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專題4.3萬有引力與航天 1．對于萬有引力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式F＝G，下列說法正確的是 (　　) A．公式中G為引力常量，是人為規(guī)定的 B．r趨近零時，萬有引力趨于無窮大 C．m1、m2受到的萬有引力總是大小相等 D．m1、m2受到的萬有引力總是大小相等、方向相反，是一對平衡力 答案：C 2．今有一個相對地面靜止，懸浮在赤道上空的氣球。對于一個站在宇宙背景慣性系的觀察者，僅考慮地球相對其的自轉(zhuǎn)運動，則以下對氣球受力的描述正確的是 (　　) A．該氣球受地球引力、空氣浮力和空氣阻力 B．該氣球受力平衡 C．地球引力大于空氣浮力 D．地球引力小于空氣浮力 答案：C 解析：氣球環(huán)繞地球做圓周運動，速度與大氣相同，沒有空氣阻力，重力比浮力大的部分提供向心加速度，選C。 3．已知地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度大小為v1、向心加速度大小為a1，近地衛(wèi)星線速度大小為v2、向心加速度大小為a2，地球同步衛(wèi)星線速度大小為v3、向心加速度大小為a3。設(shè)近地衛(wèi)星距地面高度不計，同步衛(wèi)星距地面高度約為地球半徑的6倍。則以下結(jié)論正確的是 (　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案：C 解析：地球赤道上的物體與地球同步衛(wèi)星是相對靜止的，有相同的角速度和周期，比較速度用v＝ωr，比較加速度用a＝ω2r，同步衛(wèi)星距地心距離約為地球半徑的7倍，則C正確；近地衛(wèi)星與地球同步衛(wèi)星都是衛(wèi)星，都繞地球做圓周運動，向心力由萬有引力提供，即G＝ma，所以比較加速度用a＝，則加速度之比為a2a3＝491；比較速度用v＝，則速度比v2：v3＝：1。 上得到地球和月球的半徑之比為4∶1、地球表面和月球表面的重力加速度之比為6∶1，則可判斷地球和月球的密度之比為(　　) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶1 D．6∶1 答案　B 解析　在地球表面，重力等于萬有引力，故mg＝G，解得M＝，故密度ρ＝＝＝，同理，月球的密度ρ0＝，故地球和月球的密度之比＝＝6＝，B正確。 15． (多選)“雪龍?zhí)枴蹦蠘O考察船在由我國駛向南極的過程中，經(jīng)過赤道時測得某物體的重力是G1；在南極附近測得該物體的重力為G2。已知地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G，假設(shè)地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由此可知(　　) A．地球的密度為 B．地球的密度為 C．當(dāng)?shù)厍虻淖赞D(zhuǎn)周期為 T時，放在地球赤道地面上的物體不再對地面有壓力 D．當(dāng)?shù)厍虻淖赞D(zhuǎn)周期為 T時，放在地球赤道地面上的物體不再對地面有壓力 答案　BC 16． (多選)若宇航員在月球表面附近自高h(yuǎn)處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L。已知月球半徑為R，萬有引力常量為G。則下列說法正確的是(　　) A．月球表面的重力加速度g月＝ B．月球的平均密度ρ＝ C．月球的第一宇宙速度v＝ D．月球的質(zhì)量M月＝ 答案　AB 解析　平拋運動的時間t＝，再根據(jù)h＝g月t2，得g月＝＝，故A正確；在月球表面G＝mg月，得M月＝＝，月球的體積V月＝，月球的平均密度ρ＝＝，故B正確、D錯誤；月球的第一宇宙速度v1＝＝ ＝，故C錯誤。 22．暗物質(zhì)是二十一世紀(jì)物理學(xué)之謎，對該問題的研究可能帶來一場物理學(xué)的革命。為了探測暗物質(zhì)，我國已成功發(fā)射了一顆被命名為“悟空”的暗物質(zhì)探測衛(wèi)星。已知“悟空”在低于同步衛(wèi)星的軌道上繞地球做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t(t小于其運動周期)，運動的弧長為s，與地球中心連線掃過的角度為β(弧度)，引力常量為G，則下列說法中正確的是(　　) A．“悟空”的線速度大于第一宇宙速度 B．“悟空”的環(huán)繞周期為 C．“悟空”的向心加速度小于地球同步衛(wèi)星的向心加速度 D．“悟空”的質(zhì)量為 答案　B 23． (多選)已知地球自轉(zhuǎn)周期為T0，有一顆與同步衛(wèi)星在同一軌道平面的低軌道衛(wèi)星，自西向東繞地球運行，其運行半徑為同步軌道半徑的四分之一，該衛(wèi)星兩次在同一城市的正上方出現(xiàn)的時間間隔可能是(　　) A. B. C. D. 答案　CD 解析　設(shè)地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，運動周期為T，因為衛(wèi)星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，有＝mr，解得T＝2π 。同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即為T0。已知該人造衛(wèi)星的運行半徑為同步衛(wèi)星軌道半徑的四分之一，所以該人造衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的周期之比是＝＝，解得T＝T0。設(shè)衛(wèi)星每隔t時間在同一地點的正上方出現(xiàn)，則t－t＝2nπ，解得t＝(n＝1,2,3，…)，當(dāng)n＝1時t＝，n＝3時t＝，故A、B錯誤，C、D正確。 24．空間站是一種在近地軌道長時間運行，可供多名航天員巡防、長期工作和生活的載人航天器。如圖所示，某空間站在軌道半徑為R的近地圓軌道Ⅰ上圍繞地球運動，一宇宙飛船與空間站對接檢修后再與空間站分離。分離時宇宙飛船依靠自身動力裝置在很短的距離內(nèi)加速，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ運行，已知橢圓軌道的遠(yuǎn)地點到地球球心的距離為3.5R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則分離后飛船在橢圓軌道上至少運動多長時間才有機(jī)會和空間站進(jìn)行第二次對接(　　) A．8π B．16π C．27π D．54π 答案　D 25．如圖建筑是厄瓜多爾境內(nèi)的“赤道紀(jì)念碑”。設(shè)某人造地球衛(wèi)星在赤道上空飛行，衛(wèi)星的軌道平面與地球赤道重合，飛行高度低于地球同步衛(wèi)星。已知衛(wèi)星軌道半徑為r，飛行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，設(shè)地球的自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，某時刻衛(wèi)星通過這一赤道紀(jì)念碑的正上方，該衛(wèi)星過多長時間再次經(jīng)過這個位置(　　) A. B. C. D. 答案　D 26．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法中錯誤的是(　　) A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動 B．四顆星的軌道半徑均為 C．四顆星表面的重力加速度均為 D．四顆星的周期均為2πa 答案　B 解析　分析可得：其中一顆星體在其他三顆星體的萬有引力的合力作用下(合力方向指向?qū)蔷€的交點)，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為a，故A正確、B錯誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正確；由萬有引力的合力提供向心力得＋＝m，解得T＝2πa，故D正確。 27．一宇航員到達(dá)半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點在豎直面內(nèi)做圓周運動，測得繩的拉力大小F隨時間t的變化規(guī)律如圖乙所示。F1、F2已知，引力常量為G，忽略各種阻力。 求(1)星球表面的重力加速度；(2)星球的密度。 答案：(1)　(2) (2)在星球表面處有mg＝，則M＝。密度ρ＝，而V＝，所以密度ρ＝。將(1)中g(shù)代入得ρ＝. 28．萬有引力定律揭示了天體運行規(guī)律與地上物體運動規(guī)律具有內(nèi)在的一致性。 用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數(shù)是F0。 (1)若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數(shù)為F1，求比值的表達(dá)式，并就h＝1.0%R的情形算出具體數(shù)值(計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)； (2)若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F2，求比值的表達(dá)式。 答案：(1)＝　0.98　(2)＝1－ 29．我國火星探測器計劃于2020年前后由長征五號運載火箭在海南發(fā)射場發(fā)射入軌，直接送入地火轉(zhuǎn)移軌道。假設(shè)探測器到了火星附近，貼近火星表面做勻速圓周運動，現(xiàn)測出探測器運動的周期為T以及運行速率為v，不計周圍其他天體的影響，萬有引力常量為G。 (1)求火星的質(zhì)量； (2)設(shè)某星球的質(zhì)量為M，一個質(zhì)量為m的物體在離該星球球心r處具有的引力勢能公式為Ep＝－(取物體離該星球無窮遠(yuǎn)處勢能為零)。若一顆質(zhì)量為m′的衛(wèi)星繞火星做半徑為r1的勻速圓周運動，后來因為需要衛(wèi)星的軌道半徑變?yōu)閞2，且r1r2＝12，求該衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運行時的機(jī)械能之比。 答案：(1)　(2)21 解析：(1)由T＝，可得火星半徑約R＝， 由＝m 可得火星的質(zhì)量M＝ (2)由＝m 可得動能為：Ek＝ 引力勢能：Ep＝－ 故物體的機(jī)械能為：E＝Ek＋Ep＝－ 可見：E∞ 故衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運行時的機(jī)械能之比：＝