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2019-2020年高三上學期數(shù)學一輪復習教案：第12講 三角恒等變換及應(yīng)用 課題 三角恒等變換及應(yīng)用（共 6 課時） 修改與創(chuàng)新 教學目標 1．經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用； 2．能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系； 3．能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。 命題走向 從近幾年的高考考察的方向來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機會較多，有時候也以填空題的形式出現(xiàn)，它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考察，主要題型有三角函數(shù)求值，通過三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。 本講內(nèi)容是高考復習的重點之一，三角函數(shù)的化簡、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題。歷年高考中，在考察三角公式的掌握和運用的同時，還注重考察思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運算及觀察能力、運算推理能力和綜合分析能力。 教學準備 多媒體課件 教學過程 一．知識梳理： 1．兩角和與差的三角函數(shù) ； ； 。 2．二倍角公式 ； ； 。 3．三角函數(shù)式的化簡 常用方法：①直接應(yīng)用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。 （1）降冪公式 ；；。 （2）輔助角公式 ， 。 4．三角函數(shù)的求值類型有三類 （1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題； （2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論； （3）給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。 5．三角等式的證明 （1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”； （2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。 二．典例分析 　(xx廣東高考)已知函數(shù)f(x)＝2sin，x∈R. (1)求f的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． 　(1)∵f(x)＝2sin， ∴f＝2sin＝2sin＝. (2)∵α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝， ∴2sin α＝，2sin＝. 即sin α＝，cos β＝. ∴cos α＝，sin β＝. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－＝. 由題悟法 兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導公式的推廣，可用α、β的三角函數(shù)表示αβ的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的． 以題試法 1．(1)已知sin α＝，α∈，則＝________. (2)(xx濟南模擬)已知α為銳角，cos α＝，則tan＝(　　) A．－3　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－7 解析：(1)＝＝cos α－sin α， ∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－. ∴原式＝－. (2)依題意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝＝－，所以tan＝＝－. 答案：(1)－　(2)B 三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用 典題導入 　(xx德州一模)已知函數(shù)f(x)＝2cos2－sin x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)若α為第二象限角，且f＝，求的值． 　(1)∵f(x)＝2cos2－sin x＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos， ∴周期T＝2π，f(x)的值域為． (2)∵f＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－. ∵α為第二象限角，∴sin α＝. ∴＝ ＝＝＝. 由題悟法 運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種變形等． 以題試法 2．(1)(xx贛州模擬)已知sin＋cos α＝，則sin的值為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. (2)若α＋β＝，則(1－tan α)(1－tan β)的值是________． 解析：(1)由條件得sin α＋cos α＝， 即sin α＋cos α＝. ∴sin＝. (2)－1＝tan＝tan(α＋β)＝， ∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A　(2)2 角 的 變 換 典題導入 　(1)(xx溫州模擬)若＝3，tan(α－β)＝2，則tan(β－2α)＝________. (2)(xx江蘇高考)設(shè)α為銳角，若cos＝，則sin的值為________． 　(1)由條件知＝＝3， 則tan α＝2. 故tan(β－2α)＝tan ＝＝＝. (2)因為α為銳角，cos＝， 所以sin＝，sin 2＝， cos 2＝， 所以sin＝sin ＝－＝. 　 (1)　(2) 由題悟法 1．當“已知角”有兩個時，一般把“所求角”表示為兩個“已知角”的和或差的形式； 2．當“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導公式把“所求角”變成“已知角”． 3．常見的配角技巧： α＝2；α＝(α＋β)－β； α＝β－(β－α)； α＝； β＝； ＋α＝－；α＝－. 以題試法 3．設(shè)tan＝，tan＝，則tan＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　tan＝tan ＝＝. 　化簡. 　原式＝ ＝＝ ＝cos 2x. 由題悟法 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則 (1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式； (2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”； (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式要通分”等． 以題試法 1．化簡. 解：法一：原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 法二：原式＝ ＝ ＝＝. 三角函數(shù)式的求值 典題導入 　(1)(xx重慶高考)＝(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C. D.. (2)已知α、β為銳角，sin α＝，cos＝－，則2α＋β＝________. 　(1)原式＝ ＝ ＝＝sin 30＝. (2)∵sin α＝，α∈， ∴cos α＝， ∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)， ∴sin(α＋β)＝， ∴sin(2α＋β)＝sin＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝＋＝0. 又2α＋β∈. ∴2α＋β＝π. 　(1)C　(2)π 由題悟法 三角函數(shù)求值有三類 (1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解． (2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系． (3)“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角． 以題試法 2．(xx廣州一測)已知函數(shù)f(x)＝tan. (1)求f的值； (2)設(shè)α∈，若f＝2，求cos的值． 解：(1)f＝tan＝＝＝－2－. (2)因為f＝tan＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以＝2，即sin α＝2cos α.① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②解得cos2α＝. 因為α∈，所以cos α＝－，sin α＝－. 所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝－＋＝－. 三角恒等變換的綜合應(yīng)用 典題導入 　(xx四川高考)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求證：2－2＝0. 　(1)∵f(x)＝sin＋cos ＝sin＋sin＝2sin， ∴T＝2π，f(x)的最小值為－2. (2)證明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝， cos βcos α－sin βsin α＝－. 兩式相加得2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤，∴β＝.∴2－2＝4sin2－2＝0. 在本例條件不變情況下，求函數(shù)f(x)的零點的集合． 解：由(1)知f(x)＝2sin， ∴sin＝0，∴x－＝kπ(k∈Z)， ∴x＝kπ＋(k∈Z)． 故函數(shù)f(x)的零點的集合為. 由題悟法 三角變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題． 以題試法 3．已知函數(shù)f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)當α∈時，若f(α)＝1，求α的值． 解：(1)因為f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x ＝cos2 x＋sin xcos x－sin2x＋sin xcos x ＝cos 2x＋sin 2x＝2sin， 所以最小正周期T＝π. (2)由f(α)＝1，得2sin＝1， 又α∈，所以2α＋∈， 所以2α＋＝或2α＋＝， 故α＝或α＝. 板書設(shè)計 三角恒等變換及應(yīng)用 1．兩角和與差的三角函數(shù) ； ； 。 2．二倍角公式 ； ； 。 3．三角函數(shù)式的化簡 常用方法：①直接應(yīng)用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。 （1）降冪公式 ；；。 （2）輔助角公式 ， 。 教學反思 本講知識的復習不能僅僅要求學生記憶公式，應(yīng)該回顧推導公式，把握各公式之間的關(guān)系，利于學生整體掌握知識體系，靈活應(yīng)用公式解決相關(guān)問題。 公式的應(yīng)用包括求值、化簡、證明。特別是化簡，在復習時應(yīng)篩選一定量的題目讓學生訓練，使學生能靈活應(yīng)用公式。 對把函數(shù)式化成y=Asin(ωx+φ)形式，學生掌握的還不夠好，以后還要在選擇合適的題目加強訓練。