2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題28 立體幾何的向量方法 理.doc
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專題28 立體幾何的向量方法 一、考綱要求: 1.理解直線的方向向量與平面的法向量. 2.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系. 3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理(包括三垂線定理). 4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題,了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用. 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn): 1.利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵. 2.用向量證明垂直的方法 (1))線線垂直:證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零. (2))線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示. (3))面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎? 3.利用向量法求異面直線所成的角的步驟 (1))選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系. (2))求出兩直線的方向向量v1,v2. (3))代入公式|cos〈v1,v2〉|=求解. 4.求線面角方法: (1))線面角范圍,向量夾角范圍為[0,π]. (2))線面角θ的正弦值等于斜線對(duì)應(yīng)向量與平面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值.即sin θ=. 即斜向量,n為平面法向量. 例5.(2018天津卷)如圖,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2. (Ⅰ)若M為CF的中點(diǎn),N為EG的中點(diǎn),求證:MN∥平面CDE; (Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣F的正弦值; (Ⅲ)若點(diǎn)P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為60,求線段DP的長(zhǎng). 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ) (Ⅱ)解:依題意,可得,,. 設(shè)為平面BCE的法向量, 則,不妨令z=1,可得. 設(shè)為平面BCF的法向量, 則,不妨令z=1,可得. 因此有cos<>=,于是sin<>=. ∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值為; 例6.(2018浙江卷)如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120,A1A=4,C1C=l,AB=BC=B1B=2. (Ⅰ)證明:AB1⊥平面A1B1C1; (Ⅱ)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) 【解析】:(I)證明:∵A1A⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC, ∴AA1∥BB1, ∵AA1=4,BB1=2,AB=2, ∴A1B1==2, 又AB1==2,∴AA12=AB12+A1B12, ∴AB1⊥A1B1, 同理可得:AB1⊥B1C1, 又A1B1∩B1C1=B1, ∴AB1⊥平面A1B1C1. 設(shè)平面ABB1的法向量為=(x,y,z),則, ∴,令y=1可得=(﹣,1,0), ∴cos<>===. 設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為θ,則sinθ=|cos<>|=. ∴直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值為. 例7.(2018上海卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,半徑為2. (1)設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為4,求圓錐的體積; (2)設(shè)PO=4,OA、OB是底面半徑,且∠AOB=90,M為線段AB的中點(diǎn),如圖.求異面直線PM與OB所成的角的大?。? 【答案】(1);(2)arccos 【解析】:(1)∵圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,半徑為2,圓錐的母線長(zhǎng)為4, ∴圓錐的體積V== =. 設(shè)異面直線PM與OB所成的角為θ, 則cosθ===. ∴θ=arccos. ∴異面直線PM與OB所成的角的為arccos. 立體幾何向量方法 一、選擇題 1.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則 ( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l與α相交 【答案】B 【解析】: ∵n=-2a, ∴a與平面α的法向量平行,∴l(xiāng)⊥α. 18.如圖所示,四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=,E為PD上一點(diǎn),PE=2ED. (1)求證:PA⊥平面ABCD; (2)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使得BF∥平面AEC?若存在,指出F點(diǎn)的位置,并證明;若不存在,說(shuō)明理由. 【答案】見解析 則n=(-1,1,-2). 假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F,且=λ(0≤λ≤1), 使得BF∥平面AEC,則n=0. 又∵=+=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ), ∴n=λ+1-λ-2λ=0,∴λ=, ∴存在點(diǎn)F,使得BF∥平面AEC,且F為PC的中點(diǎn). 19.如圖,在四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120,AB=AA1=2A1B1=2. (1)若M為CD的中點(diǎn),求證:AM⊥平面AA1B1B; (2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值. 【答案】(1)見解析;(2) 【解析】: (1)證明:∵四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120,連接AC,則△ACD為等邊三角形, 又∵M(jìn)為CD的中點(diǎn),∴AM⊥CD, 由CD∥AB得AM⊥AB. ∵AA1⊥底面ABCD,AM?底面ABCD, ∴AM⊥AA1,又∵AB∩AA1=A, ∴AM⊥平面AA1B1B. 設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z), 則有? 令x=1,則n=(1,,1). ∴直線DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值 sin θ=|cos〈n,1〉|==. 20.如圖,四棱錐PABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F(xiàn),H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn). 求證:(1)PB∥平面EFH; (2)PD⊥平面AHF. 【答案】見解析 【解析】:[證明] 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. (2)∵=(0,2,-2),=(1,0,0),=(0,1,1), ∴=00+21+(-2)1=0, =01+20+(-2)0=0, ∴PD⊥AF,PD⊥AH. 又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面AHF. 21.如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120. (1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值; (2)求二面角BA1DA的正弦值. 【答案】(1) ;(2) (1)=(,-1,-),=(,1,), 則cos〈,〉= ==-, 因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為. (2)解:平面A1DA的一個(gè)法向量為=(,0,0). 設(shè)m=(x,y,z)為平面BA1D的一個(gè)法向量, 又=(,-1,-),=(-,3,0), 則 即 因此二面角BA1DA的正弦值為. 22.如圖,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90,E是PD的中點(diǎn). (1)證明:直線CE∥平面PAB; (2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角MABD的余弦值. 【答案】(1)見解析;(2) 【解析】: (1)證明:取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF. 因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EF∥AD,EF=AD. 由∠BAD=∠ABC=90得BC∥AD, 又BC=AD,所以EFBC, 四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF. 又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥平面PAB. (2)解:由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,||為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0). 從而=. 設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則 即 所以可取m=(0,-,2). 于是cos〈m,n〉==. 因此二面角MABD的余弦值為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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