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選修4 4坐標系與參數(shù)方程 第一節(jié)坐標系 最新考綱展示1 理解坐標系的作用 2 了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況 3 能在極坐標系中用極坐標表示點的位置 理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別 能進行極坐標與直角坐標的互化 4 能在極坐標系中給出簡單圖形的方程 通過比較這些圖形在極坐標系與直角坐標系中的方程 理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義 5 了解柱坐標系 球坐標系中表示空間中點的位置的方法 并與空間直角坐標系中表示點的位置的方法相比較 了解它們的區(qū)別 一 平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 伸縮變換 x y 二 極坐標系的概念1 極坐標系如圖所示 在平面內(nèi)取一個O 叫作極點 自極點O引一條 Ox 叫作極軸 再選定一個單位 一個單位 通常取 及其正方向 通常取方向 這樣就建立了一個極坐標系 定點 射線 長度 角度 弧度 逆時針 2 極坐標設M是平面內(nèi)一點 極點O與點M的叫作點M的極徑 記為 以極軸Ox為始邊 射線OM為終邊的角叫作點M的極角 記為 有序數(shù)對叫作點M的極坐標 記為 一般地 不做特殊說明時 我們認為 0 可取 3 點與極坐標的關(guān)系一般地 極坐標 與表示同一個點 特別地 極點O的坐標為 和直角坐標不同 平面內(nèi)一個點的極坐標有種表示 如果規(guī)定 0 那么除外 平面內(nèi)的點可用 的極坐標 表示 同時 極坐標 表示的點也是 確定的 距離 OM xOM M 任意實數(shù) 2k k Z 0 R 無數(shù) 0 2 極點 唯一 唯一 三 極坐標和直角坐標的互化1 互化背景 把直角坐標系的原點作為 x軸的正半軸作為 并在兩種坐標系中取相同的 極點 極軸 長度單位 2 互化公式 如圖所示 設M是坐標系平面內(nèi)任意一點 它的直角坐標系是 x y 極坐標是 0 于是極坐標與直角坐標的互化公式如下表 四 常見曲線的極坐標方程 1 直線的參數(shù)方程的應用非常廣泛 主要用來解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 在解決這類問題時 充分利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義 可以避免通過解方程組找交點等煩瑣的運算 使問題得到簡化 直線的參數(shù)方程有多種形式 只有標準式中的參數(shù)才具有明確的幾何意義 2 極坐標與直角坐標互化公式 x cos y sin 成立的條件是直角坐標的原點為極點 x軸的正半軸作為極軸 并在兩種坐標系中取相同的長度單位 一 極坐標系 答案 C 答案 二 直角坐標與極坐標互化及常見曲線的極坐標方程3 已知圓的直角坐標方程為x2 y2 2x 0 在以原點為極點 x軸非負半軸為極軸的極坐標系中 該圓的方程為 A 2cos B 2sin C 2cos D 2sin 解析 在極坐標系中 x cos y sin 代入方程x2 y2 2x 0得 2 2 cos 即 2cos 選A 答案 A 4 極坐標方程 sin 2cos 能表示的曲線的直角坐標方程為 解析 由 sin 2cos 得 2 sin 2 cos x2 y2 2x y 0 答案 x2 y2 2x y 0 極坐標與直角坐標的互化 自主探究 規(guī)律方法 1 在由點的直角坐標化為極坐標時 一定要注意點所在的象限和極角的范圍 否則點的極坐標將不唯一 2 在曲線的方程進行互化時 一定要注意變量的范圍 要注意轉(zhuǎn)化的等價性 1 寫出曲線C的直角坐標方程 并求M N的極坐標 2 設M N的中點為P 求直線OP的極坐標方程 直角坐標方程與極坐標方程的互化 師生共研 規(guī)律方法直角坐標方程與極坐標方程的互化 關(guān)鍵要掌握好互化公式 研究極坐標系下圖形的性質(zhì) 可轉(zhuǎn)化為我們熟悉的直角坐標系的情境 1 O1和 O2的極坐標方程分別為 4cos 4sin 1 把 O1和 O2的極坐標方程化為直角坐標方程 2 求經(jīng)過 O1 O2交點的直線的直角坐標方程 解析 以極點為原點 極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系 兩坐標系中取相同的長度單位 1 4cos 兩邊同乘以 得 2 4 cos 4sin 兩邊同乘以 得 2 4 sin 規(guī)律方法在已知極坐標方程求曲線交點 距離 線段長等幾何問題時 如果不能直接用極坐標解決 或用極坐標解決較麻煩 可將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程解決 曲線極坐標方程的應用 師生共研 答案 1