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題型三　反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題 1．如圖，△OPQ是邊長為的等邊三角形，若反比例函數(shù)y＝的圖象過點P. (1)求點P的坐標(biāo)和k的值； (2)若在這個反比例函數(shù)的圖象上有兩個點(x1，y1)，(x2，y2)，且x1＜x2＜0，請比較y1與y2的大小. 2．(xx周口模擬)如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，點F是AB上的一個動點(F不與A，B重合)，過點F的反比例函數(shù)y＝的圖象與BC邊交于點E. (1)當(dāng)F為AB的中點時，求該函數(shù)的解析式； (2)當(dāng)k為何值時，△EFA的面積最大，最大面積是多少？ 3．(xx黃岡)已知：如圖，一次函數(shù)y＝－2x＋1與反比例函數(shù)y＝的圖象有兩個交點A(－1，m)和B，過點A作AE⊥x軸，垂足為點E；過點B作BD⊥y軸，垂足為點D，且點D的坐標(biāo)為(0，－2)，連接DE. (1)求k的值； (2)求四邊形AEDB的面積． 4．(xx綿陽)如圖，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝(k＞0)． (1)若該反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y＝2x的圖象有一個交點的縱坐標(biāo)為2，求k的值； (2)若該反比例函數(shù)與過點M(－2，0)的直線l：y＝kx＋b的圖象交于A，B兩點，如圖所示，當(dāng)△ABO的面積為時，求直線l的解析式. 題型三　反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題 1．解：(1)∵△OPQ是邊長為的等邊三角形， ∴點P的坐標(biāo)為(，) ∵反比例函數(shù)的圖象過點P，∴＝，解得k＝； (2)∵k＝＞0，∴在每個象限，y隨x增大而減小，在這個反比例函數(shù)的圖象上有兩個點(x1，y1)(x2，y2)，且x1＜x2＜0， ∴y1＞y2. 2．解：(1)∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴B(3，2)， ∵F為AB的中點，∴F(3，1)， ∵點F在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝3， ∴該函數(shù)的解析式為y＝； (2)由題意知E，F(xiàn)兩點坐標(biāo)分別為E(，2)，F(xiàn)(3，)， ∴S△EFA＝AFBE＝k(3－k)＝k－k2＝－(k2－6k＋9－9)＝－(k－3)2＋， 當(dāng)k＝3時，S有最大值，S最大＝. 3．解：(1)如解圖所示，延長AE，BD交于點C，則∠ACB＝90， ∵一次函數(shù)y＝－2x＋1的圖象經(jīng)過點A(－1，m)， ∴m＝2＋1＝3，∴A(－1，3)， ∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A(－1，3)， ∴k＝－13＝－3； (2)∵BD⊥y軸，垂足為點D，且點D的坐標(biāo)為(0，－2)， ∴令y＝－2，則－2＝－2x＋1， ∴x＝，即B(，－2)，∴C(－1，－2)， ∴AC＝3－(－2)＝5，BC＝－(－1)＝， ∴四邊形AEDB的面積＝△ABC的面積－△CDE的面積＝ACBC－CECD＝5－21＝. 4．解：(1)由題意A(1，2)， 把A(1，2)代入y＝，得到3k＝2，∴k＝； (2)把M(－2，0)代入y＝kx＋b，可得b＝2k，∴y＝kx＋2k， 由，消去y得到x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或1， ∴B(－3，－k)，A(1，3k)， ∵△ABO的面積為，∴23k＋2k＝，解得k＝， ∴直線l的解析式為y＝x＋. 5．解：(1)∵點B(－2，n)、D(3－3n，1)在反比例函數(shù)y＝(x＜0)的圖象上， ∴，解得. (2)由(1)知反比例函數(shù)解析式為y＝－， ∵n＝3，∴點B(－2，3)、D(－6，1)， 如解圖，過點D作DE⊥BC于點E，延長DE交AB于點F， 在△DBE和△FBE中，， ∴△DBE≌△FBE(ASA)，∴DE＝FE＝4，∴點F(2，1)， 將點B(－2，3)、F(2，1)代入y＝kx＋b， ∴， 解得，∴y＝－x＋2. 6．解：(1)∵AB＝4，BD＝2AD， ∴AB＝AD＋BD＝AD＋2AD＝3AD＝4，∴AD＝， 又∵OA＝3，∴D(，3)， ∵點D在雙曲線y＝上，∴k＝3＝4； ∵四邊形OABC為矩形，∴AB＝OC＝4， ∴點E的橫坐標(biāo)為4. 把x＝4代入y＝中，得y＝1，∴E(4，1)； (2)假設(shè)存在要求的點P坐標(biāo)為(m，0)，OP＝m，CP＝4－m. ∵∠APE＝90，∴∠APO＋∠EPC＝90， 又∵∠APO＋∠OAP＝90，∴∠EPC＝∠OAP， 又∵∠AOP＝∠PCE＝90，∴△AOP∽△PCE， ∴＝，∴＝， 解得m＝1或m＝3， ∴存在要求的點P，使∠APE＝90，此時點P的坐標(biāo)為(1，0)或(3，0). 7．解：(1)把A(1，a)代入y＝－得a＝－3，則A(1，－3)， 解方程組，得，或，則B(3，－1)， 設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b， 把A(1，－3)，B(3，－1)代入得 ，解得， ∴直線AB的解析式為y＝x－4； (2)如解圖，直線AB交x軸于點Q， 當(dāng)y＝0時，x－4＝0，解得x＝4，則Q(4，0)， ∵PA－PB≤AB(當(dāng)P、A、B共線時取等號)， ∴當(dāng)P點運動到Q點時，線段PA與線段PB之差達到最大，此時P點坐標(biāo)為(4，0). 8．解：(1)如解圖，作AE、BF分別垂直于x軸，垂足為E、F. ∵△AOE∽△BOF，＝，∴＝＝＝. 由點A在函數(shù)y＝的圖象上， 設(shè)A的坐標(biāo)是(m，)，∴＝＝，＝＝， ∴OF＝3m，BF＝，即B的坐標(biāo)是(3m，)． 又∵點B在y＝的圖象上，∴＝，解得k＝9， 則反比例函數(shù)y＝的表達式是y＝； (2)由(1)可知，A(m，)，B(3m，)， 又已知過A作x軸的平行線交y＝的圖象于點C. ∴C的縱坐標(biāo)是， 把y＝代入y＝得x＝9m，∴C的坐標(biāo)是(9m，)， ∴AC＝9m－m＝8m.∴S△ABC＝8m＝8. 5.(xx常州)如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸交于點A，與反比例函數(shù)y＝(x＜0)的圖象交于點B(－2，n)，過點B作BC⊥x軸于點C，點D(3－3n，1)是該反比例函數(shù)圖象上一點． (1)求m的值； (2)若∠DBC＝∠ABC，求一次函數(shù)y＝kx＋b的表達式. 6．如圖，已知矩形OABC中，OA＝3，AB＝4，雙曲線y＝(k＞0)與矩形兩邊AB、BC分別交于D、E，且BD＝2AD. (1)求k的值和點E的坐標(biāo)； (2)點P是線段OC上的一個動點，是否存在點P，使∠APE＝90，若存在，求出此時點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由. 7．(xx黃岡)如圖，已知點A(1，a)是反比例函數(shù)y＝－的圖象上一點，直線y＝－x＋與反比例函數(shù)y＝－的圖象在第四象限的交點為點B. (1)求直線AB的解析式； (2)動點P(x，0)在x軸的正半軸上運動，當(dāng)線段PA與線段PB之差達到最大時，求點P的坐標(biāo). 8．(xx聊城)如圖，分別位于反比例函數(shù)y＝，y＝在第一象限圖象上的兩點A、B，與原點O在同一直線上，且＝. (1)求反比例函數(shù)y＝的表達式； (2)過點A作x軸的平行線交y＝的圖象于點C，連接BC，求△ABC的面積．(導(dǎo)學(xué)號　95604296)