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8 3直線 平面平行的判定與性質 第八章立體幾何 數(shù)學蘇 理 基礎知識 自主學習 題型分類 深度剖析 思想方法 感悟提高 練出高分 1 直線與平面平行的判定與性質 a a b a b a a a b a a b 2 面面平行的判定與性質 a b a b P a b a b 思考辨析 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面 那么這兩個平面平行 2 如果兩個平面平行 那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面 3 若直線a與平面 內無數(shù)條直線平行 則a 4 空間四邊形ABCD中 E F分別是AB AD的中點 則EF 平面BCD 5 若 直線a 則a 或 解析 因為 a 所以a 在平面 內存在無數(shù)條直線與直線a平行 但不是所有直線都與直線a平行 故命題 為真命題 命題 為假命題 在平面 內存在無數(shù)條直線與直線a垂直 故命題 為假命題 例1 2014 山東改編 如圖 四棱錐P ABCD中 AD BC AB BC AD E F H分別為線段AD PC CD的中點 AC與BE交于O點 G是線段OF上一點 1 求證 AP 平面BEF 題型一直線與平面平行的判定與性質 解析 思維升華 證明連結EC 例1 2014 山東改編 如圖 四棱錐P ABCD中 AD BC AB BC AD E F H分別為線段AD PC CD的中點 AC與BE交于O點 G是線段OF上一點 1 求證 AP 平面BEF 題型一直線與平面平行的判定與性質 BC綊AE 四邊形ABCE是平行四邊形 O為AC的中點 又 F是PC的中點 FO AP 解析 思維升華 解析 思維升華 FO 平面BEF AP 平面BEF AP 平面BEF 例1 2014 山東改編 如圖 四棱錐P ABCD中 AD BC AB BC AD E F H分別為線段AD PC CD的中點 AC與BE交于O點 G是線段OF上一點 1 求證 AP 平面BEF 題型一直線與平面平行的判定與性質 判斷或證明線面平行的常用方法 1 利用線面平行的定義 無公共點 2 利用線面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性質定理 a a 4 利用面面平行的性質 a a a 例1 2014 山東改編 如圖 四棱錐P ABCD中 AD BC AB BC AD E F H分別為線段AD PC CD的中點 AC與BE交于O點 G是線段OF上一點 1 求證 AP 平面BEF 題型一直線與平面平行的判定與性質 解析 思維升華 思維點撥 解析 思維升華 例1 2 求證 GH 平面PAD 思維點撥 解析 思維升華 例1 2 求證 GH 平面PAD 2 中可證明平面OHF 平面PAD 思維點撥 解析 思維升華 證明連結FH OH F H分別是PC CD的中點 FH PD FH 平面PAD 又 O是BE的中點 H是CD的中點 例1 2 求證 GH 平面PAD 思維點撥 解析 思維升華 OH AD OH 平面PAD 又FH OH H 平面OHF 平面PAD 又 GH 平面OHF GH 平面PAD 例1 2 求證 GH 平面PAD 思維點撥 解析 思維升華 例1 2 求證 GH 平面PAD 判斷或證明線面平行的常用方法 1 利用線面平行的定義 無公共點 2 利用線面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性質定理 a a 4 利用面面平行的性質 a a a 跟蹤訓練1 2013 福建改編 如圖 在四棱錐P ABCD中 PD 平面ABCD AB DC AB AD BC 5 DC 3 AD 4 PAD 60 1 若M為PA的中點 求證 DM 平面PBC 方法一證明如圖 取PB中點N 連結MN CN 在 PAB中 M是PA的中點 又CD AB CD 3 MN CD MN CD 四邊形MNCD為平行四邊形 DM CN 又DM 平面PBC CN 平面PBC DM 平面PBC 方法二證明如圖 取AB的中點E 連結ME DE 在梯形ABCD中 BE CD 且BE CD 四邊形BCDE為平行四邊形 DE BC 又DE 平面PBC BC 平面PBC DE 平面PBC 又在 PAB中 ME PB ME 平面PBC PB 平面PBC 又在 PAB中 ME PB ME 平面PBC PB 平面PBC ME 平面PBC 又DE ME E 平面DME 平面PBC 又DM 平面DME DM 平面PBC 2 求三棱錐D PBC的體積 題型二平面與平面平行的判定與性質 例2 2013 陜西 如圖 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 O為底面中心 A1O 平面ABCD AB AA1 1 證明 平面A1BD 平面CD1B1 解析 思維升華 解析 思維升華 證明由題設知 BB1綊DD1 四邊形BB1D1D是平行四邊形 BD B1D1 又BD 平面CD1B1 B1D1 平面CD1B1 BD 平面CD1B1 題型二平面與平面平行的判定與性質 例2 2013 陜西 如圖 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 O為底面中心 A1O 平面ABCD AB AA1 1 證明 平面A1BD 平面CD1B1 解析 思維升華 A1D1綊B1C1綊BC 四邊形A1BCD1是平行四邊形 A1B D1C 又A1B 平面CD1B1 D1C 平面CD1B1 A1B 平面CD1B1 又 BD A1B B 平面A1BD 平面CD1B1 題型二平面與平面平行的判定與性質 例2 2013 陜西 如圖 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 O為底面中心 A1O 平面ABCD AB AA1 1 證明 平面A1BD 平面CD1B1 解析 思維升華 證明面面平行的方法 1 面面平行的定義 2 面面平行的判定定理 如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面 那么這兩個平面平行 題型二平面與平面平行的判定與性質 例2 2013 陜西 如圖 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 O為底面中心 A1O 平面ABCD AB AA1 1 證明 平面A1BD 平面CD1B1 解析 思維升華 3 利用垂直于同一條直線的兩個平面平行 4 兩個平面同時平行于第三個平面 那么這兩個平面平行 5 利用 線線平行 線面平行 面面平行 的相互轉化 題型二平面與平面平行的判定與性質 例2 2013 陜西 如圖 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 O為底面中心 A1O 平面ABCD AB AA1 1 證明 平面A1BD 平面CD1B1 例2 2 求三棱柱ABD A1B1D1的體積 解 A1O 平面ABCD A1O是三棱柱ABD A1B1D1的高 例2 2 求三棱柱ABD A1B1D1的體積 跟蹤訓練2如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 S是B1D1的中點 E F G分別是BC DC SC的中點 求證 1 直線EG 平面BDD1B1 證明如圖 連結SB E G分別是BC SC的中點 EG SB 跟蹤訓練2如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 S是B1D1的中點 E F G分別是BC DC SC的中點 求證 1 直線EG 平面BDD1B1 又 SB 平面BDD1B1 EG 平面BDD1B1 直線EG 平面BDD1B1 2 平面EFG 平面BDD1B1 證明連結SD F G分別是DC SC的中點 FG SD 又 SD 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 由 1 知 EG 平面BDD1B1 且EG 平面EFG FG 平面EFG EG FG G 平面EFG 平面BDD1B1 題型三平行關系的綜合應用 例3如圖所示 在四面體ABCD中 截面EFGH平行于對棱AB和CD 試問截面在什么位置時其截面面積最大 思維點撥 解析 思維升華 思維點撥 解析 思維升華 利用線面平行的性質可以得到線線平行 可以先確定截面形狀 再建立目標函數(shù)求最值 題型三平行關系的綜合應用 例3如圖所示 在四面體ABCD中 截面EFGH平行于對棱AB和CD 試問截面在什么位置時其截面面積最大 思維點撥 解析 思維升華 解 AB 平面EFGH 平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG EH AB FG AB EH FG EH 同理可證EF GH 截面EFGH是平行四邊形 題型三平行關系的綜合應用 例3如圖所示 在四面體ABCD中 截面EFGH平行于對棱AB和CD 試問截面在什么位置時其截面面積最大 思維點撥 解析 思維升華 設AB a CD b FGH 即為異面直線AB和CD所成的角或其補角 又設FG x GH y 題型三平行關系的綜合應用 例3如圖所示 在四面體ABCD中 截面EFGH平行于對棱AB和CD 試問截面在什么位置時其截面面積最大 思維點撥 解析 思維升華 題型三平行關系的綜合應用 例3如圖所示 在四面體ABCD中 截面EFGH平行于對棱AB和CD 試問截面在什么位置時其截面面積最大 S EFGH FG GH sin 思維點撥 解析 思維升華 題型三平行關系的綜合應用 例3如圖所示 在四面體ABCD中 截面EFGH平行于對棱AB和CD 試問截面在什么位置時其截面面積最大 x 0 a x 0且x a x a為定值 當且僅當x a x時 思維點撥 解析 思維升華 題型三平行關系的綜合應用 例3如圖所示 在四面體ABCD中 截面EFGH平行于對棱AB和CD 試問截面在什么位置時其截面面積最大 即當截面EFGH的頂點E F G H為棱AD AC BC BD的中點時截面面積最大 思維點撥 解析 思維升華 利用線面平行的性質 可以實現(xiàn)與線線平行的轉化 尤其在截面圖的畫法中 常用來確定交線的位置 對于最值問題 常用函數(shù)思想來解決 題型三平行關系的綜合應用 例3如圖所示 在四面體ABCD中 截面EFGH平行于對棱AB和CD 試問截面在什么位置時其截面面積最大 跟蹤訓練3如圖所示 四棱錐P ABCD的底面是邊長為a的正方形 側棱PA 底面ABCD 在側面PBC內 有BE PC于E 且BE a 試在AB上找一點F 使EF 平面PAD 解在平面PCD內 過E作EG CD交PD于G 連結AG 在AB上取點F 使AF EG EG CD AF EG AF 跟蹤訓練3如圖所示 四棱錐P ABCD的底面是邊長為a的正方形 側棱PA 底面ABCD 在側面PBC內 有BE PC于E 且BE a 試在AB上找一點F 使EF 平面PAD 四邊形FEGA為平行四邊形 FE AG 又AG 平面PAD FE 平面PAD EF 平面PAD 跟蹤訓練3如圖所示 四棱錐P ABCD的底面是邊長為a的正方形 側棱PA 底面ABCD 在側面PBC內 有BE PC于E 且BE a 試在AB上找一點F 使EF 平面PAD F即為所求的點 又PA 面ABCD PA BC 又BC AB BC 面PAB PB BC 跟蹤訓練3如圖所示 四棱錐P ABCD的底面是邊長為a的正方形 側棱PA 底面ABCD 在側面PBC內 有BE PC于E 且BE a 試在AB上找一點F 使EF 平面PAD PC2 BC2 PB2 BC2 AB2 PA2 由PB BC BE PC得 跟蹤訓練3如圖所示 四棱錐P ABCD的底面是邊長為a的正方形 側棱PA 底面ABCD 在側面PBC內 有BE PC于E 且BE a 試在AB上找一點F 使EF 平面PAD 跟蹤訓練3如圖所示 四棱錐P ABCD的底面是邊長為a的正方形 側棱PA 底面ABCD 在側面PBC內 有BE PC于E 且BE a 試在AB上找一點F 使EF 平面PAD 答題模板系列5立體幾何中的探索性問題 規(guī)范解答 溫馨提醒 典例 14分 如圖 在四棱錐S ABCD中 已知底面ABCD為直角梯形 其中AD BC BAD 90 SA 底面ABCD SA AB BC 2 tan SDA 1 求四棱錐S ABCD的體積 答題模板 規(guī)范解答 溫馨提醒 解 SA 底面ABCD tan SDA SA 2 AD 3 由題意知四棱錐S ABCD的底面為直角梯形 且SA AB BC 2 規(guī)范解答 溫馨提醒 規(guī)范解答 溫馨提醒 1 立體幾何中的探索性問題主要是對平行 垂直關系的探究 對條件和結論不完備的開放性問題的探究 解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設問 假設其存在并探索出結論 然后在這個假設下進行推理論證 若得到合乎情理的結論就肯定假設 若得到矛盾就否定假設 2 這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟 從結論出發(fā) 要使 成立 只需使 成立 規(guī)范解答 溫馨提醒 答題模板 規(guī)范解答 溫馨提醒 2 在棱SD上找一點E 使CE 平面SAB 并證明 解當點E位于棱SD上靠近D的三等分點處時 可使CE 平面SAB 取SD上靠近D的三等分點為E 取SA上靠近A的三等分點為F 連結CE EF BF 答題模板 規(guī)范解答 溫馨提醒 BC綊EF CE BF 答題模板 規(guī)范解答 溫馨提醒 又 BF 平面SAB CE 平面SAB CE 平面SAB 答題模板 規(guī)范解答 溫馨提醒 解決立體幾何中的探索性問題的步驟 第一步 寫出探求的最后結論 第二步 證明探求結論的正確性 第三步 給出明確答案 第四步 反思回顧 查看關鍵點 易錯點和答題規(guī)范 答題模板 規(guī)范解答 溫馨提醒 1 立體幾何中的探索性問題主要是對平行 垂直關系的探究 對條件和結論不完備的開放性問題的探究 解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設問 假設其存在并探索出結論 然后在這個假設下進行推理論證 若得到合乎情理的結論就肯定假設 若得到矛盾就否定假設 2 這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟 從結論出發(fā) 要使 成立 只需使 成立 方法與技巧 1 平行問題的轉化關系 2 直線與平面平行的主要判定方法 1 定義法 2 判定定理 3 面與面平行的性質 3 平面與平面平行的主要判定方法 1 定義法 2 判定定理 3 推論 4 a a 失誤與防范 1 在推證線面平行時 一定要強調直線不在平面內 否則 會出現(xiàn)錯誤 2 在解決線面 面面平行的判定時 一般遵循從 低維 到 高維 的轉化 即從 線線平行 到 線面平行 再到 面面平行 而在應用性質定理時 其順序恰好相反 但也要注意 轉化的方向總是由題目的具體條件而定 決不可過于 模式化 3 解題中注意符號語言的規(guī)范應用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 設 是兩個不同的平面 m n是平面 內的兩條不同的直線 l1 l2是平面 內的兩條相交直線 則 的一個充分而不必要條件是 m 且l1 l1 且l2 m 且n m l1且n l2解析m l1 且n l2 但 m l1且n l2 m l1 且n l2 是 的一個充分不必要條件 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 若直線a平行于平面 則下列結論錯誤的是 填序號 a平行于 內的所有直線 內有無數(shù)條直線與a平行 直線a上的點到平面 的距離相等 內存在無數(shù)條直線與a成90 角 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析若直線a平行于平面 則 內既存在無數(shù)條直線與a平行 也存在無數(shù)條直線與a異面且垂直 所以 不正確 正確 又夾在相互平行的線與平面間的平行線段相等 所以 正確 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 如圖所示 四棱錐P ABCD的底面是一直角梯形 AB CD BA AD CD 2AB PA 底面ABCD E為PC的中點 則BE與平面PAD的位置關系是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析取PD的中點F 連結EF AF 又 AB CD 且CD 2AB EF綊AB 四邊形ABEF為平行四邊形 EB AF 又 EB 面PAD AF 面PAD BE 面PAD 答案平行 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 給出下列關于互不相同的直線l m n和平面 的三個命題 若l與m為異面直線 l m 則 若 l m 則l m 若 l m n l 則m n 其中真命題的個數(shù)為 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析 中當 與 不平行時 也可能存在符合題意的l m 中l(wèi)與m也可能異面 答案1 5 下列四個正方體圖形中 A B為正方體的兩個頂點 M N P分別為其所在棱的中點 能得出AB 平面MNP的圖形的序號是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析 中易知NP AA MN A B 平面MNP 平面AA B可得出AB 平面MNP 如圖 中 NP AB 能得出AB 平面MNP 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 在四面體A BCD中 M N分別是 ACD BCD的重心 則四面體的四個面中與MN平行的是 解析如圖 取CD的中點E 則EM MA 1 2 EN BN 1 2 所以MN AB 所以MN 平面ABD MN 平面ABC 平面ABD與平面ABC 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 7 如圖所示 ABCD A1B1C1D1是棱長為a的正方體 M N分別是下底面的棱A1B1 B1C1的中點 P是上底面的棱AD上的一點 AP 過P M N的平面交上底面于PQ Q在CD上 則PQ 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析 平面ABCD 平面A1B1C1D1 MN PQ M N分別是A1B1 B1C1的中點 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 8 在四面體ABCD中 截面PQMN是正方形 則在下列結論中 錯誤的為 填序號 AC BD AC 截面PQMN AC BD 異面直線PM與BD所成的角為45 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析 PQMN是正方形 MN QP 則MN 平面ABC 由線面平行的性質知MN AC 則AC 截面PQMN 同理可得MQ BD 又MN QM 則AC BD 故 正確 又 BD MQ 異面直線PM與BD所成的角即為 PMQ 45 故 正確 答案 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 9 如圖 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB AC 5 BB1 BC 6 D E分別是AA1和B1C的中點 1 求證 DE 平面ABC 證明取BC中點G 連結AG EG 因為E是B1C的中點 所以EG BB1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 由直棱柱知 AA1綊BB1 而D是AA1的中點 所以EG綊AD 所以四邊形EGAD是平行四邊形 所以ED AG 又DE 平面ABC AG 平面ABC 所以DE 平面ABC 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 求三棱錐E BCD的體積 解因為AD EG EG 平面BCE AD 平面BCE 所以AD 平面BCE 所以VE BCD VD BEC VA BCE VE ABC 由 1 知 DE 平面ABC 10 如圖 E F G H分別是正方體ABCD A1B1C1D1的棱BC CC1 C1D1 AA1的中點 求證 1 EG 平面BB1D1D 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 證明取B1D1的中點O 連結GO OB 易證四邊形BEGO為平行四邊形 故OB GE 由線面平行的判定定理即可證EG 平面BB1D1D 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 平面BDF 平面B1D1H 證明由題意可知BD B1D1 如圖 連結HB D1F 易證四邊形HBFD1是平行四邊形 故HD1 BF 又B1D1 HD1 D1 BD BF B 所以平面BDF 平面B1D1H 2 3 4 5 1 1 對于平面 和共面的直線m n 下列命題中為真命題的是 若m n與平面 所成的角相等 則m n 若m n 則m n 若m m n 則n 若m n 則m n 2 3 4 5 1 解析正三棱錐P ABC的側棱PA PB與底面所成角相等 但PA與PB相交 應排除 若m n 則m與n平行或相交 應排除 若m m n 則n 或n 應排除 因為m n共面 設經過m n的平面為 因為m 所以 m 因為n 所以n m 答案 2 3 4 5 1 2 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F G H分別是棱CC1 C1D1 D1D CD的中點 N是BC的中點 動點M在四邊形EFGH上及其內部運動 則M滿足條件 時 有MN 平面B1BDD1 解析因為HN BD HF DD1 所以平面NHF 平面B1BDD1 故線段FH上任意點M與N相連 都有MN 平面B1BDD1 M 線段FH 2 3 4 5 1 3 如圖 空間四邊形ABCD的兩條對棱AC BD的長分別為5和4 則平行于兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中 周長的取值范圍是 GH 5k EH 4 1 k 周長 8 2k 又 0 k 1 周長的范圍為 8 10 8 10 2 3 4 5 1 4 如圖 平面 內有 ABC AB 5 BC 8 AC 7 梯形BCDE的底DE 2 過EB的中點B1的平面 若 分別交EA DC于A1 C1 求 A1B1C1的面積 解 A1B1 AB B1C1 BC 又因 A1B1C1與 ABC同向 2 3 4 5 1 A1B1C1 ABC ABC 60 A1B1C1 又 B1為EB的中點 B1A1是 EAB的中位線 2 3 4 5 1 同理知B1C1為梯形BCDE的中位線 2 3 4 5 1 5 如圖 四棱錐P ABCD中 PD 平面ABCD 底面ABCD為矩形 PD DC 4 AD 2 E為PC的中點 1 求三棱錐A PDE的體積 解因為PD 平面ABCD 所以PD AD 又因ABCD是矩形 所以AD CD 2 3 4 5 1 因PD CD D 所以AD 平面PCD 所以AD是三棱錐A PDE的高 因為E為PC的中點 且PD DC 4 又AD 2 2 3 4 5 1 2 AC邊上是否存在一點M 使得PA 平面EDM 若存在 求出AM的長 若不存在 請說明理由 解取AC中點M 連結EM DM 因為E為PC的中點 M是AC的中點 所以EM PA 又因為EM 平面EDM PA 平面EDM 所以PA 平面EDM 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1