2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1-2-2-2 組合的綜合應(yīng)用隨堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收 新人教A版選修2-3.doc
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1-2-2-2 組合的綜合應(yīng)用 1.某地招募了20名志愿者,他們編號(hào)分別為1號(hào),2號(hào),…,19號(hào),20號(hào),如果要從中任意選取4人再按編號(hào)大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作,其中兩個(gè)編號(hào)較小的人在一組,兩個(gè)編號(hào)較大的人在另一組,那么確保5號(hào)與14號(hào)入選并被分配到同一組的選取種數(shù)是( ) A.16 B.21 C.24 D.90 [解析] 分2類:第1類,5號(hào)與14號(hào)為編號(hào)較大的一組,則另一組編號(hào)較小的有C=6種選取方法.第2類,5號(hào)與14號(hào)為編號(hào)較小的一組,則編號(hào)較大的一組有C=15種選取方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有C+C=6+15=21(種)選取方法. [答案] B 2.把5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個(gè)小組,若甲組至少兩人,乙、丙組至少各一人,則不同的分配方案有( ) A.80種 B.120種 C.140種 D.50種 [解析] 當(dāng)甲組中有3人,乙、丙組中各有1人時(shí),有CC=20(種)不同的分配方案;當(dāng)甲組中有2人,乙組中也有2人,丙組中只有1人時(shí),有CC=30(種)不同的分配方案;當(dāng)甲組中有2人,乙組中有1人,丙組中有2人時(shí),有CC=30(種)不同的分配方案;由分類加法計(jì)數(shù)原理共有CC+CC+CC=80(種)不同的分配方案. [答案] A 3.若從1,2,3,…,9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有( ) A.60種 B.63種 C.65種 D.66種 [解析] 從1,2,3,…9這9個(gè)數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù),其和為偶數(shù)的情況包括:①取出的4個(gè)數(shù)都是偶數(shù),取法有C=1(種);②取出的4個(gè)數(shù)中有2個(gè)偶數(shù)、2個(gè)奇數(shù),取法有CC=60(種);③取出的4個(gè)數(shù)都是奇數(shù),取法有C=5(種).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,滿足題意的取法共有1+60+5=66(種). [答案] D 4.在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張,其余5張無獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人,每人2張,不同的獲獎(jiǎng)情況有________種(用數(shù)字作答). [解析] 把8張獎(jiǎng)券分4組有兩種分法,一種是分(一等獎(jiǎng),無獎(jiǎng))、(二等獎(jiǎng),無獎(jiǎng))、(三等獎(jiǎng),無獎(jiǎng))、(無獎(jiǎng),無獎(jiǎng))四組,分給4人有A種分法;另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng),一組只有一個(gè)獎(jiǎng),另兩組無獎(jiǎng),共有C種分法,再分給4人有CA種分法,所以不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)為A+CA=24+36=60(種). [答案] 60 課內(nèi)拓展 課外探究 1.幾何組合應(yīng)用問題 (1)解決幾何圖形中的組合問題,首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題,其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題,尋找一個(gè)組合的模型加以處理.如平面上不共線的m個(gè)點(diǎn)構(gòu)成多少個(gè)三角形,即在m個(gè)元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)(除去共線的情況)就是三角形的個(gè)數(shù).空間由不共面的n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成多少個(gè)四面體,即與在n個(gè)元素中取出4個(gè)元素的組合數(shù)(除去共面的情況)相等,如求組成多少對(duì)異面直線問題,也可以構(gòu)造四面體模型加以處理. 此外,解決幾何問題,必須注意幾何問題本身的限制條件.如共線、共面、交點(diǎn)等要注意分清“對(duì)應(yīng)關(guān)系”,如不共線的三點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形,不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)四面體等等,解題時(shí)可借助圖形來幫助思考,并善于將幾何性質(zhì)用于解題之中. (2)圖形多少的問題通常是組合問題,要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用排除法. (3)在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時(shí),應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)造模型,明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系,將幾何問題抽象成組合問題來解決. 利用組合知識(shí)解決與幾何有關(guān)的問題,要注意:①將已知條件中的元素的特征搞清,是用直接法還是間接法;②要使用分類方法,至于怎樣確定分類的標(biāo)準(zhǔn),這是一個(gè)難點(diǎn),要具體問題具體分析;③常用間接法解決該類問題. 如果一個(gè)凸多面體是n棱錐,那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有________條.這些直線中共有f(n)對(duì)異面直線,則f(4)=________,f(n)=________(答案用數(shù)字或n的解析式表示). [解析] n棱錐共n+1個(gè)頂點(diǎn),依兩點(diǎn)確定一條直線,有C=條直線. f(4)表示四棱錐中的異面直線的對(duì)數(shù),如圖,每條側(cè)棱和底面上不共頂點(diǎn)的兩條底邊、一條對(duì)角線共形成3對(duì)異面直線,即f(4)=43=12對(duì); 同理,一條側(cè)棱與底面上n-2條底邊異面,又與C-(n-1)+1條底面對(duì)角線異面,即與這條側(cè)棱異面的直線有C-(n-1)+1+(n-2)=C=條,故n條側(cè)棱形成的異面直線的對(duì)數(shù)f(n)=. [答案] 12 [點(diǎn)評(píng)] 這里是用組合知識(shí)來解答立體幾何中的問題,其中由簡(jiǎn)單到復(fù)雜,由特例到一般的推理方法及用特例來檢驗(yàn)一般的方法都要注意掌握. 在∠MON的邊OM上有5個(gè)異于點(diǎn)O的點(diǎn),在邊ON上有4個(gè)異于點(diǎn)O的點(diǎn),以這10個(gè)點(diǎn)(含O)為頂點(diǎn),可以得到多少個(gè)三角形? [解] 解法一:(直接法)分幾種情況考慮:O為頂點(diǎn)的三角形中,必須另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在OM、ON上,所以有CC個(gè),O不為頂點(diǎn)的三角形中,兩個(gè)頂點(diǎn)在OM上,一個(gè)頂點(diǎn)在ON上的有CC個(gè),一個(gè)頂點(diǎn)在OM上,兩個(gè)頂點(diǎn)在ON上的有CC個(gè).因?yàn)檫@是分類問題,所以用分類計(jì)數(shù)原理,共有CC+CC+CC=54+104+56=90(個(gè)). 解法二:(間接法)先不考慮共線點(diǎn)的問題,從10個(gè)不同元素中任取三個(gè)的組合數(shù)是C,但其中OM上的6個(gè)點(diǎn)(含O)中任取三點(diǎn)不能得到三角形,ON上的5個(gè)點(diǎn)(含O)中任取3點(diǎn)也不能得到三角形,所以共可以得到C-C-C個(gè)三角形,即C-C-C=--=120-20-10=90(個(gè)). [點(diǎn)評(píng)] 解答幾何組合應(yīng)用問題的思考方法與一般的組合應(yīng)用題基本一樣,只要把圖形中隱含的條件視為有限制條件的組合應(yīng)用題即可.計(jì)算時(shí)可用直接法,也可用間接法.要注意在限制條件較多的情況下,需要分類計(jì)算符合題意的組合數(shù). 2.構(gòu)造組合模型 排列、組合應(yīng)用題的背景豐富、千奇百怪、情景陌生、無特定的模式和規(guī)律可循,因此必須認(rèn)真審題,把握問題的本質(zhì)特征,化歸為排列、組合的常規(guī)模型進(jìn)而求解. 某城市一條道路上有12盞路燈,為了節(jié)約用電而又不影響正常的照明,可以熄滅其中三盞燈,但兩端路燈不能熄滅,也不能熄滅相鄰的兩盞燈,那么熄燈方法共有( ) A.C種 B.A種 C.C種 D.A種 [解析] “亮燈”“滅燈”元素之間互異,可視為互異的元素,不考慮順序,屬于組合問題. “滅燈”不相鄰,應(yīng)采取“插空法”. 分兩步完成: 第一步,安排9盞亮燈,因?yàn)榱翢粝嗤?,只是位置不同,共有C種; 第二步,將3盞熄滅的燈插到8個(gè)空里,有C種; 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有CC=C種熄燈方法.故選擇A. [答案] A [點(diǎn)評(píng)] 本題通過構(gòu)造組合模型,利用“插空法”,使問題順利地解決. 設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6,7},映射f:A→A滿足f(1)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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