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最大公約數(shù)和最小公倍數(shù) 楊秋潔精銳教育 一 基本概念 1 公約數(shù)與最大公約數(shù) 2 公倍數(shù)與最小公倍數(shù) 3 求最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的方法 1 列舉法 2 分解質(zhì)因數(shù)法 3 短除法 4 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的比較 1 公約數(shù)與最大公約數(shù)的概念 看下面的兩行數(shù) 12的約數(shù)有 1 2 3 4 6 12 18的約數(shù)有 1 2 3 6 9 18 定義 幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù) 叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù) 其中最大的一個(gè)叫做最大公約數(shù) 如12和18的公約數(shù)有1 2 3 6 其中6是12和18的最大公約數(shù) 記作 12 18 6 特殊地 如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1 那么這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù) 即 如果 a b 1 那么a b兩數(shù)就是互質(zhì)數(shù) 例如 2和3 4和9 6和25等 2 公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的概念 我們看下面的兩行數(shù)3的倍數(shù) 36912151821242730333639424548 5的倍數(shù) 510152025303540455055 像15 30 45 這樣 它們是3和5公有的倍數(shù) 叫做3和5的公倍數(shù) 其中最小的一個(gè)是15 15就叫做3和5的最小公倍數(shù) 記作 3 5 15 3 怎樣求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù) 1 列舉法 2 分解質(zhì)因數(shù)法 3 短除法 18的約數(shù) 30的約數(shù) 公約數(shù) 1 2 3 6 最大公約數(shù) 6 1236918 12356101530 1 列舉法 例如 求18和30的最大公約數(shù) 例如 求18和30的最大公約數(shù) 18 2 9 3 3 18 2 3 3 30 2 15 3 5 30 2 3 5 公有的質(zhì)因數(shù)的積就是最大公約數(shù) 2 分解質(zhì)因數(shù)法 18 30 2 3 6 例如 求18和30的最大公約數(shù) 1830 2 9 3 3 18和30的最大公約數(shù) 15 5 18 30 2 3 6 3 短除法 5 怎樣求最小公倍數(shù) 1 列舉法2 分解因數(shù)法3 短除法 1 列舉法 3的倍數(shù) 36912151821242730333639424548 5的倍數(shù) 510152025303540455055 公倍數(shù) 15 30 45 其中最小的一個(gè)是15 15就叫做3和5的最小公倍數(shù) 記作 3 5 15 例如 求18和30的最小公倍數(shù) 18 2 9 3 3 18 2 3 3 30 2 15 3 5 30 2 3 5 公倍數(shù)的質(zhì)因數(shù)包含兩個(gè)數(shù)所有的質(zhì)因數(shù) 2 分解質(zhì)因數(shù)法 18 30 2 3 3 5 90 例如 求18和48的最小公倍數(shù) 1830 2 9 3 3 18和48的最小公倍數(shù) 2 3 3 5 90 15 5 也可以寫成 18 30 2 3 3 5 90 3 短除法 4 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的比較 1 如果兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù) 那么它們的最大公約數(shù)是1 最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積 2 如果兩個(gè)自然數(shù)中 較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù) 那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù) 較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù) 3 兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù) 所得的商是互質(zhì)數(shù) 4 兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積 二 簡(jiǎn)單應(yīng)用 1 求整除中幾個(gè)數(shù)的共同的除數(shù) 最大公約數(shù) 例1 用一個(gè)數(shù)去除30 60 75 都能整除 這個(gè)數(shù)最大是多少 分析 因?yàn)橐蟮臄?shù)去除30 60 75 都能整除 所以要求的數(shù)是30 60 75的公約數(shù) 而其中最大的就是最大公約數(shù) 用短除法求最大公約數(shù) 解 30 60 75 6 12 15 2 4 5 5 3 30 60 75 5 3 15 答 這個(gè)數(shù)最大是15 2 整除中幾個(gè)數(shù)共同的被除數(shù) 最小公倍數(shù) 例2 一個(gè)數(shù)用3 4 5除都能整除 這個(gè)數(shù)最小是多少 分析 這個(gè)數(shù)能被3 4 5整除 說明它是3 4 5的公倍數(shù) 解 3 4 5 60答 這個(gè)數(shù)最小是60 應(yīng)用舉例 3 不同長(zhǎng)度的拆分 例3 有三段鐵絲 長(zhǎng)度分別是120厘米 180厘米和300厘米 現(xiàn)在要將它們截成長(zhǎng)度相等的小段 每根都不能有剩余 每小段最長(zhǎng)多少厘米 一共可以截成多少段 分析 要截成相等的小段 每段長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是120 180 300的公約數(shù) 最長(zhǎng) 長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是120 180 300的最大公約數(shù) 解 120 180 300 4 6 10 2 3 5 30 2 120 180 300 30 2 60 答 每段最長(zhǎng)60厘米 一共可以截成10段 所以 每小段最長(zhǎng)是60厘米 120 60 180 60 300 60 2 3 5 10 段 4 合理設(shè)置工序的工位 例4 加工某種機(jī)器零件 要經(jīng)過三道工序 第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成3個(gè)零件 第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成10個(gè) 第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成5個(gè) 要使加工生產(chǎn)均衡 三道工序至少各分配幾個(gè)工人 分析 要使生產(chǎn)均衡 各道工序生產(chǎn)出的零件應(yīng)當(dāng)一樣多 且正好是3 10和5的公倍數(shù) 解 要使生產(chǎn)均衡 各道工序生產(chǎn)出的零件應(yīng)當(dāng)一樣多 并且是3 10和5的公倍數(shù) 3 10 5 3 2 1 5 3 10 5 5 3 2 1 30 各道工序均應(yīng)加工30個(gè)零件 答 三道工序至少分別需要10個(gè) 3個(gè) 6個(gè)工人 30 3 1030 10 330 5 6 例5 一次會(huì)餐有三種飲料 餐后統(tǒng)計(jì) 三種飲料共用了65瓶 已知 平均每2人飲用一瓶A飲料 每3人飲用一瓶B飲料 每4人飲用一瓶C飲料 問參加會(huì)餐的人數(shù)是多少人 分析 由題意知參加會(huì)餐的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是2 3 4的公倍數(shù) 試一下看看 解 2 3 4 12 參加會(huì)餐的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是12的倍數(shù) 又 每12人用12 2 12 3 12 4 6 4 3 13 個(gè)飲料瓶 65 13 5 參加會(huì)餐的人數(shù)是12 5 60 人 答 參加會(huì)餐的人數(shù)是60人 思路回眸 一 在解決有關(guān)最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)問題時(shí) 關(guān)鍵是分析題意 弄清是求最大公約數(shù)或最小公倍數(shù) 在把幾個(gè)數(shù)進(jìn)行拆分的時(shí)候 常常當(dāng)需要求幾個(gè)數(shù)共同的約數(shù) 可以利用短除法求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù) 一般情況下 當(dāng)求的數(shù)相對(duì)于已知條件處于被除數(shù)位置時(shí) 求的是最小公倍數(shù) 拼或同時(shí)的時(shí)候 求公倍數(shù) 三 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系 例9 兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是4 最小公倍數(shù)是252 其中一個(gè)是28 另一個(gè)數(shù)是多少 分析 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積即 a b a b a b利用這個(gè)關(guān)系可以迅速地解答此類問題 如果不理解這個(gè)關(guān)系式 我們看下面的分析 解 設(shè)所求的數(shù)是x 則有 X28 y7 X與28的最小公倍數(shù)是252 4 4 y 7 252 y 252 4 7 9 x 4 y 4 9 36 答 這個(gè)數(shù)是36 我們來看最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系 x28 4 y 4 7 4 252 而x 4 y 28 4 7 在上面的題目中 x 28 4 x 28 4 y 7 252 即 a b a b a b 四 求兩個(gè)較大數(shù)最大公約數(shù)的方法輾轉(zhuǎn)相除法 例6 一張長(zhǎng)方形紙片 長(zhǎng)2703厘米 寬1113厘米 要把它剪成若干個(gè)同樣大小的正方形 紙張不能有剩余且正方形的邊長(zhǎng)要盡可能大 問 這樣的正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米 分析 小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是2703和1113的最大公約數(shù) 怎樣求2703和1113的最大公約數(shù) 我們可以這樣想 剪成的正方形的邊長(zhǎng)既然是1113的約數(shù) 那么剪好的正方形一定能鋪滿以1113為邊的大正方形 于是 輾轉(zhuǎn)相除法 2703 1113 2 477 第一步 大數(shù)除以小數(shù) 1113 477 2 159 第二步 小數(shù)除以第一步的余數(shù) 477 159 3 第三步 第一步的余數(shù)除以第二步的余數(shù) 這里2703 159 171113 159 7 7 17 1 除到整除時(shí) 最后一步的除數(shù)就是最大公約數(shù) 這種求最大公約數(shù)的方法 輾轉(zhuǎn)相除法 例7 求4811和1981的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù) 解 4811 1981 2 8491981 849 2 283849 283 3 4811 1981 283根據(jù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系可以求出 4811 1981 4811 1981 283 33677 小結(jié) 1 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念2 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系3 怎樣求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)4 應(yīng)用題型 1 最大公約數(shù)的應(yīng)用 2 求最小公倍數(shù)的應(yīng)用 3 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用 4 輾轉(zhuǎn)相除法的應(yīng)用