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3.1 三角函數的圖象與性質 【課時作業(yè)】 A級 1．(2018山東壽光一模)若角α的終邊過點A(2,1)，則sin＝(　　) A．－ B．－ C. D． 解析：　根據三角函數的定義可知cos α＝＝， 則sin＝－cos α＝－，故選A. 答案：　A 2．若sin θ＋cos θ＝，則tan θ＋＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：　由sin θ＋cos θ＝，得1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－，則tan θ＋＝＋＝＝－，故選D. 答案：　D 3．為了得到函數y＝sin 3x＋cos 3x的圖象，可以將函數y＝cos 3x的圖象(　　) A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度 C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 解析：　y＝sin 3x＋cos 3x＝sin＝cos＝cos＝cos，所以，為了得到函數y＝sin 3x＋cos 3x的圖象，可以將函數y＝cos 3x的圖象向右平移個單位長度，故選C. 答案：　C 4．(2018天津卷)將函數y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(　　) A．在區(qū)間上單調遞增 B．在區(qū)間上單調遞減 C．在區(qū)間上單調遞增 D．在區(qū)間上單調遞減 解析：　函數y＝sin的圖象向右平移個單位長度后的解析式為y＝sin＝sin 2x，則函數y＝sin 2x的一個單調增區(qū)間為，一個單調減區(qū)間為.由此可判斷選項A正確． 故選A. 答案：　A 5．(2018貴陽市適應性考試(一))把函數y＝sin＋1圖象上各點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)，那么所得圖象的一條對稱軸方程為(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：　根據題中變換，所得圖象對應的函數解析式為f(x)＝sin＋1，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，則x＝＋(k∈Z)，取k＝0，得x＝，故選D. 答案：　D 6．(2018河南周口二模)將函數y＝sin的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)，則所得圖象的解析式為(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析：　將函數y＝sin的圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得y＝sin＝sin的圖象，再把所得圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)，可得y＝sin的圖象，故選B. 答案：　B 7．(2018北京卷)在平面直角坐標系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點P在其中一段上，角α以Ox為始邊，OP為終邊．若tan α0，與tan α0，cos α<0，與tan α0)個單位長度，再將所得的圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍，得到y(tǒng)＝cos 2x＋sin 2x的圖象，則φ，a的可能取值為(　　) A．φ＝，a＝2 B．φ＝，a＝2 C．φ＝，a＝ D．φ＝，a＝ 解析：　y＝cos x－sin x＝cos的圖象向右平移φ個單位長度得到y(tǒng)＝cos的圖象，該圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到y(tǒng)＝cos的圖象，所以y＝cos 2x＋sin 2x＝cos＝cos，則a＝，φ＝＋2kπ(k∈Z)．又φ>0，所以結合選項知D. 答案：　D 9．(2018全國卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是減函數，則a的最大值是(　　) A. B． C. D．π 解析：　f(x)＝cos x－sin x＝－＝－ sin ，當x∈，即x－∈時，y＝sin單調遞增， y＝－sin單調遞減． ∵函數f(x)在[－a，a]是減函數， ∴[－a，a]?， ∴00)的圖象向右平移個單位長度得到函數y＝g(x)的圖象，并且函數g(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則實數ω的值為(　　) A. B． C．2 D． 解析：　因為將函數f(x)＝sin ωx(ω>0)的圖象向右平移個單位長度得到函數y＝g(x)的圖象，所以g(x)＝sin ω，又函數g(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以g＝sin ＝1且≥，所以所以ω＝2，故選C. 答案：　C 12．(2018成都市第一次診斷性檢測)設函數f(x)＝sin.若x1x2<0，且f(x1)－f(x2)＝0，則|x2－x1|的取值范圍為(　　) A. B． C. D． 解析：　如圖，畫出f(x)＝sin的大致圖象，記M，N，則|MN|＝.設點A，A′是平行于x軸的直線l與函數f(x)圖象的兩個交點(A，A′位于y軸兩側)，這兩個點的橫坐標分別記為x1，x2，結合圖形可知，|x2－x1|＝|AA′|∈(|MN|，＋∞)，即|x2－x1|∈，故選A. 答案：　A 13．(2017全國卷Ⅱ)函數f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． 解析：　f(x)＝1－cos2x＋cos x－ ＝－2＋1. ∵x∈，∴cos x∈[0,1]， ∴當cos x＝時，f(x)取得最大值，最大值為1. 答案：　1 14．(2018山西省八校第一次聯考)已知函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分圖象如圖所示，則φ＝________. 解析：　由函數圖象得A＝2，所以y＝2sin(ωx＋φ)，因為圖象過點(0，－1)，所以sin φ＝－，因為x＝0位于圖象的單調遞減區(qū)間，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－. 答案：?。? 15．已知函數f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，則m的最大值是________． 解析：　由x∈，可知≤3x＋≤3m＋， ∵f＝cos ＝－，且f＝cos π＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，即≤m≤，即m的最大值是. 答案：　 16．已知函數f(x)＝sin，如果x1，x2∈，且x1≠x2時，f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝________. 解析：　由2x－＝kπ＋，k∈Z可得x＝＋，k∈Z，因為x1，x2∈，所以令k＝0，得其在區(qū)間里的對稱軸為x＝，所以x1＋x2＝2＝，所以f＝sin＝sin ＝－. 答案：?。? B級 1．(2018洛陽市尖子生第一次聯考)已知函數f(x)＝sin(sin x)＋cos(sin x)，x∈R，則下列說法正確的是(　　) A．函數f(x)是周期函數且最小正周期為π B．函數f(x)是奇函數 C．函數f(x)在區(qū)間上的值域為[1，] D．函數f(x)在上是增函數 解析：　f(x)＝sin(sin x)＋cos(sin x)＝sin，因為f(π＋x)＝sin＝sin≠f(x)，所以π不是函數f(x)的最小正周期，故A錯誤；f(－x)＝sin＝sin≠－f(x)，故B錯誤；當x∈時，sin x∈[0,1]，sin x＋∈，所以sin∈，則sin∈[1，]，故C正確；當x∈時，sin x∈，sin x＋∈，而∈，所以函數f(x)在上不是單調函數，故D錯誤． 答案：　D 2．已知函數f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函數f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內單調遞增，且函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝ω對稱，則ω的值為________． 解析：　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin， 因為f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內單調遞增，且函數圖象關于直線x＝ω對稱，所以f(ω)必為一個周期上的最大值， 所以有ωω＋＝2kπ＋，k∈Z， 所以ω2＝＋2kπ，k∈Z， 又ω－(－ω)≤，即ω2≤， 所以ω2＝，所以ω＝. 答案：　 3．已知函數f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期為π. (1)求函數y＝f(x)圖象的對稱軸方程； (2)討論函數f(x)在上的單調性． 解析：　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，∴ω＝2. 于是f(x)＝sin. 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 即函數f(x)圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)． (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． 注意到x∈，所以令k＝0， 得函數f(x)在上的單調遞增區(qū)間為； 同理，其單調遞減區(qū)間為. 4．已知函數f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋a，且當x∈時，f(x)的最小值為2. (1)求a的值，并求f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)先將函數y＝f(x)的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的，再將所得圖象向右平移個單位，得到函數y＝g(x)的圖象，求方程g(x)＝4在區(qū)間上所有根之和． 解析：　(1)f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋a＝cos 2x＋1＋sin 2x＋a＝2sin＋a＋1， ∵x∈，∴2x＋∈， ∴f(x)的最小值為－1＋a＋1＝2， 解得a＝2， ∴f(x)＝2sin＋3. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由函數圖象變換可得 g(x)＝2sin＋3， 由g(x)＝4可得sin＝， ∴4x－＝2kπ＋或4x－＝2kπ＋(k∈Z)， 解得x＝＋或x＝＋(k∈Z)， ∵x∈，∴x＝或x＝， ∴所有根之和為＋＝.