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三 排序不等式
1．順序和、亂序和、反序和
設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，稱a1b1＋a2b2＋…＋anbn為這兩個實數(shù)組的順序積之和(簡稱順序和)，稱a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1為這兩個實數(shù)組的反序積之和(簡稱反序和)．稱a1c1＋a2c2＋…＋ancn為這兩個實數(shù)組的亂序積之和(簡稱亂序和)．
2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序原理，又稱為排序不等式) 設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，則有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等號成立(反序和等于順序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.
排序原理可簡記作：反序和≤亂序和≤順序和．
[點睛] 排序不等式也可以理解為兩實數(shù)序列同向單調(diào)時，所得兩兩乘積之和最大；反向單調(diào)(一增一減)時，所得兩兩乘積之和最?。?
[例1] 已知a，b，c為正數(shù)，且a≥b≥c，求證：
＋＋≥＋＋.
[思路點撥] 分析題目中已明確a≥b≥c，所以解答本題時可直接構造兩個數(shù)組，再用排序不等式證明即可．
[證明] ∵a≥b>0，于是≤，
又c>0，從而≥，
同理≥，從而≥≥.
又由于順序和不小于亂序和，故可得
＋＋≥＋＋
＝＋＋
≥＋＋＝＋＋＝＋＋.
∴原不等式成立．
利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細觀察、分析所要證明的式子的結構，從而正確地構造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組．
1．已知0<α<β<γ<，求證：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
證明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在為增函數(shù)，y＝cos x在為減函數(shù)，
∴0
cos β>cos γ>0.
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
2．設x≥1，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
證明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.
由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n
≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因為x，x2，…，xn,1為1，x，x2，…，xn的一個排列，
由排序原理得1x＋xx2＋…＋xn－1xn＋xn1
≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1，
即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②
將①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
用排序不等式證明不等式(對所證不等式中的字母大小順序作出假設)
[例2] 設a，b，c為正數(shù)，求證：
＋＋≥a10＋b10＋c10.
[思路點撥] 本題考查排序不等式的應用，解答本題需要搞清：題目中沒有給出a，b，c三個數(shù)的大小順序，且a，b，c在不等式中的“地位”是對等的，故可以設a≥b≥c，再利用排序不等式加以證明．
[證明] 由對稱性，不妨設 a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，≥≥，
故由排序不等式：順序和≥亂序和，得
＋＋≥＋＋＝＋＋.①
又因為a11≥b11≥c11，≤≤.
再次由排序不等式：反序和≤亂序和，得
＋＋≤＋＋.②
所以由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.
在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關系，對于沒有給出大小關系的情況，要根據(jù)各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關系．
3．設a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c.
證明：由題意不妨設a≥b≥c＞0，
由不等式的單調(diào)性，知ab≥ac≥bc，≥≥.
由排序不等式，知ab＋ac＋bc
≥ab＋ac＋bc＝a＋c＋b，
即＋＋≥a＋b＋c.
4．設a1，a2，a3為正數(shù)，求證：＋＋≥a1＋a2＋a3.
證明：不妨設 a1≥a2≥a3>0，于是
≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，
由排序不等式：順序和≥亂序和得
＋＋≥a2a3＋a3a1＋a1a2
＝a3＋a1＋a2.
即＋＋≥a1＋a2＋a3.
1．有兩組數(shù)：1,2,3與10,15,20，它們的順序和、反序和分別是( )
A．100,85 B．100,80
C．95,80 D．95,85
解析：選B 由順序和與反序和的定義可知順序和為100，反序和為80.
2．若00，
則lg a≥lg b≥lg c，據(jù)排序不等式有：
alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，
alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c，
以上兩式相加，再兩邊同加alg a＋blg b＋clg c，整理得
3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)，
即lg(aabbcc)≥lg(abc)，
故aabbcc≥(abc).
9．某學校舉行投籃比賽，按規(guī)則每個班級派三人參賽，第一人投m分鐘，第二人投n分鐘，第三人投p分鐘，某班級三名運動員A，B，C每分鐘能投進的次數(shù)分別為a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上場能取得最佳成績？
解：∵m＞n＞p，a＞b＞c，
且由排序不等式知順序和為最大值，
∴最大值為ma＋nb＋pc，此時分數(shù)最高，
∴三人上場順序是A第一，B第二，C第三．
10．已知00，
又0
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