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課時(shí)分層作業(yè)(十三)　三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．如圖166，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離s(cm)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin，那么單擺擺動(dòng)一個(gè)周期所需的時(shí)間為 (　　) 圖166 A．2π s　　 B．π s C．0.5 s D．1 s D　[依題意是求函數(shù)s＝6sin的周期，T＝＝1，故選D.] 2．函數(shù)f(x)的部分圖象如圖167所示，則下列選項(xiàng)正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352132】 圖167 A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝ C．f(x)＝xcos x D．f(x)＝x C　[觀察圖象知函數(shù)為奇函數(shù)，排除D項(xiàng)；又函數(shù)在x＝0處有意義，排除B項(xiàng)；取x＝，f＝0，A項(xiàng)不合適，故選C.] 3．下表是某市近30年來月平均氣溫(℃)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均 溫度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4 則適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)模型是(　　) A．y＝acos B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0) C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acos－3 C　[當(dāng)x＝1時(shí)圖象處于最低點(diǎn)，且易知a＝＞0.故選C.] 4．如圖168，為一半徑為3 m的水輪，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪自點(diǎn)A開始1 min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y(m)與時(shí)間x(s)滿足函數(shù)關(guān)系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352133】 圖168 A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 A　[由題目可知最大值為5，∴5＝A1＋2?A＝3. T＝15，則ω＝.故選A.] 5．如圖169是函數(shù)y＝sin x(0≤x≤π)的圖象，A(x，y)是圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交其圖象于另一點(diǎn)B(A，B可重合)．設(shè)線段AB的長為f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象是(　　) 圖169 A　[當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝π－2x；當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝2x－π，故選A.] 二、填空題 6．某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28 ℃，12月份的月平均氣溫最低，為18 ℃，則10月份的平均氣溫值為_______℃. 【導(dǎo)學(xué)號：84352134】 20．5　[由題意可知A＝＝5，a＝＝23.從而y＝5cos＋23.故10月份的平均氣溫值為y＝5cos＋23＝20.5.] 7．如圖1610是彈簧振子做簡諧振動(dòng)的圖象，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振動(dòng)的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是________． 圖1610 y＝2sin　[由題圖可設(shè)y＝Asin(ωt＋φ)，則A＝2， 又T＝2(0.5－0.1)＝0.8， 所以ω＝＝π， 所以y＝2sin， 將點(diǎn)(0.1,2)代入y＝2sin中， 得sin＝1， 所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z， 即φ＝2kπ＋，k∈Z， 令k＝0，得φ＝， 所以y＝2sin.] 8．一種波的波形為函數(shù)y＝－sinx的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是________． 7　[函數(shù)y＝－sinx的周期T＝4.且x＝3時(shí)y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整數(shù)t的最小值是7.] 三、解答題 9．已知某地一天從4時(shí)到16時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝10sin＋20，x∈[4,16]． (1)求該地區(qū)這一段時(shí)間內(nèi)溫度的最大溫差； (2)若有一種細(xì)菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存，那么在這段時(shí)間內(nèi)，該細(xì)菌能生存多長時(shí)間？ 【導(dǎo)學(xué)號：84352135】 [解]　(1)由函數(shù)易知，當(dāng)x＝14時(shí)函數(shù)取最大值，即最高溫度為30 ℃；當(dāng)x＝6時(shí)函數(shù)取最小值，即最低溫度為10 ℃.所以，最大溫差為30 ℃－10 ℃＝20 ℃. (2)令10sin＋20＝15， 可得sin＝－. 而x∈[4,16]，所以x＝. 令10sin＋20＝25， 可得sin＝，而x∈[4,16]， 所以x＝.故該細(xì)菌的存活時(shí)間為－＝小時(shí)． 10．如圖1611所示，摩天輪的半徑為40 m，O點(diǎn)距地面的高度為50 m，摩天輪作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每2 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn)． 圖1611 (1)試確定在時(shí)刻tmin時(shí)P點(diǎn)距離地面的高度； (2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，有多長時(shí)間P點(diǎn)距離地面超過70 m. 【導(dǎo)學(xué)號：84352136】 [解]　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 (1)設(shè)φ(0≤φ≤2π)是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角，OP在tmin內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為t，即πt∴以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為(πt＋φ)，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為40sin(πt＋φ)， ∴P點(diǎn)距地面的高度為z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)， 由題可知，φ＝，∴z＝50＋40sin＝50＋40cosπt. (2)當(dāng)50＋40cosπt≥70時(shí)，解之得，2k－≤t≤2k＋，持續(xù)時(shí)間為min. 即在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，有minP點(diǎn)距離地面超過70 m. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．車流量被定義為單位時(shí)間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù)，單位為輛/分，上班高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)給出，F(xiàn)(t)的單位是輛/分，t的單位是分，則下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)車流量是增加的(　　) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] C　[當(dāng)10≤t≤15時(shí)，有π<5≤≤<π，此時(shí)F(t)＝50＋4sin是增函數(shù)，即車流量在增加．故應(yīng)選C.] 2．如圖1612，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是(　　) 圖1612 A　　　　B　　　　C　　　　D C　[令A(yù)P所對圓心角為θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin， 即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的圖象為C.] 3．國際油價(jià)在某一時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)正弦波動(dòng)規(guī)律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，現(xiàn)采集到下列信息：最高油價(jià)80美元，當(dāng)t＝150(天)時(shí)達(dá)到最低油價(jià)，則ω的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：84352137】 　[因?yàn)锳sin＋60＝80， sin≤1， 所以A＝20，當(dāng)t＝150(天)時(shí)達(dá)到最低油價(jià)， 即sin＝－1， 此時(shí)150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z， 因?yàn)棣兀?，所以當(dāng)k＝1時(shí)，ω取最小值， 所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.] 4．已知角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1，－1)，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象上的任意兩點(diǎn)，若|f(x1)－f(x2)|＝2時(shí)，|x1－x2|的最小值為，則f＝________. －　[由條件|f(x1)－f(x2)|＝2時(shí)，|x1－x2|的最小值為，結(jié)合圖象(略)可知函數(shù)f(x)的最小正周期為，則由T＝＝，得ω＝3.又因?yàn)榻铅盏慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，則f(x)＝sin，于是f＝sin＝－.] 5．心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80 mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時(shí)間(min)，試回答下列問題： (1)求函數(shù)p(t)的周期； (2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)； (3)畫出函數(shù)p(t)的草圖； (4)求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：84352138】 [解]　(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函數(shù)p(t)的周期為 min. (2)每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率f＝＝80(次)． (3)列表： t 0 p(t) 115 140 115 90 115 描點(diǎn)、連線并向左右擴(kuò)展得到函數(shù)p(t)的簡圖如圖所示： (4)由圖可知此人的收縮壓為140 mmHg，舒張壓為90 mmHg.