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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修一 3-1-1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 教案 一、 教學(xué)內(nèi)容解析 《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》是人教A版必修一第三章《函數(shù)的應(yīng)用》第一節(jié)的內(nèi)容.必修一共分為三章，第一章介紹了函數(shù)的概念及性質(zhì)，第二章引入了指、對(duì)、冪三種基本初等函數(shù).本章是函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，主要分為兩個(gè)層面：（1）數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部應(yīng)用，如方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，可以通過(guò)函數(shù)方程思想，及數(shù)形結(jié)合思想，獲得函數(shù)的零點(diǎn)的具體取值或零點(diǎn)所在的區(qū)間.零點(diǎn)存在性定理的引入，為一些超越方程的近似解提供了求解方案.（2）生活中的應(yīng)用.通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)問(wèn)題，使之前一、二章所學(xué)內(nèi)容與生活緊密聯(lián)系起來(lái)，感受數(shù)學(xué)在生活中的重要性. 本節(jié)課根據(jù)學(xué)生已經(jīng)掌握的函數(shù)的內(nèi)容，從初中二次方程與二次函數(shù)關(guān)系的具體學(xué)習(xí)，過(guò)渡到了高中一般方程與其相應(yīng)函數(shù)關(guān)系的抽象研究，得出了函數(shù)零點(diǎn)的概念.進(jìn)一步，通過(guò)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷，引入了零點(diǎn)存在性定理，是一節(jié)概念課.本節(jié)課不僅揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，并且以“函數(shù)與方程”為理論基礎(chǔ)，為“二分法求方程的近似解”做了鋪墊，起到了承前啟后的作用. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置 1．知識(shí)與技能：（1）理解函數(shù)零點(diǎn)的定義；（2）掌握零點(diǎn)存在區(qū)間的判斷方法. 2. 過(guò)程與方法：（1）由特殊的一元二次方程的根與相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系，推廣到一般方程與函數(shù)的 關(guān)系；（2）由特殊函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷推廣到一般情況；（3）由學(xué)生自主探究得到零點(diǎn)存在區(qū) 間的判斷方法. 3. 情感、態(tài)度、價(jià)值觀：（1）在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，體會(huì)函數(shù)方程思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（2）感 受學(xué)習(xí)、探索、發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣. 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成利用函數(shù)方程思想處理問(wèn)題的意識(shí). 教學(xué)難點(diǎn)：理解函數(shù)零點(diǎn)存在的判定條件. 三、學(xué)生學(xué)情分析： 通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解了函數(shù)的概念、性質(zhì)，以及一些基本初等函數(shù)的模型，可以熟練做出函數(shù)圖象，具備一定的看圖識(shí)圖能力，這為本節(jié)課提供了一定的知識(shí)基礎(chǔ).但是針對(duì)高一學(xué)生，他們的思維習(xí)慣、動(dòng)手作圖能力以及觀察、歸納、轉(zhuǎn)化等能力都還不強(qiáng)，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)上還是會(huì)遇到一些困難.尤其是在本節(jié)的難點(diǎn)：零點(diǎn)存在性定理的學(xué)習(xí)上，由于零點(diǎn)存在性定理是高等數(shù)學(xué)下放的一個(gè)內(nèi)容，它的證明需要用到《數(shù)學(xué)分析》中的連續(xù)函數(shù)的有關(guān)概念、區(qū)間套定理和局部保號(hào)定理，高中學(xué)生沒(méi)有這個(gè)知識(shí)基礎(chǔ)，因此高中學(xué)生學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)只能通過(guò)一些特殊函數(shù)去探究.在探究過(guò)程中要突破三個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)：一是在解決給定具體方程根的存在性問(wèn)題時(shí)，很難想到將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為借助對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)判斷.二是如何想得到：當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線時(shí)，連接兩個(gè)端點(diǎn)的曲線經(jīng)過(guò)軸（次數(shù)不限），即曲線與軸一定有公共點(diǎn)（個(gè)數(shù)不限），可以用來(lái)表示.三是對(duì)定理?xiàng)l件中圖象連續(xù)不斷以及對(duì)定理?xiàng)l件“充分而不必要性”的認(rèn)識(shí)都有一定的難度.為此，在教學(xué)中要從具體函數(shù)和幾何直觀入手，給學(xué)生搭建腳手架，讓學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象，同時(shí)利用反例促成對(duì)定理本質(zhì)的理解，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn). 所以在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，注重了從具體的、簡(jiǎn)單的知識(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐層推廣，自主探究，獲得了一般性的結(jié)論的過(guò)程. 四、教學(xué)策略分析 1.教學(xué)方法的選定 在教學(xué)中，這節(jié)課采用以導(dǎo)學(xué)案教學(xué)，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的教學(xué)方法.在教學(xué)手段上，充分利用 了多媒體及實(shí)物投影，發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，讓學(xué)生真正成為教學(xué)活動(dòng)的主體. 在零點(diǎn)概念的教學(xué)上，我充分利用了 “由特殊到一般”的教學(xué)方法，以具體的二次方程與相應(yīng)二 次函數(shù)的關(guān)系為載體，引出了函數(shù)與方程的關(guān)系，并將其進(jìn)行了推廣.而在零點(diǎn)存在性定理的教學(xué)中， 我主要采用了“啟發(fā)－探究－討論”的模式，找到問(wèn)題討論的切入點(diǎn)后，將學(xué)生分成小組充分進(jìn)行討 論，在思維上通過(guò)學(xué)生之間的質(zhì)疑，產(chǎn)生火花，進(jìn)而生成了定理的內(nèi)容.這樣的講解，自然且易于理 解. 2.突破重、難點(diǎn)的策略 對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)概念的引入，學(xué)生從解決熟悉的問(wèn)題的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，使新知識(shí)與原有知識(shí)形成聯(lián)系，為新知識(shí)提供“停靠點(diǎn)”.把函數(shù)零點(diǎn)的概念作為解決課堂探究問(wèn)題的過(guò)程性知識(shí)，可以讓學(xué)生的探究更自主，思維活動(dòng)更充分. 探究函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是本課的難點(diǎn).為突破這一難點(diǎn)，本節(jié)先利用例1（4）的變式引出定理的必要性，即不是所有的函數(shù)都可以直接求出零點(diǎn)，所以我們有必要掌握零點(diǎn)存在區(qū)間的判斷方法.而通過(guò)例1（4）的解決方法，由特殊到一般，過(guò)渡到對(duì)于一般的函數(shù)，，若在開(kāi)區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)，應(yīng)滿足什么條件？學(xué)生很容易找到切入點(diǎn)，即討論端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào).之后通過(guò)分組討論獲得定理，這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了定理的合理性.這樣的引入，會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)更加的自然，由此產(chǎn)生的討論，使定理的生成過(guò)程更加的水到渠成. 五、教學(xué)過(guò)程 教學(xué)活動(dòng) 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 一．創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題 以短版形式講述解方程的歷史，而后出示引例：這樣的超越方程的根應(yīng)如何求解？ 給出具體的三個(gè)一元二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)填表.提出問(wèn)題：方程的根與函數(shù)的圖象有什么聯(lián)系？通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確回答二者的關(guān)系. 繼續(xù)追問(wèn)：上述結(jié)論是否可以推廣到一般的一元二次方程與二次函數(shù)關(guān)系上？ 再次追問(wèn)：上述結(jié)論是否可以推廣到一般方程與函數(shù)的關(guān)系上？ 學(xué)生積極思考，認(rèn)真填表，利用實(shí)物投影分享結(jié)果.回答出方程的根與函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等. 學(xué)生思考，類比，歸納. 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史的了解增加民族自豪感，激發(fā)學(xué)生的求知欲. 體會(huì)方程的根與函數(shù)圖象的聯(lián)系，為零點(diǎn)概念的引出做好鋪墊. 由特殊到一般，感受零點(diǎn)產(chǎn)生的過(guò)程，使零點(diǎn)不再抽象，而是更加具體形象，便于零點(diǎn)概念的理解. 二、概念引入 1.總結(jié)零點(diǎn)概念，提問(wèn)：零點(diǎn)是點(diǎn)么？ 2.概括零點(diǎn)的意義 3.零點(diǎn)求法：（1）代數(shù)法 （2）幾何法 理解、歸納 三、概念應(yīng)用 給出4 個(gè)例題，其中前3個(gè)為代數(shù)解法，最后一個(gè)為幾何解法. 獨(dú)立完成，并于臺(tái)前展式.其中（4）題共有兩種求解思路. 通過(guò)例題的設(shè)置，加深零點(diǎn)求法，求解過(guò)程體現(xiàn)了函數(shù)方程思想及數(shù)形結(jié)合思想. 四、自主探究 提出問(wèn)題：函數(shù)的零點(diǎn)已直接求出，但是不是所有的函數(shù)零點(diǎn)都可以在不借助信息技術(shù)的條件下，準(zhǔn)確求出？ 追問(wèn)：的零點(diǎn)取值情況怎樣？ 學(xué)生思考、質(zhì)疑. 師生共同探究，發(fā)現(xiàn)不可直接獲得其零點(diǎn). 引導(dǎo)：像這樣的函數(shù)，我們不能直接獲得其零點(diǎn)，所以我們更加觀注其零點(diǎn)所在區(qū)間.例如在[－1，1]上是否存在零點(diǎn)，只從解析式出發(fā)，如何判斷？ 推廣：對(duì)于函數(shù)，，若在開(kāi)區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)，應(yīng)滿足什么條件？ 巡視指導(dǎo)，適時(shí)點(diǎn)撥 組織展示，評(píng)價(jià)追問(wèn) 學(xué)生思考，分析可利用的條件，計(jì)算出端點(diǎn)函數(shù)值，判斷其符號(hào)，結(jié)合圖象連續(xù)，得到圖象必穿過(guò)x軸的結(jié)論. 學(xué)生分小組討論： 探究1： （1） （2） （3） 探究2：在（2）的條件下，存在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)唯一么？怎樣可使零點(diǎn)唯一？零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少有幾個(gè)，最多有幾個(gè)？ 探究3：(2)的結(jié)論可逆么？ 各小組積極參與，并派代表到前面總結(jié)，在討論過(guò)程中，不斷的質(zhì)疑，產(chǎn)生思維的火花，使學(xué)生成為課堂的主體. 通過(guò)具體問(wèn)題的探究，為零點(diǎn)存在性定理討論的引出進(jìn)行了鋪墊. 由特殊到一般，學(xué)生很容易找到問(wèn)題討論的切入點(diǎn)：即利用端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行分類，使得問(wèn)題的引入更加自然. 通過(guò)以上學(xué)生們的討論，使得零點(diǎn)存在性定理的生成水到渠成. 五、定理應(yīng)用 例2 判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 變式：函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ B ） (A) (B) (C) (D) 學(xué)生積極思考，獨(dú)立完成，并利用實(shí)物投影講解答題過(guò)程. 六、反思總結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)探究過(guò)程，生成數(shù)學(xué)知識(shí)：一個(gè)概念、一種關(guān)系和一個(gè)定理.數(shù)學(xué)思想方法 反思探究過(guò)程中，歸納蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法 一、數(shù)學(xué)知識(shí)方面 1.函數(shù)零點(diǎn)的概念 （1）定義：對(duì)于函數(shù)，使方程的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)（zero point）. （2）方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn) 2.零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)就是的根. 二、數(shù)學(xué)思想方法方面 函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 反思核心任務(wù)的解決過(guò)程，歸納提升知識(shí)、方法.學(xué)生親身經(jīng)歷核心任務(wù)的解決過(guò)程，體驗(yàn)所蘊(yùn)含的思想方法，生成一個(gè)概念、一種關(guān)系和一個(gè)定理，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 一、函數(shù)零點(diǎn)的概念 1.定義 2.方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn) 3.零點(diǎn)的求法：代數(shù)法、幾何法 數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想 二、零點(diǎn)存在性定理 三、例題解析 例1（4） ……………………………………………………………………………… ……………………………………… 例2 ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… 六、板書(shū)設(shè)計(jì)