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專題09 導數意義及導數運算 一、 考綱要求: 1.了解導數概念的實際背景 2.通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義. 3.能根據導數的定義求函數y＝C(C為常數)，y＝x，y＝，y＝x2y＝x3，y＝的導數. 4.能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，并了解復合函數求導法則，能求簡單復合函數(僅限于形如f(ax＋b)的復合函數)的導數． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1．奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數． 2．＝－(f(x)≠0)． 3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 4．函數y＝f(x)的導數f′(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”． 　5.求函數導數的一般原則如下 (1）)遇到連乘的形式，先展開化為多項式形式，再求導. (2）)遇到根式形式，先化為分數指數冪，再求導. (3）)遇到復雜分式，先將分式化簡，再求導. 4）.復合函數求導，應先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元處理. 6.求函數圖象的切線方程的注意事項: (1）)首先應判斷所給點是不是切點，如果不是，需將切點設出. (2）)切點既在函數的圖象上，也在切線上，可將切點代入兩者的解析式建立方程組. (3）)在切點處的導數值對應切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件. (4）)曲線上一點處的切線與該曲線并不一定只有一個公共點. (5）)當曲線y=f(x)在點(x0,fx0)處的切線垂直于x軸時，函數在該點處的導數不存在，切線方程是x＝x0. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國卷Ⅰ）設函數f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）為奇函數，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為（　?。? A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 解析：函數f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）為奇函數， 可得a=1，所以函數f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1， 曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線的斜率為：1， 則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為：y=x． 故選：D． 例2.（2018全國卷II）曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為　?。? 解析：∵y=2ln（x+1）， ∴y′=， 當x=0時，y′=2， ∴曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x． 故答案為：y=2x． 例3.（2018全國卷Ⅲ）曲線y=（ax+1）ex在點（0，1）處的切線的斜率為﹣2，則a=　﹣3?。? 例4.(2017全國卷Ⅰ)曲線y＝x＋在點(1,2)處的切線方程為________． x－y＋1＝0　 解析：∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1， 即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k＝1， ∴切線方程為y－2＝x－1， 即x－y＋1＝0. 例5.(2016全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數，當x<0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________． y＝－2x－1　 解析：因為f(x)為偶函數，所以當x>0時，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，則f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程為y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1. 例6.(2017天津高考)已知a∈R，設函數f(x)＝ax－ln x的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________ 解析：∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1. 又∵f(1)＝a，∴切線l的斜率為a－1，且過點(1，a)， ∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)． 令x＝0，得y＝1，故l在y軸上的截距為1. 導數意義及導數運算練習 一、 選擇題 1．函數f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導數為(　　) A．2(x2－a2)　　　　 B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) C　解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3， ∴f′(x)＝3(x2－a2)．　 2．曲線f(x)＝2x－ex與y軸的交點為P，則曲線在點P處的切線方程為(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0 3．已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)等于(　　) A．－e　　 B．－1 C．1　　　　D．e B 解析：　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則f′(1)＝－1.　 4．曲線y＝xex＋2x－1在點(0，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－3x－1 A　解析：由題意得y′＝(x＋1)ex＋2，則曲線y＝xex＋2x－1在點(0，－1)處的切線的斜率為(0＋1)e0＋2＝3，故曲線y＝xex＋2x－1在點(0，－1)處的切線方程為y＋1＝3x，即y＝3x－1. 5．若直線y＝kx＋1是函數f(x)＝ln x圖象的一條切線，則k＝(　　) A． B． C．e D．e2 A 解析：　由f(x)＝ln x，得f′(x)＝.設切點為(x0，ln x0)，則 解得x0＝e2， 則k＝＝，故選A． 6.已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋mx＋n相切于點A(1,3)，則n＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 C　解析：對于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3. 7．已知y＝f(x)是可導函數，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數，則g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 8.曲線y＝1－在點(－1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2 9.若直線y＝ax是曲線y＝2ln x＋1的一條切線，則實數a＝(　　) A．e　　　 B．2e　　　　 C．e　　　　 D．2e B解析：　依題意，設直線y＝ax與曲線y＝2ln x＋1的切點的橫坐標為x0，則有y′|x＝x0＝，于是有解得x0＝，a＝＝2e，選B. 10．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m的值為(　　) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 D解析：　∵f′(x)＝， ∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0， ∴切線l的方程為y＝x－1. g′(x)＝x＋m，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)， 則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0， 解得m＝－2. 11．曲線y＝e在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為(　　) A．e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 D　解析：易知曲線y＝e在點(4，e2)處的切線斜率存在，設其為k.∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切線方程為y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面積為S＝2|－e2|＝e2. 12．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m的值為(　　) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 二、填空題 13．(2016全國卷Ⅱ)若直線y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________. 1－ln 2　解析：分別求出兩個對應函數的導數，設出兩個切點坐標，利用導數得到兩個切點坐標之間的關系，進而求出切線斜率，求出b的值． 求得(ln x＋2)′＝，[ln(x＋1)]′＝. 設曲線y＝ln x＋2上的切點為(x1，y1)，曲線y＝ln(x＋1)上的切點為(x2，y2)， 則k＝＝，所以x2＋1＝x1. 又y1＝ln x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln x1， 所以k＝＝2， 所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln 2， 所以b＝y(tǒng)1－kx1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 14．已知函數f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(1，f(1))處的切線過點(2,7)，則a＝________. 1　解析：∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切線過點(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 15．曲線y＝aln x(a＞0)在x＝1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，則a＝________. 16．設曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為________． (1,1)　解析：∵函數y＝ex的導函數為y′＝ex， ∴曲線y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1. 設P(x0，y0)(x0＞0)，∵函數y＝的導函數為y′＝－，∴曲線y＝(x＞0)在點P處的切線的斜率k2＝－. 易知k1k2＝－1，即1＝－1，解得x＝1，又x0＞0，∴x0＝1.又∵點P在曲線y＝(x＞0)上，∴y0＝1，故點P的坐標為(1,1)． 三、解答題 17．求下列函數的導數： (1)y＝xtan x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝. [解]　(1)y′＝(xtan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′ ＝tan x＋x′＝tan x＋x ＝tan x＋. (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. (3)y′＝′＝ ＝＝ ＝. 18．已知函數f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程． 19．已知函數f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍； (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍. [解]　(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3， 則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)． (2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結合(1)中結論可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．