《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.3 全稱量詞與存在量詞 1.3.1 量詞講義(含解析)蘇教版選修2-1.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.3 全稱量詞與存在量詞 1.3.1 量詞講義(含解析)蘇教版選修2-1.doc(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1.3.1 量 詞
全稱量詞與全稱命題
觀察下列命題:
(1)對任意實數(shù)x,都有x>5.
(2)對任意一個x(x∈Z),3x+1是整數(shù).
問題:上述兩個命題各表示什么意思?
提示:(1)表示對每一個實數(shù)x,必定有x>5;
(2)對所有的整數(shù)x,3x+1必定是整數(shù).
全稱量詞和全稱命題
全稱量詞
所有、任意、每一個、任給
符號表示
?x表示“對任意x”
全稱命題
含有全稱量詞的命題
一般形式
?x∈M,p(x)
存在量詞和存在性命題
觀察下列語句:
(1)存在一個實數(shù)x,使3x+1=7.
(2)至少有一個x∈Z,使x能被3和4整除.
問題:上述兩個命題各表述什么意思?
提示:(1)表示有一個實數(shù)x,滿足3x+1=7;
(2)存在一個整數(shù)Z,滿足能被3和4整除.
存在量詞和存在性命題
存在量詞
有一個、有些、存在一個
符號表示
“?x”表示“存在x”
存在性命題
含有存在量詞的命題
一般形式
?x∈M,p(x)
1.判斷命題是全稱命題還是存在性命題,主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞,有些全稱命題雖然不含全稱量詞,但可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷.
2.要確定一個全稱命題是真命題,需保證該命題對所有的元素都成立;若能舉出一個反例說明命題不成立,則該全稱命題是假命題.
3.要確定一個存在性命題是真命題,舉出一個例子說明該命題成立即可;若經(jīng)過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立,則該存在性命題是假命題.
全稱命題、存在性命題的判斷
[例1] 判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題.
(1)若a>0且a≠1,則對任意x,ax>0;
(2)對任意實數(shù)x1,x2,若x1
sin x;
②?x∈R,3x>0;
③?x∈R,sin x+cos x=2;
④?x∈R,lg x=0.
其中為真命題的是________.(填入所有真命題的序號)
解析:①中,由于x∈,所以sin x>0,00,所以①是真命題;②中,函數(shù)y=3x,x∈R的值域是(0,+∞),所以②是真命題;③中,函數(shù)y=sin x+cos x= sin,x∈R的值域是[-,],又2?[-, ],所以③是假命題;④中,由于lg 1=0,所以④是真命題.
答案:①②④
5.判斷下列全稱命題的真假.
(1)所有的素數(shù)是奇數(shù);
(2)?x∈R,x2+1≥1;
(3)對每一個無理數(shù)x,x2也是無理數(shù).
解:(1)2是素數(shù),但不是奇數(shù).所以,全稱命題“所有的素數(shù)是奇數(shù)”是假命題.
(2)?x∈R?x2≥0?x2+1≥1.所以,全稱命題“?x∈R,x2+1≥1”是真命題.
(3)是無理數(shù),但()2=2是有理數(shù).所以,“對每一個無理數(shù)x,x2也是無理數(shù)”是假命題.
6.分別判斷下列存在性命題的真假:
(1)有些向量的坐標(biāo)等于其起點的坐標(biāo);
(2)存在x∈R,使sin x-cos x=2.
解:(1)真命題.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
=(x2-x1,y2-y1),由得
如A(1,3),B(2,6),=(x2-x1,y2-y1)=(1,3),滿足題意.
(2)假命題.由于sin x-cos x==sin的最大值為,所以不存在實數(shù)x,使sin x-cos x=2.
1.判定命題是全稱命題還是存在性命題,主要方法是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞;另外,有些全稱命題并不含有全稱量詞,這時我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷.
2.要判定全稱命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中每個元素x,證明p(x)成立;如果在集合M中找到一個元素x0,使得p(x0)不成立,那么這個全稱命題就是假命題.
3.要判定存在性命題“?x∈M,p(x)”是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個存在性命題是假命題.
[對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(五)]
1.下列命題:
①有的質(zhì)數(shù)是偶數(shù);
②與同一平面所成的角相等的兩條直線平行;
③有的三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列;
④與圓只有一個公共點的直線是圓的切線,
其中是全稱命題的是________,是存在性命題的是________.(只填序號)
解析:根據(jù)所含量詞可知②④是全稱命題,①③是存在性命題.
答案:②④?、佗?
2.下列命題中的假命題是________.
①?x∈R,2x-1>0;
②?x∈N*,(x-1)2>0;
③?x∈R,lg x<1;
④?x∈R,tan x=2.
解析:對②,x=1時,(1-1)2=0,∴②假.
答案:②
3.用符號“?”或“?”表示下面含有量詞的命題:
(1)實數(shù)的平方大于或等于0: ____________________________________________;
(2)存在一對實數(shù),使3x-2y+1≥0成立: _________________________________.
答案:(1)?x∈R,x2≥0
(2)?x∈R,y∈R,3x-2y+1≥0
4.命題“?x∈R+,2x+>a成立”是真命題,則a的取值范圍是________.
解析:∵x∈R+,∴2x+≥2,
∵命題為真,∴a<2.
答案:(-∞,2)
5.已知“?x∈R,ax2+2ax+1>0”為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:當(dāng)a=0時,不等式為1>0,
對?x∈R,1>0成立.
當(dāng)a≠0時,若?x∈R,ax2+2ax+1>0,
則解得00);
(2)對任意非零實數(shù)x1,x2,若x1<x2,則>;
(3)?α∈R,使得sin(α+)=sin α;
(4)?x∈R,使得x2+1=0.
解:(1)(2)是全稱命題,(3)(4)是存在性命題.
(1)∵zx>0(z>0)恒成立,
∴命題(1)是真命題.
(2)存在x1=-1,x2=1,x1<x2,但<,
∴命題(2)是假命題.
(3)當(dāng)α=時,sin(α+)=sin α成立,
∴命題(3)為真命題.
(4)對任意x∈R,x2+1>0,∴命題(4)是假命題.
7.判斷下列命題的真假,并說明理由.
(1)?x∈R,都有x2-x+1>;
(2)?α,β,使cos(α-β)=cos α-cos β;
(3)?x,y∈N,都有(x-y)∈N;
(4)?x,y∈Z,使x+y=3.
解:(1)法一:當(dāng)x∈R時,x2-x+1=2+≥>,所以該命題是真命題.
法二:x2-x+1>?x2-x+>0,由于Δ=1-4=-1<0,所以不等式x2-x+1>的解集是R,所以該命題是真命題.
(2)當(dāng)α=,β=時,cos(α-β)=cos=cos=cos =,cos α-cos β=cos -cos =-0=,此時cos (α-β)=cos α-cos β,所以該命題是真命題.
(3)當(dāng)x=2,y=4時,x-y=-2?N,所以該命題是假命題.
(4)當(dāng)x=0,y=3時,x+y=3,即?x,y∈Z,使x+y=3,所以該命題是真命題.
8.(1)對于任意實數(shù)x,不等式sin x+cos x>m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)存在實數(shù)x,不等式sin x+cos x>m有解,求實數(shù)m的取值范圍.
解:(1)令y=sin x+cos x,x∈R.
∵y=sin x+cos x=sin(x+)≥-.
又∵?x∈R,sin x+cos x>m恒成立.
∴只要m<-即可.
∴所求m的取值范圍是(-∞,-).
(1)令y=sin x+cos x,x∈R.
∵y=sin x+cos x=sin(x+)∈[-, ],
又∵?x∈R,sin x+cos x>m有解.
∴只要m<即可.
∴所求m的取值范圍是(-∞,).
鏈接地址:http://www.hcyjhs8.com/p-6169745.html