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2019-2020年蘇教版選修2-3高中數(shù)學(xué)3.1《空間向量及其運(yùn)算》word學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．理解直線的方向向量和平面的法向量； 2．會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量。 教學(xué)重點(diǎn)：直線的方向向量和平面的法向量 教學(xué)難點(diǎn)：求平面的法向量 二、課前自學(xué) 平面坐標(biāo)系中用直線的傾斜角、斜率來刻畫直線平行與垂直的位置關(guān)系。如何用向量來描述空間的兩條直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系？ 1、直線的方向向量 我們把直線上的向量（）以及與共線的非零向量叫做直線的方向向量. 2、平面的法向量 如果表示非零向量的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱向量垂直于平面α，記作，此時(shí)，我們把向量叫做平面α的法向量。 三、問題探究 例1．在正方體中，求證：是平面的法向量。 變式：求平面的一個(gè)法向量。 例2．如圖所示，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，SA=SC=4,平面平面，分別是的中點(diǎn)。 （1）求平面的一個(gè)法向量； （2）求證：； （3）求平面的一個(gè)法向量. 例3．在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn)，平面的法向量為，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求滿足的關(guān)系式。 四、反饋小結(jié) 課本P101 練習(xí)1,2,4 1、直線的方向向量與平面法向量的概念； 2、求平面法向量的方法。 3.2.2空間線面關(guān)系的判定（1） 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．能用向量語言描述線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系； 2．能用向量方法證明空間線面位置關(guān)系的一些定理； 3．能用向量方法判斷空間線面垂直關(guān)系。 重點(diǎn)、難點(diǎn)：用向量方法判斷空間線面垂直關(guān)系 二、課前自學(xué) 1、復(fù)習(xí)回顧：（1）空間直線與平面平行與垂直的定義及判定； （2）直線的方向向量與平面的法向量的定義。 2、填空：設(shè)空間兩條直線的方向向量分別為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則有如下結(jié)論： 平行 垂直 與 與 與 上表給出了用向量研究空間線線、線面、面面位置關(guān)系的方法，要理解掌握。 三、問題探究 例1．證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（三垂線定理） A B C D O 已知：如圖,OB是平面的斜線，O為斜足，，A為垂足， 求證： α l ml nl gl 例2．證明：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。（直線與平面垂直的判定定理） 例3．在直三棱柱中，, , 是得中點(diǎn)。 求證： 四、反饋小結(jié) 在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點(diǎn)P，使B1D⊥面PAC？ 3.2.2空間線面關(guān)系的判定（2） 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．能用向量語言描述線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系； 2．能用向量方法判斷空間線面平行與垂直關(guān)系。 重點(diǎn)、難點(diǎn)：用向量方法判斷空間線面平行與垂直關(guān)系 二、課前自學(xué) 復(fù)習(xí)回顧：用向量研究空間線面關(guān)系，設(shè)空間兩條直線的方向向量分別為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則由如下結(jié)論 平行 垂直 與 與 與 三、問題探究 例1． 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且,求證：平面 例2．在正方體中,E,F分別是,中點(diǎn)，求證：平面ADE 例3．已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1，M是底面BC邊的中點(diǎn)，N為側(cè)棱的點(diǎn)。（1）當(dāng)為何值時(shí)，; (2)在棱上是否存在點(diǎn)D，使平面,若存在，求出D的位置，若不存在，說明理由。 例4(選講) 如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面， 平面，且，E是BC的中點(diǎn)． （1）求異面直線與所成角的余弦值； （2）在線段上是否存在點(diǎn)S，使得平面?若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。 3.2.3空間的角的計(jì)算（1） 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 能用向量方法解決線線、線面的夾角的計(jì)算問題 重點(diǎn)、難點(diǎn)：異線角與線面角的計(jì)算 二、課前自學(xué) 復(fù)習(xí)回顧：1、異面直線所成的角、線面角的定義及求解方法 2、空間向量的夾角公式 思考：（1）如何利用向量探求異面直線所成角？能否用兩條直線的方向向量的夾角來刻畫異面直線所成角？它們的關(guān)系如何？ （2）如何利用向量探求線面角？ 設(shè)平面的斜線l與平面所的角為1，斜線l與平面的法向量所成角2，則1與2互余或與2的補(bǔ)角互余。 三、問題探究 例1.在正方體中,E1，F(xiàn)1分別在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1與DF1所成的角的余弦值 例2.在正方體中, F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在D1C1上,且D1C1,試求直線E1F與平面D1AC所成角的正弦值. 例3.在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90，AC=2，BC=，SB=（1）求證：SC⊥BC；（2）求SC與AB所成角的余弦值 四、反饋小結(jié) 如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn). （１）求證：; （2）求與所成的角的余弦值； （3）求與平面所成的角的余弦值。 3.2.3空間的角的計(jì)算（2） 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 能用向量方法解決二面角的計(jì)算問題 重點(diǎn)、難點(diǎn)：二面角的計(jì)算 二、課前自學(xué) 復(fù)習(xí)回顧：1、二面角的定義及求解方法 2、用向量來探求線面角的方法 思考：你能仿照線面角的求解，研究：如何用向量來求解二面角？ 一個(gè)二面角的平面角1與這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角2相等或互補(bǔ)。 注：利用向量求二面角的大小的方法： 方法一：轉(zhuǎn)化為分別是在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的兩個(gè)向量的夾角（注意：要特別關(guān)注兩個(gè)向量的方向） 方法二：求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離及到棱的距離，然后通過解直角三角形求角。 方法三：轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個(gè)半平面的法向量夾角或其補(bǔ)角。 三、問題探究 例1．在正方體中,求二面角的余弦值。 例2．已知E,F分別是正方體的棱BC和CD的中點(diǎn)，求： （1）A1D與EF所成角的大小； （2）A1F與平面B1EB所成角的余弦值大??； （3）二面角的余弦值大小。 例3．在如圖所示的坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為2，P、Q分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且. (1)確定點(diǎn)P、Q的位置，使得; (2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值大小. 四、反饋小結(jié) 1．在一個(gè)二面角的一個(gè)面內(nèi)有一點(diǎn)，它到棱的距離等于到另一個(gè)面得距離的2倍，求這個(gè)二面角的度數(shù)。 2．如圖，在正方體中,O是底面的中心，M是的中點(diǎn)。（1）求證：是平面的法向量； （2）求二面角的余弦值大小。