2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)13 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修2-1.doc
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課時分層作業(yè)(十三) 拋物線的簡單幾何性質(zhì) (建議用時:40分鐘) [基礎(chǔ)達標(biāo)練] 一、選擇題 1.方程y=-2所表示曲線的形狀是( ) D [方程y=-2等價于故選D.] 2.過拋物線C:y2=12x的焦點作直線l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若x1+x2=6,則|AB|=( ) A.16 B.12 C.10 D.8 B [由題意知p=6,故|AB|=x1+x2+p=12.] 3.過點(2,4)的直線與拋物線y2=8x只有一個公共點,這樣的直線有( ) 【導(dǎo)學(xué)號:46342115】 A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 B [點(2,4)在拋物線y2=8x上,則過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點,故選B.] 4.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 B [易知拋物線的焦點為F,所以過焦點且斜率為1的直線的方程為y=x-,即x=y(tǒng)+,代入y2=2px得y2=2p=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得=p=2(y1,y2分別為點A,B的縱坐標(biāo)),所以拋物線的方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=-1.] 5.設(shè)拋物線y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足,如果直線AF的斜率為-,那么|PF|=( ) A.4 B.8 C.8 D.16 B [設(shè)P(x0,y0),則A(-2,y0),又F(2,0) 所以=-,即y0=4. 由y=8x0得8x0=48,所以x0=6. 從而|PF|=6+2=8.] 二、填空題 6.直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k=________. 0或1 [當(dāng)k=0時,直線與拋物線有唯一交點,當(dāng)k≠0時,聯(lián)立方程消去y得k2x2+4(k-2)x+4=0,由題意Δ=16(k-2)2-16k2=0,∴k=1.] 7.2017設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l.已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC=120,則圓的方程為________________. (x+1)2+(y-)2=1 [由y2=4x可得點F的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1. 由圓心C在l上,且圓C與y軸正半軸相切(如圖),可得點C的橫坐標(biāo)為-1,圓的半徑為1,∠CAO=90.又因為∠FAC=120,所以∠OAF=30,所以|OA|=,所以點C的縱坐標(biāo)為. 所以圓的方程為(x+1)2+(y-)2=1.] 8.拋物線y2=4x上的點到直線x-y+4=0的最小距離為________. 【導(dǎo)學(xué)號:46342116】 [設(shè)與直線x-y+4=0平行且與拋物線y2=4x相切的直線方程為x-y+m=0. 由得x2+(2m-4)x+m2=0 則Δ=(2m-4)2-4m2=0,解得m=1 即直線方程為x-y+1=0 直線x-y+4=0與直線x-y+1=0的距離為d==. 即拋物線y2=4x上的點到直線x-y+4=0的最小距離為.] 三、解答題 9.已知拋物線C的頂點在原點,焦點在x軸上,且拋物線上有一點P(4,m)到焦點的距離為6. (1)求拋物線C的方程. (2)若拋物線C與直線y=kx-2相交于不同的兩點A,B,且AB中點橫坐標(biāo)為2,求k的值. [解] (1)由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px,其準(zhǔn)線方程為x=-,因為P(4,m)到焦點的距離等于P到其準(zhǔn)線的距離,所以4+=6,所以p=4,所以拋物線C的方程為y2=8x. (2)由消去y,得k2x2-(4k+8)x+4=0. 因為直線y=kx-2與拋物線相交于不同的兩點A,B,則有k≠0,Δ=64(k+1)>0, 解得k>-1且k≠0. 又==2, 解得k=2或k=-1(舍去),所以k的值為2. 10.已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的過焦點F的一條弦.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0).求證: (1)若AB的傾斜角為θ,則|AB|=; (2)x1x2=,y1y2=-p2; (3)+為定值. 【導(dǎo)學(xué)號:46342117】 [證明] (1)設(shè)直線AB的方程為x=my+,代入y2=2px,可得y2-2pmy-p2=0, y1y2=-p2,y1+y2=2pm, ∴y+y=2p(x1+x2)=(y1+y2)2-2y1y2=4p2m2+2p2,∴x1+x2=2pm2+p, ∴θ=90時,m=0,x1+x2=p,∴|AB|=x1+x2+p=2p=; θ≠90時,m=,x1+x2=+p,∴|AB|=x1+x2+p=+2p=. ∴|AB|=. (2)由(1)知,y1y2=-p2,∴x1x2==; (3)+=+===. [能力提升練] 1.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,過F作傾斜角為30的直線與拋物線交于A,B兩點,若∈(0,1),則=( ) A. B. C. D. C [因為拋物線的焦點為F,故過點F且傾斜角為30的直線的方程為y=x+,與拋物線方程聯(lián)立得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p,所以==,故選C.] 2.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點N在l上,且MN⊥l,則M到直線NF的距離為( ) A. B.2 C.2 D.3 C [拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.由直線方程的點斜式可得直線MF的方程為y=(x-1). 聯(lián)立得方程組 解得或 ∵點M在x軸的上方, ∴M(3,2). ∵MN⊥l, ∴N(-1,2). ∴|NF|==4, |MF|=|MN|==4. ∴△MNF是邊長為4的等邊三角形. ∴點M到直線NF的距離為2. 故選C.] 3.已知點A(2,0),B(4,0),動點P在拋物線y2=-4x上運動,則取得最小值時的點P的坐標(biāo)是________. (0,0) [設(shè)P(x0,y0),則=(x0-2,y0), =(x0-4,y0), 所以=(x0-2)(x0-4)+y,又y=-4x0, 所以=x-10x0+8=(x0-5)2-17, 因為x0≤0,所以當(dāng)x0=0時,取得最小值. 此時點P的坐標(biāo)為(0,0).] 4.已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則y+y的最小值是________. 【導(dǎo)學(xué)號:46342118】 32 [y=4x1,y=4x2,則y+y=4(x1+x2) 若過點P(4,0)的直線垂直于x軸,則直線方程為x=4, 此時x1+x2=8,y+y=32, 若過點P(4,0)的直線存在斜率,則設(shè)直線方程為y=k(x-4),由得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0, 則x1+x2=8+>8,此時y+y>32 因此y+y的最小值為32.] 5.已知點A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,且OA⊥OB. (1)求兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積. (2)求證:直線AB過定點. [解] (1)設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則有kOA=,kOB=. 因為OA⊥OB,所以kOAkOB=-1,所以x1x2+y1y2=0. 因為y=2px1,y=2px2,所以+y1y2=0. 因為y1≠0,y2≠0,所以y1y2=-4p2,所以x1x2=4p2. (2)證明:因為y=2px1,y=2px2,兩式相減得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2), 所以=,所以kAB=,故直線AB的方程為y-y1=(x-x1), 所以y=+y1-, 即y=+. 因為y=2px1,y1y2=-4p2,代入整理得y=+, 所以y=(x-2p), 即直線AB過定點(2p,0).- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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