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2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第2講 常用邏輯知識 課題 常用邏輯知識（共 4 課） 修改與創(chuàng)新 課標(biāo)要 求 1．命題及其關(guān)系 ① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題； ② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系； 2．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 通過數(shù)學(xué)實例，了解"或"、"且"、"非"邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義。 3．全稱量詞與存在量詞 ① 通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義； ② 能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定。 命題走 向 本部分內(nèi)容主要是常用的邏輯用語，包括命題與量詞，基本邏輯聯(lián)結(jié)詞以及充分條件、必要條件與命題的四種形式。 預(yù)測xx年高考對本部分內(nèi)容的考查形式如下：考查的形式以選擇、填空題為主，考察的重點是條件和復(fù)合命題真值的判斷。 教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體 教學(xué)過程 要點精講: 1．命題 命題：可以判斷真假的語句叫命題； 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。 常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。 2．復(fù)合命題的真值 “非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注：1像上面表示命題真假的表叫真值表；2由真值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時為假，其他情況為真；3真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。 3．四種命題 如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題。 兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷一個命題的真假較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。 4．條件 一般地，如果已知pq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。 可分為四類：（1）充分不必要條件，即pq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qp；(3)既充分又必要條件，即pq，又有qp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。 一般地，如果既有pq，又有qp，就記作：pq.“”叫做等價符號。pq表示pq且qp。 這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。 5．全稱命題與特稱命題 這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。 短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。 典例解析： 1．(教材習(xí)題改編)下列命題是真命題的為(　　) A．若＝，則x＝y(tǒng)　　　　 B．若x2＝1，則x＝1 C．若x＝y(tǒng)，則＝ D．若xb”是“a2>b2”的充分條件； ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要條件； ③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要條件． 解析：①由2>－3?/ 22>(－3)2知，該命題為假；②由a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|知，該命題為真；③a>b?a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c?a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要條件為真命題． 答案：②③ 　　1.充分條件與必要條件的兩個特征 (1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條 件，即“p?q”?“q?p”； (2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分 (必要)條件，則p是r的充分(必要)條件． 注意區(qū)分“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分 不必要條件是q”兩者的不同，前者是“p?q”而后者是 “q?p”． 2．從逆否命題，談等價轉(zhuǎn)換 由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，因而， 當(dāng)判斷原命題的真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命 題的真假，這就是常說的“正難則反”． 四種命題的關(guān)系及真假判斷 典題導(dǎo)入 　下列命題中正確的是(　　) ①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題； ②“正多邊形都相似”的逆命題； ③“若m>0，則x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題； ④“若x－3是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題． A．①②③④　　　　　　 B．①③④ C．②③④ D．①④ ?、僦蟹衩}為“若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0”，正確；③中，Δ＝1＋4m，當(dāng)m>0時，Δ>0，原命題正確，故其逆否命題正確；②中逆命題不正確；④中原命題正確故逆否命題正確． 　B 由題悟法 在判斷四個命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系．要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應(yīng)的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時要進(jìn)行推理，判定命題為假命題時只需舉出反例即可．對涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手． 以題試法 1．以下關(guān)于命題的說法正確的有________(填寫所有正確命題的序號)． ①“若log2a>0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題； ②命題“若a＝0，則ab＝0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0”； ③命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆命題為真命題； ④命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”等價． 解析：對于①，若log2a>0＝log21，則a>1，所以函數(shù)f(x)＝logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，故①不正確；對于②，依據(jù)一個命題的否命題的定義可知，該說法正確；對于③，原命題的逆命題是“若x＋y是偶數(shù)，則x、y都是偶數(shù)”，是假命題，如1＋3＝4是偶數(shù)，但3和1均為奇數(shù)，故③不正確；對于④，不難看出，命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”是互為逆否命題，因此二者等價，所以④正確．綜上可知正確的說法有②④. 答案：②④ 充分必要條件的判定 典題導(dǎo)入 　(1)(xx福州質(zhì)檢)“x<2”是“x2－2x<0”的(　　) A．充分而不必要條件　　 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(xx北京高考)設(shè)a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 　(1)取x＝0，則x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得03. 1．(xx北京高考)若p是真命題，q是假命題，則(　　) A．p∧q是真命題　　　　　　 B．p∨q是假命題 C．綈p是真命題 D．綈q是真命題 答案：D　 2．(教材習(xí)題改編)下列命題中的假命題是(　　) A．?x0∈R，x0＋＝2 B．?x0∈R，sin x0＝－1 C．?x∈R，x2>0 D．?x∈R,2x>0 答案：C　 3．(xx湖南高考)命題“?x0∈?RQ，x∈Q”的否定是(　　) A．?x0??RQ，x∈Q B．?x0∈?RQ，x?Q C．?x??RQ，x3∈Q D．?x∈?RQ，x3?Q 解析：選D　其否定為?x∈?RQ，x3?Q. 4．(教材習(xí)題改編)命題p：有的三角形是等邊三角形．命題綈p：__________________. 答案：所有的三角形都不是等邊三角形 5．命題“?x0∈R,2x－3ax0＋9<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：?x0∈R,2x－3ax0＋9<0為假命題，則?x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2. 答案： 　　　1.邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系 “或、且、非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合運算中的 “并、交、補”，因此，常常借助集合的“并、交、補”的 意義來解答由“或、且、非”三個聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題． 2．正確區(qū)別命題的否定與否命題 “否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分 別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論； “命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結(jié)論． 命題的否定與原命題的真假總是對立的，即兩者中有且 只有一個為真，而原命題與否命題的真假無必然聯(lián)系． 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判定 典題導(dǎo)入 　(xx齊齊哈爾質(zhì)檢)已知命題p：?x0∈R，使tan x0＝1，命題q：x2－3x＋2<0的解集是{x|13x，B不正確；對于C，易知3x≠0，因此C正確；對于D，注意到lg 1＝0，因此D正確． 　B 由題悟法 1．全稱命題真假的判斷方法 (1)要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立； (2)要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可． 2．特稱命題真假的判斷方法 要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題． 以題試法 2．(xx湖南十二校聯(lián)考)下列命題中的真命題是(　　) A．?x0∈R，使得sin x0cos x0＝ B．?x0∈(－∞，0)，2x0>1 C．?x∈R，x2≥x－1 D．?x∈(0，π)，sin x>cos x 解析：選C　由sin xcos x＝，得sin 2x＝>1，故A錯誤；結(jié)合指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象，可知B，D錯誤；因為x2－x＋1＝2＋>0恒成立，所以C正確． 全稱命題與特稱命題的否定 典題導(dǎo)入 　(xx武漢適應(yīng)性訓(xùn)練)命題“所有不能被2整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是(　　) A．所有能被2整除的整數(shù)都是奇數(shù) B．所有不能被2整除的整數(shù)都不是奇數(shù) C．存在一個能被2整除的整數(shù)是奇數(shù) D．存在一個不能被2整除的整數(shù)不是奇數(shù) 　命題“所有不能被2整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是“存在一個不能被2整除的整數(shù)不是奇數(shù)”，選D. 若命題改為“存在一個能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)”，其否定為________． 答案：所有能被2整除的整數(shù)都不是奇數(shù) 由題悟法 1．弄清命題是全稱命題還是特稱命題是寫出命題否定的前提． 2．注意命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進(jìn)行否定． 3．要判斷“綈p”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷“p”的真假，p與綈p的真假相反． 4．常見詞語的否定形式有： 原語句 是 都是 > 至少有一個 至多有一個 對任意x∈A使p(x)真 否定形式 不是 不都是 ≤ 一個也沒有 至少有兩個 存在x0∈A使p(x0)假 以題試法 3．(xx遼寧高考)已知命題p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，則綈p是(　　) A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 解析：選C　命題p的否定為“?x1，x2∈R，(f(x2)－f( x1))(x2－x1)<0”． 學(xué)生對四種命題，邏輯聯(lián)接詞和全稱命題、特稱命題總體掌握情況還好，但對充分條件、必要條件，特別是判斷還存在一定困難。后期需要加強。 一元二次方程根的分布問題，選擇部分簡單的類型帶領(lǐng)學(xué)生利用圖像分析，提高學(xué)生利用圖像分析問題的能力。 需要用具體例子說明至少、至多的含義。 板書設(shè)計 常用邏輯知識 1．命題及其關(guān)系 兩個互為逆否命題的真假是相同的， 例1 即兩個互為逆否命題是等價命題. 例2 若判斷一個命題的真假較困難時， 例3 可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。 例4 2．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 "或"、"且"、"非" 3．全稱量詞與存在量詞 全稱命題的否定是特稱命題， 特稱命題的否定是全稱命題。 教學(xué)反思 學(xué)生對邏輯知識本身掌握情況較好，但涉及與其他知識結(jié)合的題目時，學(xué)生往往出現(xiàn)困難，困難的原因是學(xué)生對其他相關(guān)知識遺忘的較多。因此，復(fù)習(xí)本部分知識前，適當(dāng)復(fù)習(xí)回顧有關(guān)知識是必要的。