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選修3 4 第1課時機械振動 基礎回顧 核心探究 演練提升 基礎回顧自主梳理 融會貫通 知識梳理 一 簡諧運動1 定義 物體所受的力與它偏離平衡位置的位移大小成 并且總指向的運動 正比 2 平衡位置 在某一位置兩側的往復運動中的 某一位置 3 回復力 1 定義 物體振動過程中受到的指向的力 2 方向 總是與位移方向 3 來源 屬于力 可以是某一個力 也可以是幾個力的合力或某個力的分力 平衡位置 平衡位置 相反 效果 4 描述簡諧運動的物理量 平衡位置 所在位置 平衡位置 最大距離 全振動 強弱 單位時間 快慢 二 簡諧運動公式和圖像1 表達式 1 動力學表達式 F 其中 表示回復力與位移的方向相反 2 運動學表達式 kx 2 圖像 1 從開始計時 函數表達式為x Asint 圖像如圖 甲 所示 2 從開始計時 函數表達式為x Acost 圖像如圖 乙 所示 平衡位置 最大位移處 三 單擺及其周期公式簡諧運動的兩種模型 阻力 很小 彈力 重力 原長 最低 振幅 機械能 機械能 四 受迫振動和共振1 自由振動 受迫振動和共振 回復力 驅動力 驅動力 周期 T驅 f驅 T0 f0 不變 最大 頻率 2 受迫振動中系統能量的變化 受迫振動系統機械能 系統與外界時刻進行能量交換 不守恒 自主檢測 1 思考判斷 1 簡諧運動的平衡位置就是質點所受合力為零的位置 2 做簡諧運動的質點先后通過同一點 回復力 速度 加速度 位移都是相同的 3 簡諧運動的回復力可以是恒力 4 簡諧運動的圖像描述的是質點的運動軌跡 5 物體做受迫振動時 其振動頻率與固有頻率無關 答案 1 2 3 4 5 2 2018 湖北陽新月考 多選 做簡諧振動的物體 當它每次經過同一位置時 一定相同的物理量是 A 對平衡位置的位移B 速度C 回復力和加速度D 動能E 動量 ACD 解析 振動質點的位移是指離開平衡位置的位移 做簡諧運動的物體 每次通過同一位置時 位移一定相同 故A正確 速度可能有兩種方向 所以速度和動量不一定相同 故B E錯誤 根據簡諧運動的特征a 可知加速度也一定相同 故C正確 物體的速度大小相等 則它的動能相同 故D正確 3 2018 遼寧本溪滿族自治縣月考 多選 如圖為某質點的振動圖像 由圖像可知 A 質點的振幅為2cm 周期為4 10 2sB 質點的振動方程為x 2sin50 t cm C 在t 0 01s時質點的位移為負向最大D P時刻質點的振動方向向下E 從0 02s至0 03s質點的位移增大 速度減小 ACE 解析 由圖知 振幅A 2cm 周期T 4 10 2s 則 rad s 50 rad s 由數學知識可得質點的振動方程為x Asin t 2sin50 t cm 故A正確 B錯誤 在t 0 01s時質點的位移為負向最大 速度為零 故C正確 P時刻圖像的斜率為正 則質點的振動方向向上 故D錯誤 從0 02s至0 03s 質點的位移增大 離開平衡位置 則質點的速度減小 故E正確 核心探究分類探究 各個擊破 考點一簡諧運動的規(guī)律 1 動力學特征F kx 表示回復力的方向與位移方向相反 k是比例系數 不一定是彈簧的勁度系數 2 運動學特征簡諧運動的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比而方向相反 為變加速運動 遠離平衡位置時 x F a Ep均增大 v Ek均減小 靠近平衡位置時則相反 3 運動的周期性特征相隔T或nT的兩個時刻振子處于同一位置且振動狀態(tài)相同 4 對稱性特征 2 如圖所示 振子經過關于平衡位置O對稱的兩點P P OP OP 時 速度的大小 動能 勢能相等 相對于平衡位置的位移大小相等 3 振子由P到O所用時間等于由O到P 所用時間 即tPO tOP 4 振子往復過程中通過同一段路程 如OP段 所用時間相等 即tOP tPO 5 能量特征振動的能量包括動能Ek和勢能Ep 簡諧運動過程中 系統動能與勢能相互轉化 系統的機械能守恒 典例1 2018 湖北華中師范大學一附中期中 如圖所示 質量為M的物塊連在水平放置的左端固定的輕質彈簧的右端 構成一彈簧振子 物塊可沿光滑水平面在BC間做簡諧運動 振幅為A 在運動過程中將一質量為m的小物塊輕輕地放在M上 第一次是當M運動到平衡位置O處時放在上面 第二次是當M運動到最大位移C處時放在上面 觀察到第一次放后的振幅為A1 第二次放后的振幅為A2 則 A A1 A2 AB A1 A2 AC A1 A2 AD A2 A1 A B 審題圖示 解析 根據兩種情況下系統能量變化的角度分析振幅的變化情況 振子運動到C點時速度恰為0 此時放上小物塊 系統的機械能沒有損失 系統的總能量即為此時彈簧儲存的彈性勢能不變 故振幅不變 即A2 A 振子運動到平衡位置時速度最大 彈簧的彈性勢能為零 放上小物塊后 m與M間的滑動摩擦力做功 系統的機械能減小 根據能量守恒定律可得機械能轉化為彈性勢能總量減小 故彈簧的最大伸長 壓縮 量減小 即振幅減小 所以A1 A 故A1 A2 A B正確 例題拓展 在典例1中 當M運動到最大位移C處時把小物塊m放在上面 彈簧振子的振動周期如何變化 解析 當M運動到最大位移C處時把小物塊m放在上面 振子的振幅不變 但以后運動過程中速度變小 所以振動周期變大 實際上 由彈簧振子周期公式T 2 可知 第一次和第二次兩種情況下的振動周期相同 但是比放m之前的振動周期大 答案 振動周期變大 反思總結分析簡諧運動中各物理量的變化情況的技巧 1 位移增大時 振動質點的回復力 加速度 勢能均增大 速度 動能均減小 反之 則產生相反的變化 另外 各矢量均在其值為零時改變方向 2 注意簡諧運動的周期性和對稱性 位移相同時 回復力 加速度 動能 勢能可以確定 但速度可能有兩個方向 由于周期性 運動時間也不確定 針對訓練 多選 如圖所示 在光滑水平面上有一輕質彈簧左端固定 右端與一質量為m的小球相連 構成一個水平彈簧振子 彈簧處于原長時小球位于O點 現使小球以O點為平衡位置 在A B兩點間沿光滑水平面做簡諧運動 關于這個彈簧振子做簡諧運動的過程 下列說法中正確的是 A 小球從O位置向B位置運動過程中做減速運動B 小球每次通過同一位置時的加速度一定相同C 小球從A位置向B位置運動過程中 彈簧振子所具有的勢能持續(xù)增加D 小球在A位置彈簧振子所具有的勢能與在B位置彈簧振子所具有的勢能相等E 小球從A到D的時間大于從O到B的時間 ABD 解析 小球從O位置向B位置運動過程中受到向左的彈力作用 故小球做減速運動 選項A正確 小球每次通過同一位置時的位移相同 回復力相同 則加速度一定相同 選項B正確 小球從A位置向B位置運動過程中 彈簧由壓縮狀態(tài)到原長 再到伸長狀態(tài) 故彈簧振子所具有的勢能先減小后增加 選項C錯誤 小球在A位置時彈簧的壓縮量等于在B位置時彈簧的伸長量 故小球在A位置彈簧振子所具有的勢能與在B位置彈簧振子所具有的勢能相等 選項D正確 根據簡諧振動的對稱性 小球從A到O的時間等于從O到B的時間 故選項E錯誤 考點二簡諧運動的公式與圖像 1 簡諧運動的數學表達式 2 某時刻振動質點離開平衡位置的位移 3 某時刻質點速度的大小和方向 曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質點的速度的大小和速度的方向 速度的方向也可根據下一時刻物體的位移的變化來確定 4 某時刻質點的回復力 加速度的方向 回復力總是指向平衡位置 回復力和加速度的方向相同 在圖像上總是指向t軸 5 某段時間內質點的位移 回復力 加速度 速度 動能和勢能的變化情況 典例2 2018 陜西西安模擬 有一彈簧振子在水平方向上的BC之間做簡諧運動 已知BC間的距離為20cm 振子在2s內完成了10次全振動 若從某時刻振子經過平衡位置時開始計時 t 0 經過周期振子有正向最大加速度 1 求振子的振幅和周期 2 在圖中作出該振子的位移 時間圖像 3 寫出振子的振動方程 答案 1 10cm0 2s 2 見解析圖 3 y 10sin10 t cm 方法總結簡諧運動圖像問題的兩種分析方法方法一 圖像運動結合法要把x t圖像與質點的實際振動過程聯系起來 圖像上的一個點表示振動中的一個狀態(tài) 位置 振動方向等 圖像上的一段曲線對應振動的一個過程 關鍵是判斷好平衡位置 最大位移及振動方向 方法二 直觀結論法 1 由振動圖像可以判定質點在任意時刻的回復力方向和加速度方向 二者都指向時間軸 2 可以知道質點在任意時刻的速度方向 該點的斜率為正值時速度方向為正 該點的斜率為負值時速度方向為負 1 簡諧運動公式的應用 多選 某質點做簡諧運動 其位移隨時間變化的關系式為x Asint 則以下說法正確的是 A 第1s末與第3s末的位移相同B 第1s末與第3s末的加速度不同C 第1s末與第3s末的動量不同D 3s末至5s末 質點運動各位置的位移方向都相同E 3s末至5s末 質點運動各位置的速度方向都相同 ACE 多維訓練 解析 將t 1s和t 3s代入關系式中可得兩時刻位移相同 故A正確 t 1s和t 3s兩時刻的位移相同 故加速度相同 B錯誤 畫出對應的運動圖像如圖所示 由圖像可以看出 第1s末和第3s末的速度方向不同 故動量不同 C正確 由圖像可知 3s末至4s末的位移與4s末至5s末的位移方向相反 3s末至5s末的速度方向相同 故D錯誤 E正確 2 導學號58826277 簡諧運動圖像的應用 2018 吉林松原模擬 多選 一個質點做簡諧振動的圖像如圖所示 下列判斷中正確的是 A 在t 4 10 2s時 質點速度達到最大值B 振幅為2 10 3m 頻率為25HzC 質點在0到1 10 2s的時間內 其速度和加速度方向相同D 在t 2 10 2s時 質點的位移為負值 加速度也為負值E 該簡諧振動的方程為x 0 2cos50 t cm BCE 考點三單擺及其周期公式 1 對單擺的理解 2 g為當地重力加速度 典例3 2018 四川雅安中學期中 多選 如圖是同一地點兩個不同單擺甲 乙的振動圖像 下列說法中正確的是 A 甲 乙兩單擺的周期相同B 甲 乙兩單擺的擺長相等C 甲擺的振幅比乙擺小D 甲擺的機械能比乙擺大E 在t 0 5s時 乙擺有最大正向的加速度 ABE 方法總結單擺振動圖像問題的處理方法 1 由振動圖像讀出振幅 周期等基本信息 2 確定某時刻質點離開平衡位置的位移 3 根據圖像確定某時刻質點回復力 加速度和速度的方向 4 分析單擺的重力勢能和動能的變化關系 5 應用單擺的周期公式進行討論 針對訓練 2017 河北衡水一檢 如圖所示實線和虛線分別是同一個單擺在A B兩個大小相同的星球表面的振動圖像 其中實線是A星球上的 虛線是B星球上的 則兩星球的平均密度 A B是 C 考點四受迫振動和共振 1 自由振動 受迫振動和共振的關系比較 2 對共振的理解 1 共振曲線 如圖所示 橫坐標為驅動力頻率f 縱坐標為振幅A 它直觀地反映了驅動力頻率對某振動系統受迫振動振幅的影響 由圖可知 f與f0越接近 振幅A越大 當f f0時 振幅A最大 2 受迫振動中系統能量的轉化 受迫振動系統機械能不守恒 系統與外界時刻進行能量交換 典例4 多選 如圖 曲軸上掛一個彈簧振子 轉動搖把 曲軸可帶動彈簧振子上下振動 開始時不轉動搖把 讓振子自由振動 測得其頻率為2Hz 現勻速轉動搖把 轉速為240r min 則 A 當振子穩(wěn)定振動時 它的振動周期是0 5sB 當振子穩(wěn)定振動時 它的振動頻率是4HzC 此時 彈簧振子的振幅不是最大值D 當轉速增大時 彈簧振子的振幅增大E 當轉速減小時 彈簧振子的振幅增大 BCE 解析 搖把提供驅動力 轉速為240r min 則頻率f Hz 4Hz 振子穩(wěn)定振動時 其頻率為4Hz 則周期為0 25s 故選項A錯誤 B正確 如圖 驅動力頻率4Hz 振子固有頻率2Hz二者不相等 不會出現共振現象 故選項C正確 當轉速增大時 驅動力頻率f增大 遠離振子固有頻率 振子振幅減小 故選項D錯誤 E正確 針對訓練 多選 一個單擺在地面上做受迫振動 其共振曲線 振幅A與驅動力頻率f的關系 如圖所示 則下列說法正確的是 A 此單擺的固有周期約為2sB 此單擺的擺長約為1mC 若擺長增大 單擺的固有頻率增大D 若擺長增大 共振曲線的峰將向右移動E 此單擺共振時的振幅是8cm ABE 解析 由共振曲線知此單擺的固有頻率為0 5Hz 則周期為2s 再由T 2 得此單擺的擺長約為1m 若擺長增大 則單擺的固有周期增大 固有頻率減小 共振曲線的峰將向左移動 A B正確 C D錯誤 此單擺做受迫振動 只有共振時的振幅最大為8cm E正確 考點五探究單擺的運動 用單擺測定重力加速度 1 原理與操作 2 處理與分析 1 誤差分析 2 注意事項 擺線要選1m左右 不要過長或過短 擺長要待懸掛好球后再測 計算擺長時要將懸線長加上擺球半徑 單擺要在豎直平面內擺動 不要使之成為圓錐擺 要從平衡位置開始計時 并數準全振動的次數 典例5 2018 四川彭州五校模擬 在 用單擺測定重力加速度 的實驗中 某同學的主要操作步驟如下 A 取一根符合實驗要求的擺線 下端系一金屬小球 上端固定在O點 B 在小球靜止懸掛時測量出O點到小球球心的距離l C 拉動小球使細線偏離豎直方向一個不大的角度 約為5 然后由靜止釋放小球 D 用停表記錄小球完成n次全振動所用的時間t 1 用所測物理量的符號表示重力加速度的測量值 其表達式為g 2 若測得的重力加速度數值大于當地的重力加速度的實際值 造成這一情況的原因可能是 選填下列選項前的序號 A 測量擺長時 把擺線的長度當成了擺長B 擺線上端未牢固地固定于O點 振動中出現松動 使擺線越擺越長C 測量周期時 誤將擺球 n 1 次全振動的時間t記為了n次全振動的時間 并由計算式T 求得周期D 擺球的質量過大 解析 2 測量擺長時 把擺線的長度當成了擺長 則擺長的測量值偏小 導致重力加速度的測量值偏小 故A錯誤 擺線上端未牢固地固定于O點 振動中出現松動 使擺線越擺越長 則擺長的測量值偏小 導致重力加速度測量值偏小 故B錯誤 測量周期時 誤將擺球 n 1 次全振動的時間t記為了n次全振動的時間 則周期的測量值偏小 導致重力加速度的測量值偏大 故C正確 擺球的質量過大 不影響重力加速度的測量 故D錯誤 答案 2 C 3 在與其他同學交流實驗方案并糾正了錯誤后 為了減小實驗誤差 他決定用圖像法處理數據 并通過改變擺長 測得了多組擺長l和對應的周期T 并用這些數據作出T2 l圖像如圖 甲 所示 若圖線的斜率為k 則重力加速度的測量值g 誤區(qū)警示測擺長和周期時應注意的問題 1 確定單擺的擺長時 應測量從懸點到小球球心的距離而不是 擺線長 2 用測量n次擺動所用時間求周期時 應從擺球擺至最低點開始計時 相較于從最大偏角開始計時可減小測量誤差 針對訓練 導學號58826278 2018 福建師大附中模擬 某同學利用單擺測量重力加速度 1 為了使測量誤差盡量小 下列說法正確的是 A 組裝單擺須選用密度和直徑都較小的擺球B 組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線C 實驗時須使擺球在同一豎直面內擺動D 擺長一定的情況下 擺的振幅盡量大 解析 1 為減小空氣阻力對實驗的影響 從而減小實驗誤差 組裝單擺須選用密度大而直徑較小的擺球 故A錯誤 為減小實驗誤差 組裝單擺須選用輕且不易伸長的細線 故B正確 實驗時須使擺球在同一豎直面內擺動 不能使單擺成為圓錐擺 故C正確 單擺的最大擺角應小于5 擺長一定的情況下 擺的振幅盡量小些 故D錯誤 答案 1 BC 2 用游標卡尺測量擺球的直徑如圖 甲 則小球的直徑為cm 用停表測出單擺的多個周期如圖 乙 停表讀數為s 解析 2 主尺刻度為1 0cm 游標尺刻度為6 0 05mm 0 30mm 0 030cm 則小球的直徑為1 0cm 0 030cm 1 030cm 中間小表盤的刻度為1 5min 90s 大表盤刻度為36 3s 所以停表讀數為90s 36 3s 126 3s 答案 2 1 030126 3 3 改變擺長多次測量 得到多組周期 T 與擺長 l 的值 作出T2 l圖像如圖所示 圖像不過原點的原因可能是測出擺線長度后 在計算擺長時 填 漏加小球半徑 或 加了小球直徑 根據圖像中的數據 可計算出當地的重力加速度為m s2 結果保留三位有效數字 答案 3 加了小球直徑9 86 演練提升真題體驗 強化提升 1 對簡諧運動 受迫運動的理解 2016 海南卷 16 多選 下列說法正確的是 A 在同一地點 單擺做簡諧振動的周期的平方與其擺長成正比B 彈簧振子做簡諧振動時 振動系統的勢能與動能之和保持不變C 在同一地點 當擺長不變時 擺球質量越大 單擺做簡諧振動的周期越小D 系統做穩(wěn)定的受迫振動時 系統振動的頻率等于周期性驅動力的頻率E 已知彈簧振子初始時刻的位置及其振動周期 就可知振子在任意時刻運動速度的方向 ABD 解析 根據單擺周期公式T 2 可得 T2 l 在同一地點 重力加速度g為定值 故單擺周期的平方與其擺長成正比 單擺的周期與擺球的質量無關 故選項A正確 C錯誤 彈簧振子做簡諧振動時 只有動能和勢能參與轉化 根據機械能守恒條件可以知道 振動系統的勢能與動能之和保持不變 故選項B正確 當系統做穩(wěn)定的受迫振動時 系統振動的頻率等于周期性驅動力的頻率 故選項D正確 若彈簧振子初始時刻的位置在平衡位置 知道周期后 可以確定任意時刻運動速度的方向 若彈簧振子初始時刻的位置不在平衡位置 則無法確定 故選項E錯誤 2 由運動分析振動方程 2016 全國 卷 34 一列簡諧橫波在介質中沿x軸正向傳播 波長不小于10cm O和A是介質中平衡位置分別位于x 0和x 5cm處的兩個質點 t 0時開始觀測 此時質點O的位移為y 4cm 質點A處于波峰位置 t s時 質點O第一次回到平衡位置 t 1s時 質點A第一次回到平衡位置 求 1 簡諧波的周期 波速和波長 答案 見解析 2 質點O的位移隨時間變化的關系式 答案 見解析 3 實驗 2018 遼寧實驗中學模擬 用單擺測重力加速度的實驗中 組裝單擺時 在擺線上端的懸點處 用一塊開有狹縫的橡皮夾牢擺線 再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊 如圖 甲 所示 1 這樣做的目的是 A 保證擺動過程中擺長不變B 可使周期測量得更加準確C 使擺長不可調節(jié)D 保證擺球在同一豎直平面內擺動 解析 1 在擺線上端的懸點處 用一塊開有狹縫的橡皮夾牢擺線 再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊 是為了防止擺動過程中擺長發(fā)生變化 如果需要改變擺長來探究擺長與周期關系時 方便調節(jié)擺長 故A正確 B C D錯誤 答案 1 A 2 下列振動圖像真實地描述了對擺長約為1m的單擺進行周期測量的四種操作過程 圖像橫坐標原點表示計時開始 ABCD均為30次全振動的圖像 已知sin5 0 087 sin15 0 26 這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是 解析 2 當擺角小于等于5 時 我們認為小球做單擺運動 所以此擺的最大振幅約為1 0 087m 8 7cm 當小球擺到最低點開始計時 誤差較小 反映到振動圖像中 計時開始時在坐標原點 由以上分析可知 A正確 答案 2 A 3 某小組發(fā)現單擺靜止時擺球重心在球心的正下方 但仍將懸點到球心的距離當成擺長L 通過改變擺線長度 測得6組L和對應的周期T 畫出L T2圖像 選取A B兩點 坐標如圖 乙 則重力加速度的表達式g 此得到的結果與擺球重心在球心處相比 將 選填 偏大 偏小 或 相同