2018-2019版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應用 2.2.3 獨立重復試驗與二項分布學案 新人教A版選修2-3.doc
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2.2.3 獨立重復試驗與二項分布 學習目標 1.理解n次獨立重復試驗的模型.2.掌握二項分布公式.3.能利用獨立重復試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題． 知識點一 獨立重復試驗 思考1 要研究拋擲硬幣的規(guī)律，需做大量的擲硬幣試驗．其前提是什么？ 答案 條件相同． 思考2 試驗結果有哪些？ 答案 正面向上或反面向上，即事件發(fā)生或者不發(fā)生． 思考3 各次試驗的結果有無影響？ 答案 無，即各次試驗相互獨立． 梳理 (1)定義：在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗． (2)基本特征： ①每次試驗是在同樣條件下進行． ②每次試驗都只有兩種結果：發(fā)生與不發(fā)生． ③各次試驗之間相互獨立． ④每次試驗，某事件發(fā)生的概率都是一樣的． 知識點二 二項分布 在體育課上，某同學做投籃訓練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投籃命中這個事件，用Bk表示僅投中k次這個事件． 思考1 用Ai如何表示B1，并求P(B1)． 答案 B1＝(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3)， 因為P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8， 且A12 3，1A23，1 2A3兩兩互斥， 故P(B1)＝0.80.22＋0.80.22＋0.80.22 ＝30.80.22＝0.096. 思考2 試求P(B2)和P(B3)． 答案 P(B2)＝30.20.82＝0.384， P(B3)＝0.83＝0.512. 思考3 由以上問題的結果你能得出什么結論？ 答案 P(Bk)＝C0.8k0.23－k(k＝0,1,2,3)． 梳理 在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p， 則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率． 1．有放回地抽樣試驗是獨立重復試驗．( √ ) 2．在n次獨立重復試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響．( √ ) 3．在n次獨立重復試驗中，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同．( ) 4．如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.( √ ) 類型一 獨立重復試驗的概率 例1 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和，假設每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響．(結果需用分數(shù)作答) (1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標的概率； (2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次的概率． 考點 獨立重復試驗的計算 題點 n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率 解 (1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標”為事件A1，由題意，知射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝. (2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標”為事件B2，則P(A2)＝C2＝，P(B2)＝C1＝，由于甲、乙射擊相互獨立，故P(A2B2)＝＝. 引申探究 1．在本例(2)的條件下，求甲、乙均擊中目標1次的概率． 解 記“甲擊中目標1次”為事件A3，“乙擊中目標1次”為事件B3，則P(A3)＝C＝，P(B3)＝， 所以甲、乙均擊中目標1次的概率為P(A3B3)＝＝. 2．在本例(2)的條件下，求甲未擊中，乙擊中2次的概率． 解 記“甲未擊中目標”為事件A4，“乙擊中2次”為事件B4，則P(A4)＝C2＝，P(B4)＝C2＝，所以甲未擊中、乙擊中2次的概率為P(A4B4)＝＝. 反思與感悟 獨立重復試驗概率求法的三個步驟 (1)判斷：依據(jù)n次獨立重復試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復試驗． (2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆． (3)計算：就每個事件依據(jù)n次獨立重復試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算． 跟蹤訓練1 某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算(結果保留到小數(shù)點后面第2位)： (1)“5次預報中恰有2次準確”的概率； (2)“5次預報中至少有2次準確”的概率． 考點 獨立重復試驗的計算 題點 n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率 解 (1)記“預報一次準確”為事件A，則P(A)＝0.8， 5次預報相當于5次獨立重復試驗． “恰有2次準確”的概率為 P＝C0.820.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次預報中恰有2次準確的概率約為0.05. (2)“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”． 其概率為P＝C(0.2)5＋C0.80.24＝0.006 72. 所以所求概率為1－P＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次預報中至少有2次準確”的概率約為0.99. 類型二 二項分布 例2 已知某種從太空飛船中帶回來的植被種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所分兩個小組分別獨立開展該種子的發(fā)芽試驗，每次試驗種一粒種子，如果某次沒有發(fā)芽，則稱該次試驗是失敗的． (1)第一小組做了3次試驗，記該小組試驗成功的次數(shù)為X，求X的分布列； (2)第二小組進行試驗，到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有3次失敗的概率． 考點 二項分布的計算及應用 題點 求二項分布的分布列 解 (1)由題意，得隨機變量X可能取值為0,1,2,3， 則X～B. 即P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C3＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)第二小組第7次試驗成功，前面6次試驗中有3次失敗，3次成功，每次試驗又是相互獨立的， 因此所求概率為P＝C33＝. 反思與感悟 (1)當X服從二項分布時，應弄清X～B(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p. (2)解決二項分布問題的兩個關注點 ①對于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必須在滿足“獨立重復試驗”時才能應用，否則不能應用該公式． ②判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次． 跟蹤訓練2 某一中學生心理咨詢中心服務電話接通率為，某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心．且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)X的分布列． 考點 二項分布的計算及應用 題點 求二項分布的分布列 解 由題意可知X～B， 所以P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3， 即P(X＝0)＝C03＝； P(X＝1)＝C2＝； P(X＝2)＝C2＝； P(X＝3)＝C3＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 類型三 二項分布的綜合應用 例3 一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是. (1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列； (2)求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列； (3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率． 考點 二項分布的計算及應用 題點 二項分布的實際應用 解 (1)由ξ～B，則P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5. 即P(ξ＝0)＝C05＝； P(ξ＝1)＝C4＝； P(ξ＝2)＝C23＝； P(ξ＝3)＝C32＝； P(ξ＝4)＝C4＝； P(ξ＝5)＝C5＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的分布列為P(η＝k)＝P(前k個是綠燈，第k＋1個是紅燈)＝k，k＝0,1,2,3,4， 即P(η＝0)＝0＝； P(η＝1)＝＝； P(η＝2)＝2＝； P(η＝3)＝3＝； P(η＝4)＝4＝； P(η＝5)＝P(5個均為綠燈)＝5. 故η的分布列為 η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率為P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0) ＝1－5＝. 反思與感悟 對于概率問題的綜合題，首先，要準確地確定事件的性質，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別應用相加或相乘事件公式；最后，選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解． 跟蹤訓練3 一個口袋內有n(n>3)個大小相同的球，其中3個紅球和(n－3)個白球，已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p.若6p∈N，有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個球)，在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于，求p與n的值． 考點 二項分布的計算及應用 題點 二項分布的實際應用 解 由題設知，Cp2(1－p)2>. ∵p(1－p)>0， ∴不等式化為p(1－p)>， 解得
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