2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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2.1 曲線與方程 2.1.1 曲線與方程 2.1.2 求曲線的方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念．(重點(diǎn))3.通過(guò)具體的實(shí)例掌握求曲線方程的一般步驟，會(huì)求曲線的方程．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．曲線的方程與方程的曲線 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解； (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 思考：(1)如果曲線與方程僅滿(mǎn)足“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”，會(huì)出現(xiàn)什么情況？舉例說(shuō)明． (2)如果曲線C的方程是f(x，y)＝0，那么點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是什么？ [提示] (1)會(huì)出現(xiàn)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程的情況，如方程y＝表示的曲線是半圓，而非整圓． (2)充要條件是f(x0，y0)＝0. 2．求曲線方程的步驟 [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程f(x，y)＝0的解，則點(diǎn)P在方程f(x，y)＝0的曲線上．( ) (2)單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程x2＋y2＝1的解．( ) (3)方程y＝與方程y＝(x>0)是同一條曲線的方程．( ) [答案] (1)√ (2) (3) 2．已知直線l：x＋y－3＝0及曲線C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，則點(diǎn)M(2,1)( ) A．在直線l上，但不在曲線C上 B．在直線l上，也在曲線C上 C．不在直線l上，也不在曲線C上 D．不在直線l上，但在曲線C上 B [將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線l，曲線C的方程知點(diǎn)M在直線l上，也在曲線C上．] 3．到兩坐標(biāo)軸距離之和為4的點(diǎn)M的軌跡方程為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342051】 A．x＋y＝4 B．x－y＝4 C．|x＋y|＝4 D．|x|＋|y|＝4 D [點(diǎn)M(x，y)到兩坐標(biāo)軸的距離分別為|x|和|y|，故選D.] [合 作 探 究攻 重 難] 曲線與方程的概念 (1)命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，下列命題中正確的是 ( ) A．方程f(x，y)＝0的曲線是C B．方程f(x，y)＝0的曲線不一定是C C．f(x，y)＝0是曲線C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上 (2)分析下列曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系： ①過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|＝2之間的關(guān)系； ②到兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)與方程xy＝5之間的關(guān)系； ③第二、四象限角平分線上的點(diǎn)與方程x＋y＝0之間的關(guān)系． [解析] (1)根據(jù)方程的曲線和曲線的方程的定義知A、C、D錯(cuò)． [答案] (1)B (2)①過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不一定都在過(guò)點(diǎn)A(2,0)且平行于y軸的直線上．因此|x|＝2不是過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線的方程． ②到兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿(mǎn)足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的距離之積一定等于5.因此到兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是xy＝5. ③第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第二、四象限角平分線上．因此第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是x＋y＝0. [規(guī)律方法] 1.解決“曲線”與“方程”的判定這類(lèi)問(wèn)題(即判定方程是否是曲線的方程或判定曲線是否是方程的曲線)，只要一一檢驗(yàn)定義中的兩個(gè)條件是否都滿(mǎn)足，并作出相應(yīng)的回答即可． 2．判斷點(diǎn)是否在曲線上，就是判斷點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合曲線的方程． [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)已知坐標(biāo)滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342052】 A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程f(x，y)＝0 B．凡坐標(biāo)不適合f(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線C上 C．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合f(x，y)＝0 D．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0 C [根據(jù)曲線的方程的定義知，選C．] (2)已知方程x2＋(y－1)2＝10. ①判斷點(diǎn)P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲線上； ②若點(diǎn)M在此方程表示的曲線上，求實(shí)數(shù)m的值． [解]?、僖?yàn)?2＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10， 所以點(diǎn)P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，點(diǎn)Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上． ②因?yàn)辄c(diǎn)M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上， 所以x＝，y＝－m適合方程x2＋(y－1)2＝10， 即＋(－m－1)2＝10. 解得m＝2或m＝－. 故實(shí)數(shù)m的值為2或－. 用直接法(定義法)求曲線方程 [探究問(wèn)題] 1．求曲線方程為什么要首先“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”？如何建系？ 提示：只有建立了平面直角坐標(biāo)系，才能用坐標(biāo)表示點(diǎn)，才能把曲線看成滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡．建立坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，如中心對(duì)稱(chēng)圖形，可利用對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)建系；軸對(duì)稱(chēng)圖形以對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建系；條件中有直角，可將兩直角邊作為坐標(biāo)軸建系等． 2．在求出曲線方程后，為什么要說(shuō)明化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上？ 提示：根據(jù)條件求出的方程，只滿(mǎn)足“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，而沒(méi)說(shuō)明“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”，故應(yīng)說(shuō)明． 在Rt△ABC中，斜邊長(zhǎng)是定長(zhǎng)2a(a＞0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342053】 [思路探究] 以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系， 法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解． 法二(定義法)：頂點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上． [解] 法一(直接法)：取AB邊所在的直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 過(guò)O與AB垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系， 則A(－a,0)，B(a,0)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C為(x，y)． 由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以()2＋()2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2. 由于當(dāng)x＝a時(shí)，點(diǎn)C與A或B重合，故x≠a. 所以所求的點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2＝a2(x≠a)． 法二(定義法)：建立平面直角坐標(biāo)系同法一 因?yàn)锳C⊥BC，則頂點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓(除去A，B兩點(diǎn))，因此頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2＝a2(x≠a) 母題探究：1.(變條件)若本例題改為“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線x＝8的距離是它到點(diǎn)A(2,0)的距離的2倍．求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．如何求解？” [解] 設(shè)P(x，y)，則|8－x|＝2|PA|. 則|8－x|＝2， 化簡(jiǎn)，得3x2＋4y2＝48， 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為3x2＋4y2＝48. 2．(變條件)若本例題改為“已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，過(guò)原點(diǎn)O作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程．”如何求解？ [解] 如圖，設(shè)OQ為過(guò)O點(diǎn)的一條弦，P(x，y)為其中點(diǎn)，則CP⊥OQ，設(shè)M為OC的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為. ∵∠OPC＝90， ∴動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)M為圓心，OC為直徑的圓上， 由圓的方程得2＋y2＝(0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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