2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 階段復(fù)習(xí)課 第3課 統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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第三課 統(tǒng)計(jì)案例 [核心速填] (建議用時(shí)4分鐘) 1.分析判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系常用的方法 (1)散點(diǎn)圖法:把樣本數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出,得到散點(diǎn)圖,由散點(diǎn)圖的形狀分析. (2)相關(guān)指數(shù)法:利用相關(guān)指數(shù)R2進(jìn)行檢驗(yàn),在確認(rèn)具有相關(guān)關(guān)系后,再求線性回歸方程. 2.求線性回歸方程的步驟 (1)畫(huà)散點(diǎn)圖:從直觀上觀察兩個(gè)變量是否線性相關(guān). (2)計(jì)算:利用公式求回歸方程的系數(shù)的值. ==,=-. (3)寫(xiě)出方程:依據(jù)=+x,寫(xiě)出回歸直線方程. 3.兩種特殊可線性化回歸模型的轉(zhuǎn)化 (1)將冪型函數(shù)y=axm(a為正的常數(shù),x,y取正值)化為線性函數(shù). 如果將y=axm兩邊同取以10為底的對(duì)數(shù),則有l(wèi)g y=mlg x+lg a.令u=lg y,v=lg x,lg a=b,代入上式,得u=mv+b,其中m,b是常數(shù).這是u,v的線性函數(shù).如果以u(píng)為縱坐標(biāo),v為橫坐標(biāo),則u=mv+b的圖象就是一直線. (2)將指數(shù)型函數(shù)y=cax(a>0且a≠1,c>0且為常數(shù))化為線性函數(shù). 將y=cax兩邊同取以10為底的對(duì)數(shù),有l(wèi)g y=xlg a+lg c,令lg y=u,lg a=k,lg c=b,得u=kx+b,其中,k和b是常數(shù),與冪型函數(shù)不同的是x依然保持原來(lái)的,只是用y的對(duì)數(shù)lg y代替了y. 4.在實(shí)際問(wèn)題中常用的三個(gè)數(shù)值 (1)當(dāng)K2>6.635時(shí),表示有99%的把握認(rèn)為“事件A與B有關(guān)系”. (2)當(dāng)K2>3.841時(shí),表示有95%的把握認(rèn)為“事件A與B有關(guān)系”. (3)當(dāng)K2≤3.841時(shí),認(rèn)為事件A與B是無(wú)關(guān)的. [體系構(gòu)建] [題型探究] 線性回歸分析 回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.根據(jù)兩個(gè)變量的一組觀測(cè)值,可以畫(huà)出散點(diǎn)圖或利用相關(guān)系數(shù)r,判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系,若具有線性相關(guān)關(guān)系,可得出線性回歸直線方程. 利用公式求回歸直線方程時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn): (1)求時(shí),利用公式==,先求出=(x1+x2+x3+…+xn),=(y1+y2+y3+…+yn).再由=- 求的值,并寫(xiě)出回歸直線方程. (2)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,). (3)回歸直線方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本估計(jì)得來(lái)的,存在誤差,這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差. (4)回歸直線方程=+x中的表示x每增加1個(gè)單位時(shí)預(yù)報(bào)變量y的平均變化量,而表示預(yù)報(bào)變量y不隨x的變化而變化的部分. 以下是某地收集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù): 房屋面積x/m2 115 110 80 135 105 銷售價(jià)格y/萬(wàn)元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖; (2)若線性相關(guān),求線性回歸方程; (3)根據(jù)(2)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為150 m2時(shí)的銷售價(jià)格. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032252】 [解] (1)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示. (2)由散點(diǎn)圖知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.由表中數(shù)據(jù)知=i=109,=i=23.2,=60 975,iyi=12 952.設(shè)所求回歸直線方程為=x+,則=≈0.196 2,=-≈1.814 2,故所求回歸直線方程為=0.196 2x+1.814 2. (3)根據(jù)(2),當(dāng)x=150時(shí),銷售價(jià)格的估計(jì)值為=0.1962150+1.814 2=31.244 2(萬(wàn)元). [規(guī)律方法] 在散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近,則利用線性回歸模型進(jìn)行研究,可近似地利用回歸直線方程=x+來(lái)預(yù)報(bào),利用公式求出回歸系數(shù),,即可寫(xiě)出回歸直線方程,并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)說(shuō)明. [跟蹤訓(xùn)練] 1.已知某連鎖經(jīng)營(yíng)公司的5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表: 商店名稱 A B C D E 銷售額x(千萬(wàn)元) 3 5 6 7 9 利潤(rùn)額y(千萬(wàn)元) 2 3 3 4 5 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖; (2)根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù),求利潤(rùn)額y與銷售額x之間的線性回歸方程; (3)若該公司還有一個(gè)零售店某月銷售額為10千萬(wàn)元,試估計(jì)它的利潤(rùn)額是多少. (參考公式:=,=-. 其中,iyi=112,=200) [解] (1)散點(diǎn)圖. (2)由已知數(shù)據(jù)計(jì)算得n=5,==6,==3.4,==0.5,=3.4-0.56=0.4. 則線性回歸方程為=0.5x+0.4. (3)將x=10代入線性回歸方程中得到=0.510+0.4=5.4(千萬(wàn)元). 即估計(jì)該零售店的利潤(rùn)額約為5.4千萬(wàn)元. 回歸模型分析 對(duì)于建立的回歸模型,我們必須對(duì)模型的擬合效果進(jìn)行分析,也就是對(duì)利用回歸模型解決實(shí)際問(wèn)題的效果進(jìn)行評(píng)價(jià).一方面可以對(duì)比殘差或殘差平方和的大小,同時(shí)觀察殘差圖,進(jìn)行殘差分析;另一方面也可以研究數(shù)據(jù)的R2(相關(guān)系數(shù)r).對(duì)模型擬合效果的分析能夠幫助我們利用最優(yōu)化的模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題. 在研究彈簧伸長(zhǎng)長(zhǎng)度y(cm)與拉力x(N)的關(guān)系時(shí),對(duì)不同拉力的6根彈簧進(jìn)行測(cè)量,測(cè)得如下表中的數(shù)據(jù): x/N 5 10 15 20 25 30 y/cm 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 若依據(jù)散點(diǎn)圖及最小二乘法求出的回歸直線方程為=0.18x+6.34,求R2,并結(jié)合殘差說(shuō)明擬合效果. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032253】 [解] 列表求值如下: xi 5 10 15 20 25 30 yi 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 xiyi 36.25 81.2 134.25 198 272.5 354 x 25 100 225 400 625 900 yi-i 0.01 -0.02 -0.09 -0.04 0.06 0.06 yi- -2.24 -1.37 -0.54 0.41 1.41 2.31 =17.5,≈9.49,iyi=1 076.2,=2 275,(yi-i)2=0.017 4,(yi-)2=14.678 4. ∴R2=1-≈0.998 81,回歸模型擬合效果較好.由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差比較均勻地落在寬度不超過(guò)0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中,說(shuō)明選用的線性回歸模型的精度較高. [規(guī)律方法] 在一元線性回歸模型中,相關(guān)指標(biāo)R2與相關(guān)系數(shù)r都能刻畫(huà)線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果.|r|越大,R2就越大,用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好. [跟蹤訓(xùn)練] 2.關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù): x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知x與y線性相關(guān),由最小二乘法得=6.5, (1)求y與x的線性回歸方程; (2)現(xiàn)有第二個(gè)線性模型:=7x+17,且R2=0.82. 若與(1)的線性模型比較,哪一個(gè)線性模型擬合效果比較好,請(qǐng)說(shuō)明理由. [解] (1)依題意設(shè)y與x的線性回歸方程為=6.5x+. ==5, ==50, ∴=6.5x+經(jīng)過(guò)(,), ∴50=6.55+,∴=17.5, ∴y與x的線性回歸方程為=6.5x+17.5. (2)由(1)的線性模型得yi-i與yi-的關(guān)系如下表: yi-i -0.5 -3.5 10 -6.5 0.5 yi- -20 -10 10 0 20 所以(yi-i)2=(-0.5)2+(-3.5)2+(-10)2+(-6.5)2+0.52=155. (yi-)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1 000. 所以R=1-=1-=0.845. 由于R=0.845,R2=0.82知R>R2, 所以(1)的線性模型擬合效果比較好. 獨(dú)立性檢驗(yàn) 獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法.在判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系時(shí),作出等高條形圖只能近似地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系,而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以精確地得到可靠的結(jié)論. 為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān),在某地對(duì)540名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查,結(jié)果是:患胃病者生活不規(guī)律的共60人,患胃病者生活規(guī)律的共20人,未患胃病者生活不規(guī)律的共260人,未患胃病者生活規(guī)律的共200人. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出22列聯(lián)表; (2)判斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律是否有關(guān). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032254】 [思路探究] (1)解決本題關(guān)鍵是首先弄清問(wèn)題中的兩個(gè)分類變量及其取值分別是什么,其次掌握22列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)特征. (2)利用22列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測(cè)值,再結(jié)合臨界值表來(lái)分析相關(guān)性的大?。? [解] (1)由已知可列22列聯(lián)表如下: 患胃病 未患胃病 總計(jì) 生活規(guī)律 20 200 220 生活不規(guī)律 60 260 320 總計(jì) 80 460 540 (2)根據(jù)列聯(lián)表得K2的觀測(cè)值為 k=≈9.638. 因?yàn)?.638>7.879, 因此,我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為40歲以上的人患胃病和生活規(guī)律有關(guān). [規(guī)律方法] 獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟: (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表. (2)根據(jù)公式計(jì)算K2的觀測(cè)值k. (3)比較k與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷. [跟蹤訓(xùn)練] 3.為了解某班學(xué)生喜愛(ài)打籃球是否與性別有關(guān),對(duì)本班50人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表: 喜愛(ài)打籃球 不喜愛(ài)打籃球 總計(jì) 男生 5 女生 10 總計(jì) 50 已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的概率為0.6. (1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程); (2)能否有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān)?說(shuō)明你的理由. (參考公式:K2=, 其中n=a+b+c+d) [解] (1)依題意可知喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的人數(shù)為500.6=30. 列聯(lián)表補(bǔ)充如下: 喜愛(ài)打籃球 不喜愛(ài)打籃球 總計(jì) 男生 20 5 25 女生 10 15 25 總計(jì) 30 20 50 (2)因?yàn)閗=≈8.333>6.635,所以,有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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