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第十一章復數(shù) 算法 推理與證明 第4節(jié)直接證明與間接證明 1 了解直接證明的兩種基本方法 分析法和綜合法 了解分析法和綜合法的思考過程和特點 2 了解反證法的思考過程和特點 要點梳理 1 直接證明 已知條件 待證結論 原因 結果 待證結論 充分條件 結果 產生這一 結果的原因 已知 可知 未知 必要條件 未知 需知 已知 充分條件 質疑探究 綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系 提示 1 分析法的特點是 從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 其逐步推理 實際上是尋求它成立的充分條件 2 綜合法的特點是 從 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 實際上是尋找它成立的必要條件 3 分析法易于探索解題思路 綜合法易于過程表述 在應用中視具體情況擇優(yōu)選之 2 間接證明 Q不成立 解析 因為a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 答案 D 3 2014 山東高考 用反證法證明命題 設a b為實數(shù) 則方程x2 ax b 0至少有一個實根 時 要做的假設是 A 方程x2 ax b 0沒有實根B 方程x2 ax b 0至多有一個實根C 方程x2 ax b 0至多有兩個實根D 方程x2 ax b 0恰好有兩個實根 解析 方程x2 ax b 0至少有一個實根 等價于 方程x2 ax b 0有一個實根或兩個實根 所以該命題的否定是 方程x2 ax b 0沒有實根 答案 A 答案 3 答案 b 思路點撥 1 取特殊值代入計算即可證明 2 對照新定義中的3個條件 逐一代入驗證 只有滿足所有條件 才能得出 是理想函數(shù) 的結論 否則得出 不是理想函數(shù) 的結論 拓展提高用綜合法證題是從已知條件出發(fā) 逐步推向結論 綜合法的適用范圍 1 定義明確的問題 如證明函數(shù)的單調性 奇偶性 求證無條件的等式或不等式 2 已知條件明確 并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結論的題型 在使用綜合法證明時 易出現(xiàn)的錯誤是因果關系不明確 邏輯表達混亂 思路點撥本題若使用綜合法 不易尋求證題思路 可考慮使用分析法 證明 m 0 1 m 0 所以要證原不等式成立 只需證 a mb 2 1 m a2 mb2 即證m a2 2ab b2 0 即證 a b 2 0 而 a b 2 0顯然成立 故原不等式得證 拓展提高分析法的特點和思路是 執(zhí)果索因 即從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 或本身已經成立的定理 性質或已經證明成立的結論等 運用分析法必須考慮條件的必要性是否成立 通常采用 欲證 只需證 已知 的格式 在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性 拓展提高當一個命題的結論是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出現(xiàn)時 宜用反證法來證 反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾 矛盾可以是 與已知條件矛盾 與假設矛盾 與定義 公理 定理矛盾 與事實矛盾等方面 反證法常常是解決某些 疑難 問題的有力工具 是數(shù)學證明中的一件有力武器 規(guī)范答題11反證法證明題的規(guī)范答題典例 2013 陜西高考 本小題滿分12分 設 an 是公比為q的等比數(shù)列 1 推導 an 的前n項和公式 2 設q 1 證明 數(shù)列 an 1 不是等比數(shù)列 審題視角 1 利用等比數(shù)列的概念及通項公式推導前n項和公式 2 利用反證法證明要證的結論 滿分展示 提醒 1 推導Sn時 不可漏掉q 1 2 假設 an 1 是等比數(shù)列時 不可用a1 1 a2 1與a3 1建立關系來說明矛盾 答題模板 第1步 當q 1時 求Sn 第2步 當q 1時 構造qSn 第3步 錯位相減 第4步 假設結論 構造等式 第5步 轉化為關于q的方程 得出矛盾 第6步 得出正確結論 思維升華 方法與技巧 1 分析法的特點 從未知看需知 逐步靠攏已知 2 綜合法的特點 從已知看可知 逐步推出未知 3 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點 分析法思考起來比較自然 容易尋找到解題的思路和方法 缺點是思路逆行 敘述較繁 綜合法從條件推出結論 較簡捷地解決問題 但不便于思考 實際證題時常常兩法兼用 先用分析法探索證明途徑 然后再用綜合法敘述出來 失誤與防范 1 用分析法證明數(shù)學問題時 要注意書寫格式的規(guī)范性 常常用 要證 欲證 即要證 就要證 等分析到一個明顯成立的結論 2 利用反證法證明數(shù)學問題時 要假設結論錯誤 并用假設命題進行推理 沒有用假設命題推理而推出矛盾結果 其推理過程是錯誤的