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第四節(jié) 數(shù)列求和 最新考綱 數(shù)列求和的常見方法 1.公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和． （1）等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝＝na1＋d. （2）等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝ （3）一些常見數(shù)列的前n項和公式 ①1＋2＋3＋4＋…＋n＝. ②1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2. ③2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)． ④12＋22＋…＋n2＝. 【例1】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項和等于________． 【答案】27 【解析】由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知數(shù)列{an}是首項為1，公差為的等差數(shù)列， 故S9＝9a1＋＝9＋18＝27. 【變式訓練1】若等比數(shù)列{an}滿足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，則{an}的前n項和Sn＝________. 【答案】Sn＝(2n－1)． 【解析】　由題意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q10，故q＝2，代入a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得9a1＝10，即a1＝.故Sn＝＝(2n－1)． 2.倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的． 3.并項求和法：在一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【例2】已知{an}是等比數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63. (1)求{an}的通項公式； (2)若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中項，求數(shù)列{(－1)nb}的前2n項和. 【答案】(1) an＝2n－1；(2)T2n＝2n2. 【解析】(1)設數(shù)列{an}的公比為q. 由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1. 又由S6＝a1＝63，知q≠－1， 所以a1＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1. (2)由題意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－， 即{bn}是首項為，公差為1的等差數(shù)列. 設數(shù)列{(－1)nb}的前n項和為Tn，則 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2. 【變式訓練2】數(shù)列{an}的通項公式an＝ncos，其前n項和為Sn，則S2 016等于(　　) A.1 008 B.2 016 C.504 D.0 【答案】A 4.分組轉化法求和：若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減． 【例3】(2016北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式； (2)設cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和． 【答案】（1）an＝2n－1(n＝1,2,3，…)；（2）Sn＝n2＋. 【解析】　(1)等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27. 設等差數(shù)列{an}的公差為d， 因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2， 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1， 從而數(shù)列{cn}的前n項和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋. 規(guī)律方法 分組轉化法求和的常見類型 (1)若an＝bncn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和． (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． （3）某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論． 【變式訓練3】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，n∈N＋. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； 故使Sn＋n2n＋1>50成立的正整數(shù)n的最小值為5.