2019年高考數學 考點分析與突破性講練 專題22 簡單線性規(guī)劃 理.doc
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專題22 簡單線性規(guī)劃 一、 考綱要求: 1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組. 2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組. 3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決. 二、概念掌握及解題上的注意點: 1. 確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法 (1)“直線定界,特殊點定域”,即先作直線,再取特殊點并代入不等式.若滿足不等式,則不等式表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側的那一側區(qū)域;否則就對應與特殊點異側的平面區(qū)域.不等式組表示的平面區(qū)域即為各不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分. (2)當不等式中不等號為≥或≤時,邊界為實線,不等號為>或<時,邊界應畫為虛線,若直線不過原點,特殊點常取原點. 2.求目標函數最值的解題步驟 (1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線; (2)平移——將直線平行移動,以確定最優(yōu)解的對應點的位置;最優(yōu)解一般在封閉圖形的邊界或頂點處取得. (3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解),代入目標函數,即可求出最值. 3.常見的三類目標函數 (1)截距型:形如z=ax+by. 求這類目標函數的最值常將函數z=ax+by轉化為直線的斜截式:y=-x+,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值. (2)距離型:形如z=(x-a)2+(y-b)2. (3)斜率型:形如z=. 三、高考考題題例分析: 例1.(2018課標卷I) 若x,y滿足約束條件,則z=3x+2y的最大值為 ?。? 【答案】6 例2.(2018課標卷II)若x,y滿足約束條件,則z=x+y的最大值為 ?。? 【答案】9 【解析】:由x,y滿足約束條件作出可行域如圖, 化目標函數z=x+y為y=﹣x+z, 由圖可知,當直線y=﹣x+z過A時,z取得最大值, 由,解得A(5,4), 目標函數有最大值,為z=9. 故答案為:9. 例3.(2018北京卷)若x,y滿足x+1≤y≤2x,則2y﹣x的最小值是 ?。? 【答案】3 例4.(2018天津卷)設變量x,y滿足約束條件,則目標函數z=3x+5y的最大值為( ?。? A.6 B.19 C.21 D.45 【答案】C 例5.(2018浙江卷)若x,y滿足約束條件,則z=x+3y的最小值是 ,最大值是 ?。? 【答案】最小值-2,最大值8 例6.【2017課標II,理5】設,滿足約束條件,則的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】:繪制不等式組表示的可行域, 目標函數即:,其中表示斜率為的直線系與可行域有交點時直線的截距值, 數形結合可得目標函數在點 處取得最小值 ,故選A。 例7.(2017北京卷)若x,y滿足 則x + 2y的最大值為 (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 【答案】D 【解析】:如圖,畫出可行域, 表示斜率為的一組平行線,當過點時,目標函數取得最大值,故選D. 例8.(2017課標I)設x,y滿足約束條件,則的最小值為 . 【答案】 【解析】:不等式組表示的可行域如圖所示, 簡單線性規(guī)劃練習 一、選擇題 1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐標平面內表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應是( ) 【答案】C 【解析】: (x-2y+1)(x+y-3)≤0?或 畫圖可知選C. 2.在平面直角坐標系中,不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】A 3.在平面直角坐標系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是 ( ) A. B. C.2 D.2 【答案】B 【解析】:作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點O(0,0),B(-2,0)和A(1,)為頂點的三角形區(qū)域,如圖所示的陰影部分(含邊界),由圖知該平面區(qū)域的面積為2=,故選B. 4.若滿足條件的整點(x,y)恰有9個,其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點,則整數a的值為( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 【答案】 C 【解析】: 不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,當a=0時,平面區(qū)域內只有4個整點(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);當a=-1時,正好增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)共5個整點,故選C. 5.已知x,y滿足約束條件若z=ax+y的最大值為4,則a= ( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 6.若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間,則這兩條平行直線間的距離的最小值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】: 根據約束條件作出可行域如圖中陰影部分,當斜率為1的直線分別過A點和B點時滿足條件,聯(lián)立方程組 求得A(1,2),聯(lián)立方程組求得B(2,1),可求得分別過A,B點且斜率為1的兩條直線方程為x-y+1=0和x-y-1=0,由兩平行線間的距離公式得距離為=,故選B. 7.若變量x,y滿足約束條件則的最大值為 ( ) A.1 B.3 C. D.5 【答案】C 8.已知z=2x+y,其中實數x,y滿足且z的最大值是最小值的4倍,則a的值是 ( ) A. B. C.4 D. 【答案】B 【解析】: 作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖: 由z=2x+y得y=-2x+z, 平移直線y=-2x, 由圖可知當直線y=-2x+z經過點A時,直線的縱截距最大, 此時z最大, 9.若變量x,y滿足則x2+y2的最大值是 ( ) A.4 B.9 C.10 D.12 【答案】C 【解析】:作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.x2+y2表示平面區(qū)域內的點到原點距離的平方,由得A(3,-1),由圖易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故選C. 10.若x,y滿足,且z=3x-y的最大值為2,則實數m的值為 ( ) A. B. C.1 D.2 【答案】D 【解析】:若z=3x-y的最大值為2,則此時目標函數為y=3x-2,直線y=3x-2與3x-2y+2=0和x+y=1分別交于A(2,4),B,mx-y=0經過其中一點,所以m=2或m=,當m=時,經檢驗不符合題意,故m=2,選D. 11.某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行,A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數不超過21輛,且B型客車不多于A型客車7輛.則租金最少為 ( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 【答案】C 【解析】: 設旅行社租用A型客車x輛,B型客車y輛,租金為z元,則約束條件為目標函數為z=1 600x+2 400y. 12.設z=x+y,其中實數x,y滿足若z的最大值為12,則z的最小值為( ) A.-3 B.-6 C.3 D.6 【答案】B 【解析】:不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示: 由得A(k,k),易知目標函數z=x+y在點A處取最大值,則12=k+k,故k=6,所以B(-12,6),又目標函數z=x+y在點B處取最小值,∴z的最小值為-6,故選B. 二、填空題 13.若點(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面區(qū)域內,則m的取值范圍是________. 【答案】(1,+∞) 【解析】:∵點(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面區(qū)域內,∴2m+3-5>0,即m>1. 14.已知實數x,y滿足如果目標函數z=x-y的最小值為-1,則實數m=________. 【答案】5 15.已知實數x,y滿足則z=的取值范圍為________. 【答案】 【解析】:不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,z=表示點D(2,3)與平面區(qū)域內的點(x,y)之間連線的斜率.因點D(2,3)與B(8,1)連線的斜率為-且C的坐標為(2,-2), 故由圖知z=的取值范圍為 ] 16.若變量x,y滿足則2x+y的取值范圍為________. 【答案】[-2,2] 三、解答題 17.已知D是以點A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界與內部). (1)寫出表示區(qū)域D的不等式組; (2)設點B(-1,-6),C(-3,2)在直線4x-3y-a=0的異側,求a的取值范圍. 【答案】(1) (2) (-18,14) 故a的取值范圍是(-18,14). 18.若x,y滿足約束條件 (1)求目標函數z=x-y+的最值; (2)若目標函數z=ax+2y僅在點(1,0)處取得最小值,求a的取值范圍. 【答案】(1) 最大值為1,最小值為-2. (2) (-4,2). 【解析】: (1)作出可行域如圖,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0). 平移初始直線x-y+=0, 過A(3,4)取最小值-2, 過C(1,0)取最大值1, 所以z的最大值為1, 最小值為-2. (2)直線ax+2y=z僅在點(1,0)處取得最小值,由圖象可知-1<-<2, 解得-4- 配套講稿:
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