2019版八年級數學下冊 第十六章 二次根式試題 （新版）新人教版.doc
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第十六章 二 次 根 式 1.二次根式的相關概念 (1)正確理解二次根式的概念要把握以下幾點: ①二次根式是從形式上定義的,必須含有二次根號; ②在二次根式中,被開方數可以是數,也可以是單項式、多項式、分式等代數式,但必須注意:因為負數沒有平方根,都必須滿足被開方數(式)是非負數; ③根指數是2; ④形如ba(a≥0)的式子也是二次根式. 【例1】要使二次根式x-2有意義,x必須滿足 ( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x<2 D.x>2 【標準解答】選B.根據題意,得x-2≥0,解得x≥2. (2)正確理解最簡二次根式: ①被開方數中不含分母,也就是被開方數必須是整數或整式; ②被開方數中每個因數或因式的指數都是1. 【例2】下列二次根式中的最簡二次根式是 ( ) A.30 B.12 C.8 D.12 【標準解答】選A.12=23,8=22,12=22,而30是最簡二次根式. 1.要使代數式2-3x有意義,則x的 ( ) A.最大值是23 B.最小值是23 C.最大值是32 D.最小值是32 2.下列屬于最簡二次根式的是 ( ) A.a2+b2 B.1b C.0.1 D.18 2.非負數性質的應用 在實數范圍內,正數和零統(tǒng)稱非負數.我們已學過的非負數有如下形式: (1)任何一個數a的絕對值是非負數,即|a|≥0. (2)任何一個數a的平方是非負數,即a2≥0. (3)任何非負數的算術平方根是非負數,即a≥0(a≥0). 即若a為實數,則a2,|a|,a(a≥0)均為非負數. 非負數具有以下性質: (1)非負數的最小值為零. (2)有限個非負數的和仍是非負數. (3)若幾個非負數的和等于零,則每個非負數都等于零. 【例】若x,y為實數,且|x+2|+y-3=0,則(x+y)2 016的值為 . 【標準解答】根據絕對值和算術平方根的意義可知, |x+2|≥0,y-3≥0, 又因為|x+2|+y-3=0, 因此|x+2|=0,y-3=0, ∴x+2=0,y-3=0,∴x=-2,y=3, ∴(x+y)2 016=1. 答案:1 1.已知實數x,y滿足x-1-1+|y+3|=0,則x+y的值為 ( ) A.-2 B.2 C.4 D.-4 2.若x-1+(y+2)2=0,則(x+y)2 014等于 ( ) A.-1 B.1 C.32 014 D.-32 014 3.化簡二次根式的技巧 (1)被開方數是帶分數 先把帶分數化成假分數,再把分子、分母乘以適當的數,把分母變成平方數,應用商的算術平方根的性質把分母中的數開出來. 【例1】化簡:212. 【標準解答】原式=52=5222=1022=102. (2)被開方數為單項式 先把單項式寫成數或字母積的平方與另一因式積的形式,再把能開出來的數或字母開出來. 【例2】化簡:12a3b5. 【標準解答】12a3b5=22a2(b2)23ab =2ab23ab. (3)被開方數為多項式 先把多項式分解因式成數或字母積的平方與另一因式積的形式,再把能開出來的數或字母開出來. 【例3】化簡:4x5y2+12x4y3. 【標準解答】原式=4x4y2(x+3y) =2x2yx+3y. (4)被開方數是分式 把分式的分母和分子乘以適當的數或字母,把分母變成平方數(式),應用商的算術平方根的性質把分母中的數或字母開出來. 【例4】化簡:5z12x2y. 【標準解答】原式=5z3y12x2y3y =15yz(6xy)2=16xy15yz. 1.化簡12的結果是 ( ) A.43 B.23 C.32 D.26 2.化簡:82= . 3.若(x-3)2=3-x,則x的取值范圍是 . 4.二次根式的有關運算 (1)二次根式的乘除運算有兩種策略:一是先把它們都化成最簡二次根式,再乘除;二是先乘除,再逆用法則化簡.要根據題目的特點靈活選擇,單純的乘除混合運算,一般采用第二種方法. 【例1】計算82的結果是 ( ) A.10 B.4 C.6 D.2 【標準解答】選B.82=16=4. (2)二次根式的加減運算,可以簡記為“一化,二找,三合并”,即①把二次根式化成最簡二次根式;②找出被開方數相同的根式;③合并被開方數相同的二次根式.(被開方數不同的不能合并) 【例2】計算24-323= . 【標準解答】原式=26-363=26-6=6. 答案:6 (3)二次根式的混合運算,首先要搞清楚運算的順序,其次是認真觀察式子的結構特點,能利用運算律或公式的,要優(yōu)先考慮使用運算律或公式(或公式的逆用),簡化運算.在有理數范圍內成立的運算律、運算法則、公式及因式分解、約分、通分等方法對二次根式同樣適用. 【例3】計算:27-133= . 【標準解答】原式=273-133=9-1=8. 答案:8 1.計算:18-212等于 . 2.計算5153的結果是 . 3.計算:(2+3)2-24= . 5.數學思想在解答二次根式題目中的應用 (1)轉化思想 轉化思想是將不易解決的問題變成我們容易解決的問題,從而達到將抽象轉化為具體,復雜轉化為簡單的一種數學思想.如例1中,將復雜的形式轉化成積的乘方的形式,再利用平方差公式知識求解. 【例1】計算(1+2)2 012(1-2)2 013. 【標準解答】原式= (1+2)2 012(1-2)2 012(1-2) =(1+2)(1-2)2 012(1-2) =(-1)2 012(1-2)=1-2. (2)分類討論思想 有的數學問題可能有幾種情況,在未具體指明哪種情況時,需要對各種情況進行討論,確保“不重不漏”. 【例2】已知|a|=2,b2=4,且ab<0,則a+b的值為 . 【標準解答】|a|=2,則a=2, b2=4, 則|b|=4,b=4. 又ab<0,則當a=2時,b=-4. 當a=-2時,b=4.于是a+b=-2或2. (3)整體思想 整體思想就是化零為整,化分散為集中的一種思想方法.有的題目直接代入計算比較繁瑣,且比較容易出錯.仔細觀察所求的代數式發(fā)現可以變形,整體代入計算可起到化繁為簡的目的. 【例3】當x=2-3,y=2+3時,求x2+xy+y2的值. 【標準解答】x2+xy+y2=(x+y)2-xy, 又x+y=22,xy=-1. 于是x2+xy+y2=(22)2-(-1)=9. (4)數形結合思想 我國著名數學家華羅庚說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,隔離分家萬事休.” 本例利用數形結合思想,通過觀察和分析可從數軸上獲取一些信息,然后結合二次根式的性質解決問題. 【例4】實數a,b在數軸上的位置如圖所示, 化簡 a2-b2-(a-b)2. 【標準解答】通過觀察數軸可以看到a<0,b>0. 于是a-b<0,所以原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b. 1.實數a在數軸上的位置如圖所示,則(a-4)2+(a-11)2 化簡后為 ( ) A.7 B.-7 C.2a-15 D.無法確定 2.已知x=1-2,y=1+2,求x2+y2-xy-2x+2y的值. 答案解析： 1.二次根式的相關概念 【跟蹤訓練】 1.【解析】選A.由二次根式有意義的條件得2-3x≥0,∴x≤23,故選A. 2.【解析】選A.因為B.1b,被開方數中含有分母,C.0.1=110=1010,D.18=32. 2.非負數性質的應用 【跟蹤訓練】 1.【解析】選A.∵x-1+|y+3|=0, ∴x-1=0,y+3=0;∴x=1,y=-3, ∴原式=1+(-3)=-2. 2.【解析】選B.∵x-1+(y+2)2=0, ∴x-1=0,y+2=0.解得x=1,y=-2. ∴(x+y)2 014=(1-2)2 014=1. 3.化簡二次根式的技巧 【跟蹤訓練】 1.【解析】選B.12=23. 2.【解析】82=4=2. 答案:2 3.【解析】∵(x-3)2≥0, ∴3-x≥0,即x≤3. 答案:x≤3 4.二次根式的有關運算 【跟蹤訓練】 1.【解析】原式=32-222=32-2=22. 答案:22 2.【解析】原式=55=5. 答案:5 3.【解析】(2+3)2-24=5+26-26=5. 答案:5 5.數學思想在解答二次根式題目中的應用 【跟蹤訓練】 1.【解析】選A.由數軸可知5
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