2018-2019學年高中數學 第四章 函數應用 4.1.2 利用二分法求方程的近似解課時作業(yè)1 北師大版必修1.doc
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4.1.2 利用二分法求方程的近似解 (建議用時:45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1. 用“二分法”可求近似解,對于精度ε說法正確的是( ) A.ε越大,零點的精度越高 B.ε越大,零點的精度越低 C.重復計算次數就是ε D.重復計算次數與ε無關 【解析】 依“二分法”的具體步驟可知,ε越大,零點的精度越低. 【答案】 B 2. 在用二分法求函數f(x)零點近似值時,第一次取的區(qū)間是[-2,4],則第三次所取的區(qū)間可能是( ) A.[1,4] B.[-2,1] C.[-2,2.5] D.[-0.5,1] 【解析】 因第一次所取的區(qū)間是[-2,4],所以第二次的區(qū)間可能是[-2,1],[1,4];第三次所取的區(qū)間可能為[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有選項D在其中,故選D. 【答案】 D 3. 設f(x)=lg x+x-3,用二分法求方程lg x+x-3=0在(2,3)內近似解的過程中得f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,則方程的根落在區(qū)間( ) A.(2,2.25) B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75) D.(2.75,3) 【解析】 由二分法的步驟知方程的根落在區(qū)間(2.5,2.75)內. 【答案】 C 4. 為了求函數f(x)=2x+3x-7的一個零點,某同學利用計算器得到自變量x和函數f(x)的部分對應值,如下表所示: x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5 f(x) -0.871 6 -0.578 8 -0.281 3 0.210 1 0.328 43 0.641 15 則方程2x+3x=7的近似解(精確到0.1)可取為( ) A.1.32 B.1.39 C.1.4 D.1.3 【解析】 由f(1.375)f(1.4375)<0, 可知方程2x+3x=7的近似解可取1.4.故選C. 【答案】 C 5. 已知f(x)=-ln x在區(qū)間(1,2)內有一個零點x0,若用二分法求x0的近似值(精度為0.2),則需要將區(qū)間等分的次數為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 由用二分法求函數零點近似值的步驟可知. 分一次,f>0,區(qū)間長度=0.5>0.2, 分二次,f>0,區(qū)間長度=0.25>0.2, 分三次,f<0,區(qū)間長度=<0.2, 所以分三次可以使x0的近似值達到精度為0.2.故選A. 【答案】 A 二、填空題 6. 在用二分法求方程ex+x-2=0的一個近似解時,現(xiàn)在已經將一根鎖定在區(qū)間(0,1)內,則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為________. 【解析】 令f(x)=ex+x-2,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,f=->0. ∴下一個區(qū)間為. 【答案】 7. 若函數f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數零點附近的函數值(或近似值)用二分法逐次計算,參考數據如下表: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165 f(1.406 5)=-0.052 那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根(精確到0.1)為________. 【解析】 由于f(1.438)f(1.406 5)<0,結合二分法的定義得零點應該存在于區(qū)間(1.406 5,1.438)中,故方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根為1.4. 【答案】 1.4 8. 用二分法求方程x3-8=0在區(qū)間(2,3)內的近似解經過________次“二分”后精度能達到0.01? 【解析】 設n次“二分”后精度達到0.01,∵區(qū)間(2,3)的長度為1, ∴<0.01,即2n>100. 注意到26=64<100,27=128>100,故要經過7次二分后精度達到0.01. 【答案】 7 三、解答題 9. 用二分法判斷函數f(x)=2x3-3x+1零點的個數. 【解】 用計算器或計算機作出x,f(x)的對應值表(如下表)和圖像(如下圖): x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 f(x) -1.25 2 2.25 1 -0.25 0 3.25 由上表和上圖可知,f(-1.5)<0,f(-1)>0, 即f(-1.5)f(-1)<0,說明這個函數在區(qū)間(-1.5,-1)內有零點. 同理,它在區(qū)間(0,0.5)內也有零點.另外,f(1)=0,所以1也是它的零點,由于函數f(x)在定義域和內是增函數,在內是減函數,所以它共有3個零點. 10. 證明方程6-3x=2x在區(qū)間[1,2]內有唯一一個實數解,并求出這個實數解.(精度為0.1) 【解】 證明如下: 設函數f(x)=2x+3x-6, ∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0, 又∵f(x)是增函數, ∴函數f(x)=2x+3x-6在區(qū)間[1,2]內有唯一的零點, 則方程6-3x=2x在區(qū)間[1,2]內有唯一一個實數解. 設該解為x0,則x0∈[1,2], 取x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0, f(1)f(1.5)<0, ∴x0∈(1,1.5), 取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0, f(1)f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25), 取x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<0, f(1.125)f(1.25)<0, ∴x0∈(1.125,1.25), 取x4=1.187 5,f(1.187 5)≈-0.16<0, f(1.187 5)f(1.25)<0, ∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴1.187 5可作為這個方程的實數解. [能力提升] 1. 函數y=x與函數y=lg x的圖像的交點的橫坐標(精度為0.1)約是( ) A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8 【解析】 設f(x)=lg x-x,經計算f(1)=-<0,f(2)=lg 2->0,所以方程lg x-x=0在[1,2]內有解.應用二分法逐步縮小方程實數解所在的區(qū)間,可知選項D符合要求. 【答案】 D 2. 下列函數中,不適合用二分法求零點的是( ) A.f(x)=2x+3 B.f(x)=ln x+2x-9 C.f(x)=x4-2x3+x2 D.f(x)=2x-3 【解析】 C中令f(x)=x4-2x3+x2=x2(x-1)2=0. 得x=0或x=1,又f(x)≥0恒成立,由二分法的定義知不適合用二分法. 【答案】 C 3. 用二分法求方程x2=2的正實根的近似解(精度為0.001)時,如果選取初始區(qū)間是[1.4,1.5],則要達到精確度要求至少需要計算________次. 【解析】 設至少需要計算n次,則n滿足<0.001,即2n>100,由于27=128,故要達到精確度要求至少需要計算7次. 【答案】 7 4. 在26枚嶄新的金幣中,混入了一枚外表與它們完全相同的假幣(重量稍輕).現(xiàn)在只有一臺天平,請問:用二分法的思想最多稱幾次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣? 【解】 第一次各13枚稱重,選出較輕一端的13枚,繼續(xù)稱;第二次兩端各6枚,若平衡,則剩下的一枚為假幣,否則選出較輕的6枚繼續(xù)稱; 第三次兩端各3枚,選出較輕的3枚繼續(xù)稱; 第四次兩端各1枚,若不平衡,可找出假幣;若平衡,則剩余的是假幣. ∴最多稱四次.- 配套講稿:
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