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簡諧運動的描述 (40分鐘　100分) 一、選擇題(本題共7小題，每小題8分，共56分) 1.一質點做簡諧振動，從平衡位置運動到最遠點需要14周期，則從平衡位置走過該距離的一半所需時間為 (　　) A.18周期 B.16周期 C.110周期 D.112周期 【解析】選D。由簡諧振動的表達式有12A=Asin2πTt，解得t=T12，D正確。 2.(2018安康高二檢測)如圖是光滑水平面上的一個彈簧振子。把振子由平衡位置O拉到右方位置B，再放開，它就沿著水平面在B、C之間不停地振動，振動周期是0.4 s。若在振子由C向B運動經O點時開始計時(t=0)，則t=0.55 s時 (　　) A.振子正在從B向O做加速度減小的加速運動 B.振子正在從O向B做加速度減小的減速運動 C.振子正在從B向O做加速度增大的加速運動 D.振子正在從O向B做加速度增大的減速運動 【解析】選A。振子在0.55 s時的振動情況和在0.15 s時的情況完全相同，在0.15 s時，振子介于14T～12T之間，由于由C向B運動經O點時開始計時，故此時振子正從B點向O點振動，振子的位移減小，彈簧的彈力減小，即加速度減小，加速度方向和速度方向相同，故做加速度減小的加速運動，A正確。 3.質點沿x軸做簡諧運動，平衡位置為坐標原點O。質點經過a點(xa=-5 cm)和b點(xb=5 cm)時速度相同，時間tab=0.2 s；質點從b點回到a點所用的最短時間tba=0.4 s；則該質點做簡諧運動的頻率為 (　　) A.1 Hz　　　　　　　 B.1.25 Hz C.2 Hz　　　 　 D.2.5 Hz 【解析】選B。由題意可知:a、b點在O點的兩側，相對于O點對稱，通過a、b點時速度大小相等、方向相同；質點由a到b所用時間tab=0.2 s，由b點回到a所用最短時間tba=0.4 s，表明質點經過b點后還要繼續(xù)向x軸的正方向運動，振幅大于5 cm；設質點做簡諧運動的四分之一周期為14T=12tab+12(tba-tab)，解得周期T=2[tab+(tba-tab)]=2[0.2 s+(0.4 s-0.2 s)]=0.8 s。頻率f=1T=10.8 Hz= 1.25 Hz。 4.(多選)一質點做簡諧運動，其位移x與時間t的關系曲線如圖所示，由圖可知 (　　) A.質點振動頻率是4 Hz B.t=2 s時，質點的加速度最大 C.質點的振幅為2 cm D.t=2 s時，質點的位移是2 cm 【解析】選B、C。由圖象知:質點的周期是4 s，頻率是14Hz，A錯；t=2 s時，質點的加速度最大，B對；由圖線知質點的振幅為2 cm，C對；t=2 s時，質點的位移是-2 cm，D錯。 5. (多選)一個質點做簡諧運動的圖象如圖所示，下列敘述中正確的是(　　) A.質點的振動頻率為4 Hz B.在10 s內質點經過的路程為20 cm C.在5 s末，質點做簡諧運動的相位為32π D.t=1.5 s和t=4.5 s兩時刻質點的位移大小相等，都是2 cm 【解析】選B、D。由振動圖象可直接得到周期T=4 s，頻率f=1T=0.25 Hz，故選項A錯誤；一個周期內做簡諧運動的質點經過的路程是4A=8 cm，10 s為2.5個周期，故質點經過的路程為20 cm，選項B正確；由圖象知位移與時間的關系式為x=Asin(ωt+φ0)=0.02sin(π2t) m，當t=5 s時，其相位ωt+φ0=π25=52π，故選項C錯誤；在1.5 s和4.5 s兩時刻，質點位移相同，與振幅的關系是x= Asin 135=22A=2 cm，故D正確。 6.(多選)(2018邢臺高二檢測)彈簧振子做簡諧運動，t1時刻速度為v，t2時刻也為v，而且方向相同。已知(t2-t1)小于周期T，則(t2-t1) (　　) A.可能大于四分之一周期 B.可能小于四分之一周期 C.一定小于二分之一周期 D.可能等于二分之一周期 【解析】選A、B。t1時刻速度為v，t2時刻也為v，且方向相同，則這兩位置關于平衡位置對稱。由于(t2-t1)小于周期T，當兩位置靠近最大位移處，且t1時刻速度方向指向平衡位置時，則有(t2-t1)大于四分之一周期，故A正確；當兩位置靠近平衡位置附近，且t1時刻速度方向指向平衡位置時，則有(t2-t1)小于四分之一周期，故B正確；當這位置靠近平衡位置附近，且t1時刻速度方向指向最大位置時，則有(t2-t1)大于二分之一周期，故C錯誤；當兩位置靠近平衡位置附近，且t1時刻速度方向指向最大位移處時，則有(t2-t1)大于二分之一周期，不可能等于二分之一周期，故D錯誤； 故選A、B。 7.(多選)(2018西安高二檢測)水平方向振動的彈簧振子做簡諧運動的周期為T，振幅為A，則下列說法正確的是 (　　) A.若在時間Δt=t2-t1內，彈簧的彈力對振子做的功為0，則Δt一定是T2的整數倍 B.若在時間Δt=t2-t1內，振子運動的位移為0，則Δt可能小于T2 C.若在時間Δt=t2-t1內，要使振子在t2時刻速度等于其在t1時刻的速度，則Δt一定是T的整數倍 D.若在時間Δt=t2-t1內，振子運動的路程為A，則Δt可能小于T4 【解析】選B、D。若在時間Δt=t2-t1內，彈簧的彈力對振子做的功為0，兩個時刻振子可能經過同一位置，也可能經過關于平衡位置對稱的位置，所以Δt不一定是T2的整數倍，故A錯誤。若在時間Δt=t2-t1內，振子運動的位移為0，兩個時刻振子經過同一位置，所以Δt可能小于T2，故B正確。若在時間Δt=t2-t1內，要使振子在t2時刻速度等于其在t1時刻速度，Δt可能是T的整數倍，也可能振子經過關于平衡位置對稱的位置，則Δt不是T的整數倍，故C錯誤。若在時間Δt=t2-t1內，振子運動的路程為A，則振子經過平衡位置時，Δt可能小于T4，故D正確。故選B、D。 【補償訓練】 (多選)(2015山東高考)如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡諧運動。以豎直向上為正方向，物塊簡諧運動的表達式為y=0.1sin(2.5πt) m。t=0時刻，一小球從距物塊h高處自由落下；t=0.6 s時，小球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度的大小g=10 m/s2。以下判斷正確的是 (　　) A.h=1.7 m B.簡諧運動的周期是0.8 s C.0.6 s內物塊運動的路程是0.2 m D.t=0.4 s時，物塊與小球運動方向相反 【解析】選A、B。t=0.6 s時，物塊的位移為y=0.1sin(2.5π0.6) m=-0.1 m；則對小球h+|y|=12gt2，解得h=1.7 m ，選項A正確；簡諧運動的周期是T=2πω= 2π2.5π s=0.8 s，選項B正確；0.6 s內物塊運動的路程是3A=0.3 m，選項C錯誤；t=0.4 s=T2，此時物塊在平衡位置向下振動，則此時物塊與小球運動方向相同，選項D錯誤。 二、非選擇題(14分) 8.如圖所示，一質點沿水平直線做簡諧運動，先后以相同速度通過a、b兩點，經歷時間tab=1 s，過b點后再經t′=1 s質點第一次反向通過b點。若在這兩秒內質點所通過的路程是8 cm，試求該質點的振動周期和振幅。 【解析】簡諧運動是以平衡位置為中心的對稱運動，因為通過a、b兩點時的速度相同，所以a、b連線的中點O必是振動的平衡位置。根據簡諧運動的對稱性，可知質點從b點返回a點所用的時間必與從a點到b點所用的時間相同，即tba=tab=1 s，質點從a點經左方極端位置d再返回a點所用的時間tada必與質點從b點經右方極端位置c再返回b點所用的時間tbcb相等，即tada=tbcb=t′=1 s。綜上所述，質點的振動周期為T=tab+tbcb+tba+tada=4 s。 由圖和簡諧運動的對稱性可知，質點在一個周期內通過的路程為s=2ab+2bc+2ad=2(ab+2bc)=28 cm=16 cm。 所以質點的振幅為A=s4=4 cm。 答案:4 s　4 cm 1.(15分)(1)某同學設計了一個測量物體質量的裝置，如圖所示，其中P是光滑水平面，A是質量為M的帶夾子的已知質量金屬塊，Q是待測質量的物體。已知該裝置的彈簧振子做簡諧運動的周期為T=2πmk ，其中m是振子的質量，k是與彈簧的勁度系數有關的常數。當只有A物體振動時，測得其振動周期為T1，將待測物體Q固定在A上后，測得振動周期為T2，則待測物體的質量為__________；如果這種裝置與天平都在太空站中使用，則__________。 A.這種裝置不能用來測質量，天平仍可以用來測質量 B.這種裝置仍可以用來測質量，天平不能用來測質量 C.這種裝置和天平都可以用來測質量 D.這種裝置和天平都不能用來測質量 (2)如圖所示，傾角為θ、光滑的斜面體固定在水平面上，底端有垂直斜面的擋板，勁度系數為k的輕質彈簧，下端拴接著質量為M的物體B，上端放著質量為m的物體P(P與彈簧不拴接)?，F沿斜面向下壓P一段距離釋放，它就沿斜面上下做簡諧運動，振動過程中，P始終沒有離開彈簧。試求: ①P振動的振幅的最大值。 ②P以最大振幅振動時，B對擋板的最大壓力。 【解析】(1)根據彈簧振子做簡諧運動的周期公式T=2πmk，得:m=kT24π2 由題得:M=kT124π2，M+mQ=kT224π2 解得待測物體Q的質量為mQ=T22-T12T12M 如果這種裝置與天平都在太空站中使用，由于裝置處于完全失重狀態(tài)，物體對支持面沒有壓力，所以天平不能用來測質量。 彈簧振子的周期不變，這種裝置仍可以用來測質量，故B正確。故選B。 (2)①P若做簡諧運動，則P位于平衡位置時，沿斜面方向受到的合外力等于0，而P沿斜面的方向上有重力的分力和彈簧的彈力，可知二者大小相等，方向相反，即:kΔx=mgsinθ 所以:Δx=mgsinθk 由題意，P向上到達最高點的位置時，彈簧的長度恰好等于原長，是P仍然能做簡諧運動的最高點，所以P的最大振幅:A=Δx=mgsinθk ②P以最大振幅振動時，由簡諧運動的特點可知，P到達最低點時，彈簧的壓縮量Δx′=2x。 以B為研究對象，則B受到重力、斜面的支持力、擋板的支持力和彈簧沿斜面向下的壓力，沿斜面的方向:Nmax=Mgsinθ+kΔx′ 聯立得:Nmax=Mgsinθ+2mgsinθ 答案:(1)T22-T12T12M　B (2)①mgsinθk　②Mgsinθ+2mgsinθ 2.(15分)(1)(多選)有兩個簡諧運動，其表達式分別是x1=4sin100πt+π3cm，x2=5sin100πt+π6cm，下列說法正確的是 (　　) A.它們的振幅相同　　　　　 B.它們的周期相同 C.它們的相位差恒定 D.它們的振動步調一致 E.它們的圓頻率相同 (2)彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，在t=0時刻，振子從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t=0.2 s時，振子速度第一次變?yōu)?v；在t=0.5 s時，振子速度第二次變?yōu)?v。 ①求彈簧振子振動周期T。 ②若B、C之間的距離為25 cm，求振子在4.0 s內通過的路程。 ③若B、C之間的距離為25 cm，從平衡位置計時，寫出彈簧振子的位移表達式，并畫出彈簧振子的振動圖象。 【解析】(1)選B、C、E。它們的振幅分別是4 cm、5 cm，故不同，選項A錯誤；ω都是100π rad/s，所以周期T=2πω都是150 s，選項B、E正確；由 Δφ=100πt+π3-100πt+π6=π6得相位差為π6恒定，選項C正確；Δφ≠0，即振動步調不一致，選項D錯誤。 (2)①彈簧振子簡諧運動的示意圖如圖甲所示。由對稱性可得:T=0.52 s= 1.0 s。 ②B、C間的距離為2個振幅，則振幅A=1225 cm=12.5 cm。振子4.0 s內通過的路程為:s=4412.5 cm=200 cm。 ③根據x=Asinωt，A=12.5 cm，ω=2πT=2π rad/s， 得x=12.5sin2πt (cm)。 振動圖象如圖乙所示。 答案:(1)B、C、E　(2)見解析