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2019-2020年高三上學期數(shù)學一輪復習教案：第29講 圓錐曲線方程及性質(zhì) 課題 圓錐曲線方程及性質(zhì)（共 9 課時） 修改與創(chuàng)新 教學目標 1．了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用； 2．經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)； 3．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。 命題走向 本講內(nèi)容是圓錐曲線的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是高考重點考查的內(nèi)容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)，從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質(zhì)。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，且選擇題、填空題和解答題都涉及到，客觀題主要考察圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法。 對于本講內(nèi)容來講，預測xx年： （1）1至2道考察圓錐曲線概念和性質(zhì)客觀題，主要是求值問題； （2）可能會考察圓錐曲線在實際問題里面的應用，結(jié)合三種形式的圓錐曲線的定義。 教學準備 多媒體課件 教學過程 要點精講 1．橢圓 （1）橢圓概念 平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。 橢圓的標準方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。 注：①以上方程中的大小，其中； ②在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。 （2）橢圓的性質(zhì) ①范圍：由標準方程知，，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里； ②對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。 所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心； ③頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。 所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。 同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，，，，且，即； ④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。∵，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。 2．雙曲線 （1）雙曲線的概念 平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（）。 注意：①（*）式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支（含的一支）；時為雙曲線的另一支（含的一支）；②當時，表示兩條射線；③當時，不表示任何圖形；④兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。 橢圓和雙曲線比較： 橢 圓 雙 曲 線 定義 方程 焦點 注意：如何有方程確定焦點的位置！ （2）雙曲線的性質(zhì) ①范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。 ②對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。 ③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。 令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。 1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。 2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。 ④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。 ⑤等軸雙曲線： 1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：； 2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。 注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。 3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當時交點在軸，當時焦點在軸上。 ⑥注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。 3．拋物線 （1）拋物線的概念 平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。 方程叫做拋物線的標準方程。 注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是 ； （2）拋物線的性質(zhì) 一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表： 標準方程 圖形 焦點坐標 準線方程 范圍 對稱性 軸 軸 軸 軸 頂點 離心率 說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準線的距離。 典例解析 題型1：橢圓的概念及標準方程 例1．求適合下列條件的橢圓的標準方程： （1）兩個焦點的坐標分別是、，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于； （2）兩個焦點的坐標分別是、，并且橢圓經(jīng)過點； （3）焦點在軸上，，； （4）焦點在軸上，，且過點； （5）焦距為，； （6）橢圓經(jīng)過兩點，。 解析：（1）∵橢圓的焦點在軸上，故設(shè)橢圓的標準方程為（）， ∵，，∴， 所以，橢圓的標準方程為。 （2）∵橢圓焦點在軸上，故設(shè)橢圓的標準方程為（）， 由橢圓的定義知， ， ∴，又∵，∴， 所以，橢圓的標準方程為。 （3）∵，∴，① 又由代入①得， ∴，∴，又∵焦點在軸上， 所以，橢圓的標準方程為。 （4）設(shè)橢圓方程為， ∴，∴， 又∵，∴， 所以，橢圓的標準方程為． （5）∵焦距為，∴， ∴，又∵，∴，， 所以，橢圓的標準方程為或． （6）設(shè)橢圓方程為（）， 由得， 所以，橢圓方程為． 點評：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關(guān)系。 例2．（1）已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 。 （2）橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應于焦點的準線方程為，則這個橢圓的方程是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：（1）已知為所求； （2）橢圓的中心為點它的一個焦點為 ∴ 半焦距，相應于焦點F的準線方程為 ∴ ，，則這個橢圓的方程是，選D。 點評：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎(chǔ)知識就可以。 題型2：橢圓的性質(zhì) 例3．（1）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為（ ） (A) (B) (C) (D) （2）設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點為F1，右準線為l1，若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1到l1的距離，則橢圓的離心率是 。 解析：（1）不妨設(shè)橢圓方程為（a>b>0），則有，據(jù)此求出e＝，選B。 （2）；解析：由題意知過F1且垂直于x軸的弦長為， ∴，∴，∴，即e=。 點評：本題重點考查了橢圓的基本性質(zhì)。 例4．（1）橢圓短軸長是2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準線距離是（ ） A. B. C. D. （2）橢圓=1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上.如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的（ ） A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 解析：（1）D；由題意知a=2，b=1，c=，準線方程為x=， ∴橢圓中心到準線距離為． （2）A；不妨設(shè)F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）由條件得P（3，），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故選A。 點評：本題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想，具有較強的思辨性，是高考命題的方向。 題型3：雙曲線的方程 例5．（1）已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程； （2）求與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程； （3）已知雙曲線的焦點在軸上，并且雙曲線上兩點坐標分別為，求雙曲線的標準方程。 解析：（1）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)它的標準方程為， ∵，∴，∴。 所以所求雙曲線的方程為； （2）橢圓的焦點為，可以設(shè)雙曲線的方程為，則。 又∵過點，∴。 綜上得，，所以。 點評：雙曲線的定義；方程確定焦點的方法；基本量之間的關(guān)系。 （3）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標準方程為①； ∵點在雙曲線上，∴點的坐標適合方程①。 將分別代入方程①中，得方程組： 將和看著整體，解得， ∴即雙曲線的標準方程為。 點評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚。 例6. 已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標準方程是____________________. 解析：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是； 點評：本題主要考查雙曲線的基礎(chǔ)知識以及綜合運用知識解決問題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為直觀簡捷。 題型4：雙曲線的性質(zhì) 例7．（1）已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞) （2）過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( ) A. B. C. D. （3）已知雙曲線 － =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為（ ） A.2 B. C. D. 解析：（1）雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，∴ ≥，離心率e2=，∴ e≥2，選C。 （2）過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 聯(lián)立方程組代入消元得， ∴ ，x1+x2=2x1x2， 又,則B為AC中點，2x1=1+x2，代入解得， ∴ b2=9，雙曲線的離心率e=，選A。 （3）雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，∴ a2=6，雙曲線的離心率為 ，選D。 點評：高考題以離心率為考察點的題目較多，主要實現(xiàn)三元素之間的關(guān)系。 例8．（1）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 （2）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則 A． B． C． D． （3）如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是（ ） A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D． 解析：（1）設(shè)雙曲線的兩個焦點分別是F1（－5，0）與F2（5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大，此時|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故選B。 （2）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為，∴ m=，選A。 （3）如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為， ∴，解得，所以它的兩條準線間的距離是，選C。 點評：關(guān)于雙曲線漸近線、準線及許多距離問題也是考察的重點。 題型5：拋物線方程 例9．（1）)焦點到準線的距離是2； （2）已知拋物線的焦點坐標是F(0，2)，求它的標準方程。 解析：（1）y=4x，y=4x，x=4y，x=4y； 方程是x=8y。 點評：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程。當拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定，則所求的標準方程就會有多解。 題型6：拋物線的性質(zhì) 例10．（1）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ） A． B． C． D． （2）拋物線的準線方程是（ ） (A) (B) (C) (D) （3）拋物線的焦點坐標為( ) （A）. （B）. （C）. （D） 解析：（1）橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D； （2）2p＝8，p＝4，故準線方程為x＝－2，選A； （3）（直接計算法）因為p=2 ，所以拋物線y2=4x的焦點坐標為 。應選B。 點評：考察拋物線幾何要素如焦點坐標、準線方程的題目根據(jù)定義直接計算機即可。 例11．（1）拋物線上的點到直線距離的最小值是（ ） A． B． C． D． （2）對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件： ①焦點在y軸上； ②焦點在x軸上； ③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6； ④拋物線的通徑的長為5； ⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）。 （3）對于拋物線y2=4x上任意一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是（ ） A.（－∞，0） B.（－∞，2 C.［0，2］ D.（0，2） 能使這拋物線方程為y2＝10x的條件是 ．（要求填寫合適條件的序號） 解析：（1）設(shè)拋物線上一點為(m，－m2)，該點到直線的距離為，當m=時，取得最小值為，選A； （2）答案：②，⑤ 解析：從拋物線方程易得②，分別按條件③、④、⑤計算求拋物線方程，從而確定⑤。 （3）答案：B 解析：設(shè)點Q的坐標為（，y0）， 由 |PQ|≥|a|，得y02+（－a）2≥a2. 整理，得：y02（y02+16－8a）≥0， ∵y02≥0，∴y02+16－8a≥0. 即a≤2+恒成立.而2+的最小值為2. ∴a≤2.選B。 點評：拋物線問題多考察一些距離、最值及范圍問題。 思維總結(jié) 在復習過程中抓住以下幾點： （1）堅持源于課本、高于課本，以考綱為綱的原則。高考命題的依據(jù)是《高考說明》.并明確考點及對知識點與能力的要求作出了明確規(guī)定，其實質(zhì)是精通課本，而本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本，因此掌握雙基、精通課本是關(guān)鍵； （2）在注重解題方法、數(shù)學思想的應用的同時注意一些解題技巧，橢圓、雙曲線、拋物線的定義揭示了各自存在的條件、性質(zhì)及幾何特征與圓錐曲線的焦點、焦半徑、準線、離心率有關(guān)量的關(guān)系問題，若能用定義法，可避免繁瑣的推理與運算； （3）焦半徑公式：拋物線上一點P（x1，y1），F(xiàn)為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）： 板書設(shè)計 圓錐曲線方程及性質(zhì) 1．橢圓 （1）橢圓概念 橢圓的標準方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。 （2）橢圓的性質(zhì) ①范圍、②對稱性、③頂點、④離心率 2．雙曲線 （1）雙曲線的概念 雙曲線的標準方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。 （2）雙曲線的性質(zhì) ①范圍、②對稱性、③頂點、④漸近線、⑤等軸雙曲線： 3．拋物線 （1）拋物線的概念 拋物線的標準方程：、、、 教學反思