 則平面ACD1截球O的截面面積為 解析 選C 平面ACD1截球O的截面為 ACD1的內(nèi)切圓 因?yàn)檎襟w的棱長為1 所以AC CD1 AD1 所以內(nèi)切圓的半徑r 所以S r2 巧思妙解8巧用補(bǔ)形法解決立體幾何問題 典例 2015 唐山模擬 如圖 ABC中 AB 8 BC 10 AC 6 DB 平面ABC 且AE FC BD BD 3 FC 4 AE 5 則此幾何體的體積為 常規(guī)解法 如圖 取CM AN BD 連接DM MN DN 用 分割法 把原幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐 所以V幾何體 V三棱柱 V四棱錐 由題知三棱柱ABC NDM的體積為V1 8 6 3 72 四棱錐D MNEF的體積為 則幾何體的體積為 V V1 V2 72 24 96 答案 96 巧妙解法 用 補(bǔ)形法 把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱 使AA BB CC 8 所以V幾何體 V三棱柱 S ABC AA 24 8 96 答案 96 方法指導(dǎo) 1 補(bǔ)形法的應(yīng)用思路 補(bǔ)形法 是立體幾何中一種常見的重要方法 在解題時(shí) 把幾何體通過 補(bǔ)形 補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中 巧妙地破解空間幾何體的體積等問題 常見的補(bǔ)形法有對稱補(bǔ)形 聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形 對于還原補(bǔ)形 主要涉及臺體中 還臺為錐 2 補(bǔ)形法的應(yīng)用條件 當(dāng)某些空間幾何體是某一個(gè)幾何體的一部分 且求解的問題直接求解較難入手時(shí) 常用該法 類題試解 如圖所示 在等腰梯形ABCD中 AB 2DC 2 DAB 60 E為AB的中點(diǎn) 將 ADE與 BEC分別沿ED EC向上折起 使A B重合 則形成的三棱錐的外接球的表面積為 常規(guī)解法 由已知條件知 平面圖形中AE EB BC CD DA DE EC 1 折疊后得到一個(gè)正四面體 作AF 平面DEC 垂足為F F即為 DEC的中心 取EC的中點(diǎn)G 連接DG AG 過球心O作OH 平面AEC 則垂足H為 AEC的中心 所以外接球半徑可利用 OHA GFA求得 因?yàn)锳G AF AH 在 AFG和 AHO中 根據(jù)三角形相似可知外接球的表面積S球 答案 巧妙解法 由已知條件知 平面圖形中AE EB BC CD DA DE EC 1 折疊后得到一個(gè)正四面體 如圖所示 把正四面體放在正方體中 顯然 正四面體的外接球就是正方體的外接球 因?yàn)檎拿骟w的棱長為1 所以正方體的棱長為 所以外接球直徑2R 所以R 所以外接球的表面積S球 答案