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2019-2020年新人教B版高中數(shù)學(xué)（必修5）2.1.1《數(shù)列學(xué)案》word教案 課程要求 了解數(shù)列的概念，體會數(shù)列是一種特殊函數(shù)，能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式. 類比函數(shù)理解數(shù)列的幾種表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式等），能根據(jù)項(xiàng)數(shù)多少、數(shù)列的性質(zhì)對數(shù)列分類. 了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.掌握根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前項(xiàng)的技巧.會利用一些簡單的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng). 基本概念 1． 叫做數(shù)列， 叫做這個數(shù)列的項(xiàng). 2． 就叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3．?dāng)?shù)列可用圖象來表示，在直角坐標(biāo)系中，以 來表示一個數(shù)列，圖象是一些 ，它們位于 . 4．根椐數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以把數(shù)列分為 和 .根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)的大小關(guān)系可以把數(shù)列分為 、 、 和 . 5． 那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式. 6．若數(shù)列的前項(xiàng)和記為，即則 概念深化 1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的函數(shù)的表達(dá)式； 2．如果知道了數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么依次用去替代公式中的就可以求出這個數(shù)列的各項(xiàng)；同時，用數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以判斷某數(shù)是否是某數(shù)列中的一項(xiàng)，如果是的話，是第幾項(xiàng)； 3．像所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式. 如的不足近似值，精確到所構(gòu)成的數(shù)列就沒有通項(xiàng)公式. 4．有的數(shù)列的通項(xiàng)公式，在形式上不一定是唯一的，例如數(shù)列： 它可以寫成也可以寫成 還可以寫成等.這些通項(xiàng)公式，形式上雖然不同，但都表示同一個數(shù)列. 5．有些數(shù)列，只給出它的前幾項(xiàng)，并沒有給出它的構(gòu)成規(guī)律，那么僅由前面幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列通項(xiàng)公式并不唯一. 典例精析 題型一 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 例1 寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式： (1)；（2）； （3）；（4） 命題意圖：尋求規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式. 方法提升： 用觀察歸納法寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律，觀察、分析問題的特點(diǎn)是最重要的，觀察要有目的，要能觀察出特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系、規(guī)律.這類問題就是要觀察各項(xiàng)與對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間的聯(lián)系，利用我們熟知的一些基本數(shù)列（如自然數(shù)數(shù)列、奇偶數(shù)列、自然數(shù)列的前項(xiàng)和數(shù)列、自然數(shù)的平方數(shù)列、簡單的指數(shù)數(shù)列……），建立合理的聯(lián)想，轉(zhuǎn)換而達(dá)到問題的解決. 一題一練 分別寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，數(shù)列的前4項(xiàng)已給出. （1）（2） （3）（4） 題型二 數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用 例2 已知有窮數(shù)列 （1）指出這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式； （2）判定0.98是不是這個數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？ 命題意圖：考察對通項(xiàng)公式的理解及應(yīng)用 方法提升 (1)本題中極容易錯誤地認(rèn)為是數(shù)列的通項(xiàng)公式，為避免這樣的錯誤，可驗(yàn)證你所寫通項(xiàng)公式是否適合數(shù)列的前幾項(xiàng). （2）要判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，可由通項(xiàng)等于這數(shù)解出，根據(jù)是否為正整數(shù)便可確寫這個數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)，也就是說，判定某一數(shù)是否是數(shù)列中的某一項(xiàng)，其實(shí)質(zhì)就是看方程是否有正整數(shù)解. 一題一練 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，且 （1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷是否為此數(shù)列的某一項(xiàng). 題型三 已知求 例3 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （1）（2） 命題意圖 本題為通過求，因?yàn)?，所以與有關(guān)系 可求得 解 (1)由 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時也適合 所以 （2）由當(dāng)時， 當(dāng)時， 方法提升 由求時，當(dāng)不符合表達(dá)式時，通項(xiàng)公式要分段表示. 即的形式. 一題一練 （1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列通項(xiàng)公式； (2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列通項(xiàng)公式 題型四 數(shù)列的遞推公式 例4 已知數(shù)列分別滿足下列條件，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式. (1) (2) 命題意圖 此數(shù)列是用遞推公式給出的，已知就可遞推出依此類推，可求出它的任一項(xiàng).再根據(jù)前5項(xiàng)歸納猜想的一個通項(xiàng)公式. 方法提升 由遞推公式，求出數(shù)列前5項(xiàng)，再歸納出通項(xiàng)公式，猜想不一定正確，還需嚴(yán)格證明(今后學(xué)到)，也可以直接求出. 鞏固練習(xí) 一、選擇題 1.下列說法不正確的是 ( ) A. 數(shù)列可以用圖像來表示 B. 數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一 C. 數(shù)列的項(xiàng)不能相等 D. 數(shù)列可以用一群狐立的點(diǎn)表示 2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，下列各數(shù)中，不是的項(xiàng)的是( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. 3 3.設(shè)數(shù)列則是這個數(shù)列的 ( ) A. 第六項(xiàng) B. 第七項(xiàng) C. 第八項(xiàng) D. 第九項(xiàng) 4.無窮數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ( ) A. B. C. D. 5.數(shù)列，其中，那么這個數(shù)列的第五項(xiàng)為（ ） A. 6 B. -3 C. -12 D. -6 二、填空題 6.數(shù)列中，，則 . 7.在數(shù)列中，的值 . 8.已知數(shù)列通項(xiàng)公式，則: (1)這個數(shù)列的第四項(xiàng)是 ；(2)65是這個數(shù)列的第 項(xiàng)； (3)這個數(shù)列從第 項(xiàng)起各項(xiàng)為正數(shù). 三、解答題 9.寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式 (1)(2)(3) (4) 10.在數(shù)列中，通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)的一次函數(shù). (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)88是否是數(shù)列中的項(xiàng). 11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和. (1)求的通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)為何值時， 達(dá)到最大?最大值是多少? 12.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 鎖定高考 已知數(shù)列的前幾項(xiàng)和，則其通項(xiàng) ；若它的第項(xiàng)滿足，則= .