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知識點一解絕對值不等式 1 ax b c ax b c c 0 型不等式的解法 1 若c 0 則 ax b c等價于 c ax b c ax b c等價于ax b c或ax b c 然后根據(jù)a b的值解出即可 2 若c 0 則 ax b c的解集為 ax b c的解集為R 2 x a x b c c 0 x a x b c c 0 型不等式的解法可通過零點分區(qū)間法或利用絕對值的幾何意義進行求解 1 零點分區(qū)間法的一般步驟 令每個絕對值符號的代數(shù)式為零 并求出相應的根 將這些根按從小到大排列 把實數(shù)集分為若干個區(qū)間 由所分區(qū)間去掉絕對值符號得若干個不等式 解這些不等式 求出解集 取各個不等式解集的并集就是原不等式的解集 2 利用絕對值的幾何意義由于 x a x b 與 x a x b 分別表示數(shù)軸上與x對應的點到a b對應的點的距離之和與距離之差 因此對形如 x a x b 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利用絕對值的幾何意義求解更直觀 3 f x g x f x 0 型不等式的解法 1 f x g x f x g x 或f x g x 2 f x g x g x f x g x 知識點二不等式的證明1 證明不等式的常用結(jié)論 1 絕對值的三角不等式定理1 若a b為實數(shù) 則 a b a b 當且僅當ab 0 等號成立 定理2 設a b c為實數(shù) 則 a c a b b c 當且僅當 a b b c 0時 等號成立 推論1 a b a b 推論2 a b a b 2 證明不等式的常用方法 1 比較法一般步驟 作差 變形 判斷 結(jié)論 為了判斷作差后的符號 有時要把這個差變形為一個常數(shù) 或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式 也可變形為幾個因式的積的形式 以判斷其正負 2 綜合法利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì) 推導出所要證明的不等式 這種方法叫綜合法 即 由因?qū)Ч?的方法 3 分析法證明不等式時 有時可以從求證的不等式出發(fā) 分析使這個不等式成立的充分條件 把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題 如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備 那么就可以判定原不等式成立 這種方法叫作分析法 即 執(zhí)果索因 的方法 4 反證法和放縮法 先假設要證的命題不成立 以此為出發(fā)點 結(jié)合已知條件 應用公理 定義 定理 性質(zhì)等 進行正確的推理 得到和命題的條件 或已證明的定理 性質(zhì) 明顯成立的事實等 矛盾的結(jié)論 以說明假設不正確 從而證明原命題成立 這種方法叫作反證法 證明不等式時 通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小 簡化不等式 從而達到證明的目的 這種方法叫作放縮法 名師助學 1 a b 與 a b a b 與 a b a b 之間的關系 1 a b a b 當且僅當a b 0時 等號成立 2 a b a b a b 當且僅當 a b 且ab 0時 左邊等號成立 當且僅當ab 0時 右邊等號成立 2 證明不等式的常用方法有比較法 綜合法 分析法 如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯 可考慮用分析法 如果待證命題是否定性命題 唯一性命題或以 至少 至多 等方式給出的 則考慮用反證法 如果待證不等式與自然數(shù)有關 則考慮用數(shù)學歸納法等 在必要的情況下 可能還需要使用換元法 構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明 方法1含絕對值不等式的性質(zhì)與解法 1 基本性質(zhì)法 對a R x a xa 2 平方法 兩邊平方去掉絕對值符號 3 零點分區(qū)間法 含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式 可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號 將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式 組 求解 4 幾何法 利用絕對值的幾何意義 畫出數(shù)軸 將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點的距離求解 5 數(shù)形結(jié)合法 在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應的兩個函數(shù)的圖象 利用函數(shù)圖象求解 例1 不等式 2x 1 2 x 1 0的解集為 點評 解決本題的關鍵是去絕對值號 轉(zhuǎn)化為一元一次不等式求解 方法2不等式的證明與應用證明不等式的常用方法 1 比較法 2 綜合法 3 分析法 4 反證法和放縮法 5 數(shù)學歸納法 點評 均值不等式的應用 方法3求解與絕對值不等式相關的最值問題的方法解含參數(shù)的不等式存在性問題 只要求出存在滿足條件的x即可 求解存在性問題需過兩關 第一關是轉(zhuǎn)化關 先把存在性問題轉(zhuǎn)化為求最值問題 不等式的解集為R是指不等式的恒成立問題 而不等式的解集為 的對立面也是不等式的恒成立問題 此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題 即f x f x max f x a恒成立 a f x min 第二關是求最值關 求含絕對值的函數(shù)最值時 常用的方法有三種 利用絕對值的幾何意義 利用絕對值三角不等式 即 a b a b a b 利用零點分區(qū)間法 例3 已知函數(shù)f x x a x 2 1 當a 3時 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范圍 審題指導 1 將a 3代入f x 利用零點分段法去絕對值號 2 根據(jù)x 1 2 去絕對值號解關于a的不等式 當x 3時 由f x 3 得2x 5 3 解得x 4 所以f x 3的解集為 x x 1 x x 4 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 當x 1 2 時 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由條件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故滿足條件的a的取值范圍為 3 0 點評 研究含有絕對值的函數(shù)問題時 根據(jù)絕對值的定義 分類討論去掉絕對值符號 轉(zhuǎn)化為分段函數(shù) 然后利用數(shù)形結(jié)合解決 是常用的思想方法 解含絕對值的不等式的基本思路可概括為十二字口訣 找零點 分區(qū)間 逐個解 并起來