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2019-2020年高一數(shù)學必修4 3-2簡單的三角恒等變換 教案1 一、教學目標 重 點: 引導學生以三角函數(shù)的和（差）公式與倍角公式為依據(jù)，推導半角的正弦、余弦、正切公式以及積化和差、和差化積公式． 難 點：認識三角變換的特點，并能運用數(shù)學思想方法指導變換過程的設(shè)計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力． 知識點：半角的正弦、余弦、正切公式、積化和差與和差化積公式． 能力點：能運用二倍角的變形公式推導半角的正弦、余弦、正切公式，并能利用和與差的正弦、余弦公式推導出積化和差與和差化積公式，能利用公式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明．體會換元、化歸、方程等思想，提高學生的觀察能力、推理能力和運算能力． 教育點：讓學生親身經(jīng)歷公式的推導過程，了解半角公式與倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力和辯證唯物主義觀點；在探究和解決問題的過程中，培養(yǎng)學生細心觀察、勇于探索、互相合作的精神． 自主探究點：通過二倍角公式的變形，探究半角的正弦、余弦、正切公式，利用和與差的正弦、余弦公式探究推導積化和差與和差化積公式． 易錯易混點：三角函數(shù)值符號的判斷和三角變換的靈活應(yīng)用． 拓展點：通過三角變換改變函數(shù)式結(jié)構(gòu)求函數(shù)最值問題． 二、引入新課 知識回顧： 問題1：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式？ 問題2：二倍角的正弦、余弦、正切公式？ 【師生活動】教師展示課件、提出問題，學生思考默寫公式、并請學生板演公式．并明確本節(jié)將綜合運用和（差）角公式、倍角公式進行更加豐富的三角恒等變換． 【設(shè)計意圖】使學生對本節(jié)課所必備的基礎(chǔ)知識有一個清晰準確的認識，分散教學難點，更為學生自主探究鋪平道路．在開課之初就讓學生明確本節(jié)課所要研究的內(nèi)容，讓學生帶著問題去學習，引發(fā)學生探究新知識的欲望，并使得教學過程自然流暢. 三、探究新知 探究一： 試以表示． 問題1：與有什么樣的關(guān)系？由此可以聯(lián)想到我們學習過的哪個公式？ 是的二倍，由此可聯(lián)想到利用二倍角的余弦公式． 問題2：從之間的關(guān)系出發(fā)思考有怎樣的關(guān)系呢？如何建立這兩個三角式之間的關(guān)系？ 由， 得， 由，得． 因此 ． 【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學生反思、總結(jié)的習慣；通過動手操作讓學生進行獨立的探究學習，提高學生的邏輯推理能力． 另解：因為是的二倍角， 在倍角公式中，以，， 即得 所以 ； 在倍角公式中，以，， 即得 ，所以 ． 所以． 【設(shè)計意圖】引導學生理解角的倍、半間的關(guān)系，引導學生仔細體會，比較兩種方法的異同，找出其內(nèi)在的聯(lián)系，以達融會貫通，靈活運用之功效． 問題3：已知，如何求、、？ ；； 師生共同進行總結(jié)，公式中的“”號由所在象限決定． 【設(shè)計意圖】通過自主探究引入半角公式，符合認知規(guī)律，學生容易接受；通過公式探究重點培養(yǎng)學生觀察能力和靈活運用的能力，增強學生對三角公式的進一步理解． 問題4：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同呢？ 師生共同分析得出： (1)代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換； (2)對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當公式，這是三角式恒等變換的重要特點． 【設(shè)計意圖】引導學生對“所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類的差異”對三角變換的影響進行認識，從而使學生更好地把握三角恒等變換的特點．并為解決本節(jié)課的重難點問題作鋪墊，便于知識水到渠成的向前發(fā)展． 探究二：求證：（1）； （2）． 問題1：觀察（1）式，從哪端入手更容易變形？ 從右式出發(fā)容易變形，可以利用兩角和（差）的正弦公式展開． 問題2：(1)式在結(jié)構(gòu)上有什么特點？哪些公式中包含sinαcosβ、cosαsinβ呢？ ； ． 證明：因為； ． 兩式相加得：； 所以． 問題3：能否利用（1）式的結(jié)果證明（2）式呢？比較（1）、（2）兩式的結(jié)構(gòu)形式，思考它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 證明：由（1）可得 ． ① 設(shè)，則． 把的值代入①式，即得 ． 【設(shè)計意圖】通過設(shè)問，能更好的發(fā)揮本例的教育功能，把兩個三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點作為思考的出發(fā)點，并在建立它們之間的聯(lián)系進而消除不同點上下功夫，這樣不僅有利于深化對和（差）角公式的理解，而且還有利于本例的兩個小題的內(nèi)在聯(lián)系的認識． 問題4：如果不用（1）的結(jié)果，如何證明呢？ 從右端入手，由右往左證；利用兩角和的正弦公式和兩角差的余弦公式將 展開變形． 證明：右邊= 問題5：回顧證明過程，我們都用到了哪些數(shù)學思想？ （1）換元的思想．如把看作，看作，從而把包含α,β的三角函數(shù)式變換成的三角函數(shù)式． （2）方程的思想．把看作，看作，把等式看作，的方程，通過解方程求得． 【設(shè)計意圖】通過對和差化積和積化和差公式的探究證明，使學生感受三角式結(jié)構(gòu)上的同構(gòu)特點，以及角的三角函數(shù)與角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系．另外，通過角間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，體會數(shù)學上的對應(yīng)轉(zhuǎn)換、換元、方程等思想方法． 四、理解新知 1.半角公式與積化和差、和差化積公式不要求記憶，但要了解其推導過程，體會換元、化歸、方程等思想方法，需要用時可自行推導應(yīng)用． 2.體會角的構(gòu)造與變形在三角變換中的作用，逐步掌握構(gòu)造角的技巧；充分觀察角與角之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式，將所求角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知角的三角函數(shù)，使“目標角”變成“已知角”． 五、運用新知 例1求證： 證明：方法一： ， ． 方法二： ， ． 【設(shè)計意圖】通過練習題給出了的關(guān)系式，是對半角公式（例1結(jié)論）的進一步理解和延伸． 例2求證:． 證明:原式等價于. 左邊== 右邊. ∴ 變式訓練： 求證：． 證明：證法一： 證法二： 【設(shè)計意圖】通過此例題讓學生感知證明三角恒等式，一般要遵循由繁到簡的原則，另外化弦為切與化切為弦也是在三角的恒等變換中經(jīng)常使用的方法． 六、課堂小結(jié) 教師提問：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？留給你印象最深的是什么？（引導學生從知識點、思想方法兩方面進行總結(jié)） 學生總結(jié)：1．知識：半角公式、積化和差公式、和差化積公式、三角恒等變換． 2．方法：轉(zhuǎn)化、換元、方程等思想方法． 【設(shè)計意圖】讓學生通過小結(jié)，反思學習過程，提升對所學知識及數(shù)學思想方法的理解和應(yīng)用意識；提高學生的概括、歸納能力.同時學生在回顧、總結(jié)、反思的過程中，將知識條理化、系統(tǒng)化，使認知結(jié)構(gòu)更趨合理． 七、布置作業(yè) 必做題： 習題3.2 A組 1、（2）、（4）、（8）；2；B組1． 選做題：1. 若,在第二象限,則的值為( ) A. B. C. D. 2．已知，求的值． 3．已知，求證：． 答案：1．． 2．， 3. 證明：（方法一） ，． ， 又 （方法二）：， 且， , ， ， ． 【設(shè)計意圖】通過適量的課后作業(yè)，復習鞏固所學知識,也便于教師及時了解學生的掌握情況．書面作業(yè)的布置，設(shè)置了必做與選作兩組練習，可以使學生在完成基本學習任務(wù)的同時，又能得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都能獲得成功的喜悅，加強學習的自信心，從而激發(fā)學生的學習興趣．課外思考探究活動有利于進一步激勵學生學習的熱情，探究新知的欲望，使課堂教學得以延伸． 八、教后反思 1.在本節(jié)課的教學中，力求使學生通過自主探究，獨立思考，推導公式，總結(jié)規(guī)律，探究三角變換的常用方法，重點突出換元的思想、化歸的思想、方程的思想等．通過引導學生比較所證明的公式，找出異同點，加深記憶，通過總結(jié)證明公式的過程，不斷提高學生利用三角變換進行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明的能力． 2.教學中突出學生的主體地位，把學習的主動權(quán)還給學生.通過巧妙地設(shè)計問題，恰當?shù)恼Z言啟發(fā)引導學生自主探究，經(jīng)過小組討論、交流，概括得出結(jié)論，讓學生感受取得新知識的成就感. 3.這節(jié)課學生感覺都能聽懂但是在遇到實際題目的時候自己還是感覺無從下手，所以接下來要多做題加以鞏固． 九、板書設(shè)計 3.2簡單的三角變換（1） 一、半角公式 方法一： 方法二： 二、積化和差、和差化積公式 （1） （2） 復習回顧 學生默寫公式 例1 例2 課堂小結(jié)：