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第5講萬有引力與天體運動 總綱目錄 考點1天體質(zhì)量和密度的估算 1 利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R 由于G mg 故天體質(zhì)量M 天體密度 2 通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r 1 由萬有引力提供向心力 即G mr 得出中心天體質(zhì)量M 2 若已知天體半徑R 則天體的平均密度 3 若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動 可認為其軌道半徑r等于天體半徑R 則天體密度 可見 只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T 就可估算出中心天體的密度 1 宇航員在地球上的水平地面將一小球平拋 使小球產(chǎn)生一定的水平位移 當(dāng)他登陸一半徑為地球半徑2倍的天體后 站在該天體水平地面上以和在地球上完全相同的方式平拋小球 測得小球的水平位移大約是地球上平拋時的4倍 宇航員由此估算該天體的質(zhì)量M1約為 式中M為地球的質(zhì)量 A MB 2MC MD 4M 答案C根據(jù)平拋規(guī)律可計算天體表面重力加速度 豎直方向h gt2 水平方向x vt 可得g1 g 再由天體表面萬有引力F G mg R1 2R 可得M1 C正確 2 2018天津理綜 6 6分 多選 2018年2月2日 我國成功將電磁監(jiān)測試驗衛(wèi)星 張衡一號 發(fā)射升空 標志我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運行高精度地球物理場探測衛(wèi)星的國家之一 通過觀測可以得到衛(wèi)星繞地球運動的周期 并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度 若將衛(wèi)星繞地球的運動看做是勻速圓周運動 且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響 根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計算出衛(wèi)星的 A 密度B 向心力的大小C 離地高度D 線速度的大小 答案CD本題考查萬有引力定律的應(yīng)用 設(shè)衛(wèi)星離地面的高度為h 則有G m R h 結(jié)合m0g 得h R R 又v R h 可見C D項均正確 因為衛(wèi)星的質(zhì)量未知 故無法算出衛(wèi)星向心力的大小和衛(wèi)星的密度 故A B錯誤 3 我國航天事業(yè)取得了突飛猛進的發(fā)展 航天技術(shù)位于世界前列 在航天控制中心對其正上方某衛(wèi)星測控時 測得從發(fā)送 操作指令 到接收到衛(wèi)星 已操作 的信息需要的時間為2t 設(shè)衛(wèi)星接收到 操作指令 后立即操作 并立即發(fā)送 已操作 的信息到控制中心 測得該衛(wèi)星運行周期為T 地球半徑為R 電磁波的傳播速度為c 由此可以求出地球的質(zhì)量為 A B C D 答案B由x vt可得 衛(wèi)星與地面的距離為x c 2t ct衛(wèi)星的軌道半徑為r R x R ct由萬有引力提供向心力可得 G mr解得M 故B正確 4 多選 某行星外圍有一圈厚度為d的發(fā)光帶 發(fā)光的物質(zhì) 簡化為如圖甲所示模型 R為該行星除發(fā)光帶以外的半徑 現(xiàn)不知發(fā)光帶是該行星的組成部分還是環(huán)繞該行星的衛(wèi)星群 某科學(xué)家做了精確地觀測 發(fā)現(xiàn)發(fā)光帶繞行星中心的運行速度v與到行星中心的距離r的關(guān)系如圖乙所示 圖中所標為已知 則下列說法正確的是 答案BC若發(fā)光帶是該行星的組成部分 則其角速度與行星自轉(zhuǎn)角速度相同 應(yīng)有v r v與r應(yīng)成正比 與圖像不符 因此發(fā)光帶不是該行星的組成部分 而是環(huán)繞該行星的衛(wèi)星群 故A錯誤 萬有引力提供向心力 則有G m 得該行星的質(zhì)量M 由題圖乙知 r R時 v v0 則有M 故B正確 當(dāng)r R時有mg m 得行星表面的重力加速度g 故C正確 該行星的平均密度為 故D錯誤 方法技巧估算天體質(zhì)量和密度時要注意三點 1 不考慮自轉(zhuǎn)時 有G mg 若考慮自轉(zhuǎn) 則在兩極上才有G mg 而赤道上則有G mg mR 2 利用G mr只能計算中心天體的質(zhì)量 不能計算繞行天體的質(zhì)量 3 注意區(qū)分軌道半徑r和中心天體的半徑R 計算中心天體密度時應(yīng)用 而不是 考點2天體運行參量及比較 1 定量分析法 1 列出連等式 G ma m m 2r mr 2 導(dǎo)出四個表達式 a G v T 3 結(jié)合r大小關(guān)系 比較得出a v T的大小關(guān)系 2 定性結(jié)論法將下述結(jié)論牢記于心 r越大 向心加速度 線速度 角速度均越小 而周期越大 1 在赤道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運動的三顆衛(wèi)星m1 m2 m3 它們的軌道半徑分別為r1 r2 r3 且r1 r2 r3 其中m2為同步衛(wèi)星 若三顆衛(wèi)星在運動過程中受到的向心力大小相等 則 A 相同的時間內(nèi) m1通過的路程最大B 三顆衛(wèi)星中 m3的質(zhì)量最大C 三顆衛(wèi)星中 m3的速度最大D m1繞地球運動的周期小于24小時 答案C根據(jù)萬有引力提供向心力可得 m 解得v 由于r1 r2 r3 故v1r2 r3 故m3的質(zhì)量最小 故B錯誤 據(jù)萬有引力提供向心力可得 mr 可得衛(wèi)星運動的周期T 顯然軌道半徑越大 衛(wèi)星運動的周期越大 故m1的周期大于m2的周期 而衛(wèi)星m2的周期為24小時 故m1的周期大于24小時 故D錯誤 2 2018江蘇單科 1 3分 我國高分系列衛(wèi)星的高分辨對地觀察能力不斷提高 今年5月9日發(fā)射的 高分五號 軌道高度約為705km 之前已運行的 高分四號 軌道高度約為36000km 它們都繞地球做圓周運動 與 高分四號 相比 下列物理量中 高分五號 較小的是 A 周期B 角速度C 線速度D 向心加速度 答案A設(shè)地球質(zhì)量為M 衛(wèi)星質(zhì)量為m 軌道半徑為R 衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動 萬有引力提供向心力 即G 結(jié)合v R a 解得v T a 可知v T a 由題知R四 R五 結(jié)合上面式子得v五 v四 五 四 a五 a四 T五 T四 故B C D三項均錯 A項正確 3 2018河北石家莊質(zhì)檢 如圖所示 a b c d為四顆地球衛(wèi)星 a靜止在地球赤道表面還未發(fā)射 b是近地軌道衛(wèi)星 c是地球同步衛(wèi)星 d是高空探測衛(wèi)星 若b c d的運動均可看做勻速圓周運動 下列說法正確的是 A a的向心加速度小于a所在處的重力加速度 B 在相同時間內(nèi)b c d轉(zhuǎn)過的弧長相等C c在4小時內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角為D d的運動周期可能為20小時 答案A由G m 2R 得 弧長s 2 R R R t t 因Rbsc sd 則B項錯誤 根據(jù) 得 2 則C項錯誤 由G mR 得T 2 因Rd Rc 則Td Tc 又Tc 24h 則d的運動周期大于24h D項錯誤 4 2018天津河西一模 2018年2月2日15時51分我國第一顆電磁檢測試驗衛(wèi)星 張衡一號 成功發(fā)射 使我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運行高精度地球物理場探測衛(wèi)星的國家之一 已知地球半徑為R 地球表面處的重力加速度為g 假設(shè)一顆距離地面高度為2R的人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動 下列關(guān)于衛(wèi)星運動的說法正確的是 A 線速度的大小為B 角速度為C 加速度大小為D 周期為6 答案B在地球表面重力與萬有引力相等 G m0g 可得GM gR2 距地面高度為2R的人造衛(wèi)星的軌道半徑為3R 由萬有引力提供勻速圓周運動的向心力有G m m 3R 2 m 3R ma 可得線速度v 角速度 加速度a 周期T 6 故B正確 A C D錯誤 方法技巧衛(wèi)星運行參量計算及比較問題須掌握 1 一種模型 無論是自然天體 如地球 月亮 還是人造天體 如宇宙飛船 人造衛(wèi)星 都可以看做質(zhì)點 圍繞中心天體 視為靜止 做勻速圓周運動 2 兩條思路 萬有引力提供向心力 即G ma 天體對其表面物體的萬有引力近似等于重力 即 mg或gR2 GM R g分別是天體的半徑 表面重力加速度 公式gR2 GM應(yīng)用廣泛 被稱為 黃金代換式 考點3衛(wèi)星的變軌問題 1 衛(wèi)星的兩類變軌問題 1 制動變軌 衛(wèi)星的速率變小時 使得萬有引力大于所需向心力 即F引 衛(wèi)星做向心運動 軌道半徑將變小 因此 要使衛(wèi)星的軌道半徑減小 需開動反沖發(fā)動機使衛(wèi)星做減速運動 題型1衛(wèi)星的變軌 1 2018山西五市聯(lián)考 多選 如圖所示 為發(fā)射地球同步衛(wèi)星的簡化軌道示意圖 先將衛(wèi)星發(fā)射至近地環(huán)繞軌道 上 在衛(wèi)星經(jīng)過P點時點火實施變軌進入橢圓軌道 最后在遠地點Q再次點火 將衛(wèi)星送入同步軌道 上 下列判斷正確的是 A 衛(wèi)星沿軌道 運動的周期可能等于沿軌道 運動的周期B 衛(wèi)星在軌道 上運動至P點的速率小于衛(wèi)星在軌道 上運動至同一點的速率C 衛(wèi)星沿橢圓軌道 運動時 經(jīng)過P Q兩點處的向心加速度大小相等D 衛(wèi)星沿軌道 運動至P點的加速度等于沿軌道 運動至P點的加速度 答案BD根據(jù)開普勒第三定律 k 因為R aQ向 則C項錯誤 衛(wèi)星在同一點受到的萬有引力相等 由牛頓第二定律F ma 可知衛(wèi)星在同一點的加速度相等 故D項正確 題型2衛(wèi)星的對接 2 2016天津理綜 3 6分 我國即將發(fā)射 天宮二號 空間實驗室 之后發(fā)射 神舟十一號 飛船與 天宮二號 對接 假設(shè) 天宮二號 與 神舟十一號 都圍繞地球做勻速圓周運動 為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接 下列措施可行的是 A 使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行 然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接B 使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行 然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接C 飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速 加速后飛船逐漸靠近空間實驗室 兩者速度接近時實現(xiàn)對接D 飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速 減速后飛船逐漸靠近空間實驗室 兩者速度接近時實現(xiàn)對接 答案C對于繞地球做圓周運動的人造天體 由 m 有v 可見v與r是一一對應(yīng)的 在同一軌道上運行速度相同 不能對接 而從同一軌道上加速或減速時由于發(fā)生變軌 二者不能處于同一軌道上 亦不能對接 A B皆錯誤 飛船處于半徑較小的軌道上 要實現(xiàn)對接 需增大飛船的軌道半徑 飛船加速則軌道半徑變大 飛船減速則軌道半徑變小 C正確 D錯誤 題型3衛(wèi)星在變軌過程中的能量分析 3 已知某衛(wèi)星在赤道上空軌道半徑為r1的圓形軌道上繞地運行的周期為T 衛(wèi)星運動方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同 赤道上某城市的人每三天恰好五次看到衛(wèi)星掠過其正上方 假設(shè)某時刻 該衛(wèi)星在A點變軌進入橢圓軌道 如圖 近地點B到地心的距離為r2 設(shè)衛(wèi)星由A到B運動的時間為t 地球自轉(zhuǎn)周期為T0 不計空氣阻力 則 A T T0B t C 衛(wèi)星在圖中橢圓軌道由A到B時 機械能增大D 衛(wèi)星由圖中圓軌道進入橢圓軌道過程中 機械能不變 答案A根據(jù)題意有 3T0 3T0 5 2 得T T0 所以A正確 由開普勒第三定律有 得t 所以B錯誤 衛(wèi)星在橢圓軌道中運行時 機械能是守恒的 所以C錯誤 衛(wèi)星從圓軌道進入橢圓軌道過程中在A點需點火減速 衛(wèi)星的機械能減小 所以D錯誤 題型4衛(wèi)星的 追及 相遇 問題 4 假設(shè)在赤道平面內(nèi)有一顆偵察衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動 某一時刻恰好處在一顆同步衛(wèi)星的正下方 已知偵察衛(wèi)星的軌道半徑為同步衛(wèi)星的四分之一 則有 A 同步衛(wèi)星和偵察衛(wèi)星的線速度之比為2 1B 同步衛(wèi)星和偵察衛(wèi)星的角速度之比為8 1C 再經(jīng)過h兩顆衛(wèi)星距離最遠D 再經(jīng)過h兩顆衛(wèi)星距離最遠 答案C兩顆衛(wèi)星都是由萬有引力提供向心力 則 m mr mr 2 可得線速度v 所以同步衛(wèi)星和偵察衛(wèi)星的線速度之比為1 2 選項A錯誤 角速度 同步衛(wèi)星和偵察衛(wèi)星的角速度之比為1 8 選項B錯誤 周期T 可得偵察衛(wèi)星的周期為3h 若再經(jīng)過時間t兩顆衛(wèi)星距離最遠 則有t 2n 1 n 0 1 2 3 可得時間t 2n 1 h n 0 1 2 3 選項C正確 D錯誤 方法技巧分析衛(wèi)星變軌應(yīng)注意的三個問題 1 衛(wèi)星變軌時半徑的變化 根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷 穩(wěn)定的新軌道上的運行速度變化由v 判斷 2 同一衛(wèi)星在不同軌道上運行時機械能不同 軌道半徑越大 機械能越大 3 衛(wèi)星經(jīng)過不同軌道相交的同一點時加速度相等 外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度 考點4 雙星及多星系統(tǒng) 模型 1 雙星系統(tǒng)之 二人轉(zhuǎn) 模型雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的星體組成 由于彼此的萬有引力作用而繞連線上的某點做勻速圓周運動 簡稱 二人轉(zhuǎn) 模型 雙星系統(tǒng)中兩星體繞同一個圓心做圓周運動 周期 角速度相等 向心力由彼此的萬有引力提供 大小相等 2 三星系統(tǒng)之 二繞一 和 三角形 模型三星系統(tǒng)由三顆相距較近的星體組成 其運動模型有兩種 一種是三顆星體在同一條直線上 兩顆星體圍繞中間的星體做圓周運動 簡稱 二繞一 模型 另一種是三顆星體組成一個三角形 三星體以三角形的中心為圓心做勻速圓周運動 簡稱 三角形 模型 最常見的 三角形 模型中 三星結(jié)構(gòu)穩(wěn)定 角速度相同 半徑相同 任一顆星的向心力均由另兩顆星對它的萬有引力的合力提供 另外 也有三星不在同一個圓周上運動的 三星 系統(tǒng) 3 四星系統(tǒng)之 三繞一 和 正方形 模型四星系統(tǒng)由四顆相距較近的星體組成 與三星系統(tǒng)類似 通常有兩種運動模型 一種是三顆星體相對穩(wěn)定地位于三角形的三個頂點上 環(huán)繞另一顆位于中心的星體做圓周運動 簡稱 三繞一 模型 另一種是四顆星體相對穩(wěn)定地分布在正方形的四個頂點上 圍繞正方形的中心做圓周運動 簡稱 正方形 模型 模型1雙星系統(tǒng)模型 1 多選 經(jīng)長期觀測 人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了 雙星系統(tǒng) 雙星系統(tǒng) 由兩顆相距較近的恒星組成 每個恒星的半徑遠小于兩個恒星之間的距離 而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體 它們在相互間的萬有引力作用下 繞某一點做勻速圓周運動 如圖所示為某一雙星系統(tǒng) A星球的質(zhì)量為m1 B星球的質(zhì)量為m2 它們中心之間的距離為L 引力常量為G 則下列說法正確的是 A A星球的軌道半徑為R LB B星球的軌道半徑為r L C 雙星運行的周期為T 2 LD 若近似認為B星球繞A星球中心做圓周運動 則B星球的運行周期為T 2 L 答案CD兩星球之間的萬有引力提供向心力 角速度相等 m1 2R m2 2r 且r R L 解得r L R L A B錯誤 由萬有引力提供向心力可得 m2r 解得T 2 L C正確 若近似認為B星球繞A星球中心做圓周運動 根據(jù)牛頓第二定律及萬有引力定律有 m2L 解得T 2 L D正確 答案BC小星體受到大星體和另一小星體的萬有引力 該三星系統(tǒng)應(yīng)該在同一直線上 并且兩小星體在大星體相對的兩側(cè) 只有這樣才能使小星體受到的合力提供向心力 由G mr 解得小星體運行的周期T 模型3四星系統(tǒng)模型 3 多選 宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng) 通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用 設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m 半徑均為R 四顆星穩(wěn)定分布在邊長為L的正方形的四個頂點上 其中L遠大于R 已知引力常量為G 忽略星體自轉(zhuǎn)效應(yīng) 關(guān)于四星系統(tǒng) 下列說法正確的是 A 四顆星圓周運動的軌道半徑均為B 四顆星圓周運動的線速度均為 C 四顆星圓周運動的周期均為2 D 四顆星表面的重力加速度均為G 答案CD四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動 軌道半徑均為r L A錯誤 取任一頂點上的星體為研究對象 它受到其他三個星體的萬有引力的合力為F合 G G 由F合 F向 m mr 可解得v T 2 故B項錯誤 C項正確 對于星體表面質(zhì)量為m0的物體 受到的重力等于萬有引力 則有m0g G 故g G D項正確 1 2016課標 14 6分 關(guān)于行星運動的規(guī)律 下列說法符合史實的是 A 開普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上 導(dǎo)出了行星運動的規(guī)律B 開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上 總結(jié)出了行星運動的規(guī)律C 開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律 找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因D 開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律 發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律 答案B開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上 總結(jié)出了行星運動的規(guī)律 但并沒有找出其中的原因 A C錯誤 B正確 萬有引力定律是牛頓發(fā)現(xiàn)的 D錯 2 2018課標 15 6分 為了探測引力波 天琴計劃 預(yù)計發(fā)射地球衛(wèi)星P 其軌道半徑約為地球半徑的16倍 另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍 P與Q的周期之比約為 A 2 1B 4 1C 8 1D 16 1 答案C本題考查萬有引力定律 向心力公式 周期公式 衛(wèi)星P Q圍繞地球做勻速圓周運動 萬有引力提供向心力 即G mR 則T 選項C正確 3 2017課標 14 6分 2017年4月 我國成功發(fā)射的天舟一號貨運飛船與天宮二號空間實驗室完成了首次交會對接 對接形成的組合體仍沿天宮二號原來的軌道 可視為圓軌道 運行 與天宮二號單獨運行時相比 組合體運行的 A 周期變大B 速率變大C 動能變大D 向心加速度變大 答案C天宮二號單獨運行時的軌道半徑與組合體運行的軌道半徑相同 由G mr可得T 2 可見周期與m無關(guān) 周期不變 A項錯誤 由G m得v 可知速率v與m無關(guān) 故速率不變 B項錯誤 組合體質(zhì)量m1 m2 天宮二號質(zhì)量m1 則動能變大 C項正確 由 ma得a 可知向心加速度與m無關(guān) 故不變 D項錯誤 4 2017課標 19 6分 多選 如圖 海王星繞太陽沿橢圓軌道運動 P為近日點 Q為遠日點 M N為軌道短軸的兩個端點 運行的周期為T0 若只考慮海王星和太陽之間的相互作用 則海王星在從P經(jīng)M Q到N的運動過程中 A 從P到M所用的時間等于T0 4B 從Q到N階段 機械能逐漸變大C 從P到Q階段 速率逐漸變小D 從M到N階段 萬有引力對它先做負功后做正功 答案CD本題考查天體的運行規(guī)律 海王星繞太陽沿橢圓軌道運動 由開普勒第二定律可知 從P Q速率逐漸減小 故從P到M所用時間小于T0 4 選項A錯誤 C正確 從Q到N階段 只受太陽的引力 故機械能守恒 選項B錯誤 從M到N階段經(jīng)過Q點時速率最小 故萬有引力對它先做負功后做正功 選項D正確 5 2018課標 20 6分 多選 2017年 人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波 根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程 在兩顆中子星合并前約100s時 它們相距約400km 繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈 將兩顆中子星都看做是質(zhì)量均勻分布的球體 由這些數(shù)據(jù) 引力常量并利用牛頓力學(xué)知識 可以估算出這一時刻兩顆中子星 A 質(zhì)量之積B 質(zhì)量之和C 速率之和D 各自的自轉(zhuǎn)角速度 答案BC本題考查萬有引力定律的應(yīng)用等知識 雙星系統(tǒng)由彼此間萬有引力提供向心力 得 m1r1 G m2r2 且T 兩顆星的周期及角速度相同 即T1 T2 T 1 2 兩顆星的軌道半徑r1 r2 L 解得 m1 m2 因為未知 故m1與m2之積不能求出 則選項A錯誤 B正確 各自的自轉(zhuǎn)角速度不可求 選項D錯誤 速率之和v1 v2 r1 r2 L 故C項正確 6 2018課標 16 6分 2018年2月 我國500m口徑射電望遠鏡 天眼 發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星 J0318 0253 其自轉(zhuǎn)周期T 5 19ms 假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體 已知引力常量為6 67 10 11N m2 kg2 以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為 A 5 109kg m3B 5 1012kg m3C 5 1015kg m3D 5 1018kg m3 7 2016課標 17 6分 利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星 可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊 目前 地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6 6倍 假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小 若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的 則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為 A 1hB 4hC 8hD 16h