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專題57 排列組合中的常見模型 【熱點聚焦與擴展】 縱觀近幾年的高考試題，排列組合問題往往以實際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理，同時考查分類討論的思想及解決問題的能力．除了以選擇、填空的形式考查，也往往在解答題中與古典概型概率計算相結合進行考查． 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎上，舉例說明排列組合中的常見模型的解法. （一）處理排列組合問題的常用思路： 1、特殊優(yōu)先：對于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時優(yōu)先安排，然后再去處理無要求的元素. 例如：用組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？ 2、尋找對立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對立面，再用全部可能的總數(shù)減去對立面的個數(shù)即可. 3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)是指從個元素中取出個元素，再將這個元素進行排列.但有時會出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時就要將過程拆分成兩個階段，可先將所需元素取出，然后再進行排列. （二）排列組合的常見模型 1、捆綁法（整體法）：當題目中有“相鄰元素”時，則可將相鄰元素視為一個整體，與其他元素進行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可. 2、插空法：當題目中有“不相鄰元素”時，則可考慮用剩余元素“搭臺”，不相鄰元素進行“插空”，然后再進行各自的排序 注：（1）要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊 （2）要從題目中判斷是否需要各自排序 3、錯位排列：排列好的個元素，經過一次再排序后，每個元素都不在原先的位置上，則稱為這個元素的一個錯位排列.例如對于，則是其中一個錯位排列.3個元素的錯位排列有2種，4個元素的錯位排列有9種，5個元素的錯位排列有44種.以上三種情況可作為結論記住 4、依次插空：如果在個元素的排列中有個元素保持相對位置不變，則可以考慮先將這個元素排好位置，再將個元素一個個插入到隊伍當中（注意每插入一個元素，下一個元素可選擇的空） 5、不同元素分組：將個不同元素放入個不同的盒中 6、相同元素分組：將個相同元素放入個不同的盒內，且每盒不空，則不同的方法共有種.解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應那個盒子. 7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進行涂色即可. 【經典例題】 例1.【2017課標II，理6】安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ） A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 【答案】D 【解析】 由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有種方法. 故選D. 例2.【重慶市2018屆三?！可匠寝r業(yè)科學研究所將5種不同型號的種子分別試種在5塊并成一排的試驗田里，其中兩型號的種子要求試種在相鄰的兩塊試驗田里，且均不能試種在兩端的試驗田里，則不同的試種方法數(shù)為 （ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B (1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法. 例3.【2018年理新課標I卷】從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案） 【答案】16 點睛：該題是一道關于組合計數(shù)的題目，并且在涉及到至多至少問題時多采用間接法，總體方法是得出選3人的選法種數(shù)，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有1名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運算求解. 例4.【2017浙江卷16】從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有______中不同的選法．（用數(shù)字作答） 【答案】660 【解析】由題意可得：總的選擇方法為種方法，其中不滿足題意的選法有種方法，則滿足題意的選法有：種． 例5.【2018年浙江卷】從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成___________個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答) 【答案】1260 點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法： (1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法. 例6.【2017天津，理14】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個.（用數(shù)字作答） 【答案】 【解析】 【名師點睛】計數(shù)原理包含分類計數(shù)原理（加法）和分步計數(shù)原理（乘法），組成四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，包括四位數(shù)字有一個是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類，利用加法原理計數(shù). 例7.【2018屆浙江省教育綠色評價聯(lián)盟5月考試】有7個球，其中紅色球2個（同色不加區(qū)分），白色，黃色，藍色，紫色，灰色球各1個，將它們排成一行，要求最左邊不排白色，2個紅色排一起，黃色和紅色不相鄰，則有______種不同的排法（用數(shù)字回答）． 【答案】408 【解析】分析：把紅色球看做一個處理，利用分類計數(shù)原理結合分步計數(shù)原理，由左至右逐一排放，然后求和即可. 詳解： 1 2 3 4 5 6 排列方法有：，故答案為. 點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，屬于難題.有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率. 例8.【2018屆安徽省合肥市三?！咳鐖D，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有 A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【答案】C 例9.【2018屆四川省成都市第七中學三診】已知參加某項活動的六名成員排成一排合影留念，且甲乙兩人均在丙領導人的同側，則不同的排法共有（ ） A. 240種 B. 360種 C. 480種 D. 600種 【答案】C 【解析】分析：本題屬于有限制條件的排列問題，解題時可按照領導丙的位置分為6類，求出每一類的排法后再根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解總的排法． 詳解：用分類討論的方法解決．如圖中的6個位置， 1 2 3 4 5 6 ①當領導丙在位置1時，不同的排法有種； ②當領導丙在位置2時，不同的排法有種； ③當領導丙在位置3時，不同的排法有種； ④當領導丙在位置4時，不同的排法有種； ⑤當領導丙在位置5時，不同的排法有種； ⑥當領導丙在位置1時，不同的排法有種． 由分類加法計數(shù)原理可得不同的排法共有480種． 故選C． 例10.【2018屆甘肅省西北師范大學附屬中學沖刺診斷】第十九屆西北醫(yī)療器械展覽將于2018年5月18至20日在蘭州舉行,現(xiàn)將5名志愿者分配到3個不同的展館參加接待工作，每個展館至少分配一名志愿者的分配方案種數(shù)為 （ ） A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 【答案】D 由分類計數(shù)原理得，共有種不同的分法，故選D． 點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式． 【精選精練】 1.【2018屆湖南省長沙市長郡中學模擬卷（二）】《中國詩詞大會》亮點頗多，十場比賽每場都有一首特別設計的開場詩詞，在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有韻味．因為前四場播出后反響很好，所以節(jié)目組決定《將進酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場，并要求《將進酒》與《望岳》相鄰，且《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有（ ） A. 144種 B. 48種 C. 36種 D. 72種 【答案】C 【解析】分析：采取“捆綁法”、“插空法”，利用分步計數(shù)乘法原理可得結果. 詳解：將《將進酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進行全排列共有種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在個空里（最后一個空不排），有種排法，則后六場的排法有種，故選C. 2.【2018屆貴州省凱里市第一中學高四模】集合，從集合中各取一個數(shù)，能組成（ ）個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B 【解析】分析：分別從集合A，B取一個數(shù)字，再全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理即可得到答案． 詳解： 故選：B. 3.【山東省煙臺市2018年春季高考一?！坑忻麑W生站成一排照相，其中甲、乙兩人必須站在一起的排法有（ ） A. 種 B. 種 C. 種 D. 種 【答案】D ②將這個整體與其余人全排列，有種情況， 則甲、乙兩人必須站在一起的排法共有種排法，故選D． 點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式． 4.【2018屆浙江省寧波市5月模擬】若用紅、黃、藍、綠四種顏色填涂如圖方格，要求有公共頂點的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方案數(shù)有 A. 種 B. 種 C. 種 D. 種 【答案】C 【解析】分析：直接按照乘法分步原理解答. 詳解： 點睛：（1）本題主要考查排列組合計數(shù)原理的應用，意在考查學生的邏輯思維能力和排列組合的基本運算能力.解答排列組合時，要思路清晰，排組分清.（2）解答本題時，要注意審題，“有公共頂點的兩個格子顏色不同”，如C和D有公共的頂點，所以顏色不能相同. 5.【2018屆福建省泉州市5月檢查】李雷和韓梅梅兩人都計劃在國慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都--泉州”“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有 A. 16種 B. 18種 C. 20種 D. 24種 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)分類計數(shù)原理，“東亞文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，任意相鄰兩天組合一起，一共有6種情況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分兩種情況討論即可． 詳情：任意相鄰兩天組合一起，一共有6種情況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦， 若李雷選①②或⑥⑦，則韓梅梅有4種選擇， 選若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥，則韓梅梅有3種選擇， 故他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有2（4+6）=20， 故答案為：C. 6．【騰遠2018年浙江卷紅卷】北京兩會期間，有甲、乙、丙、丁、戊位國家部委領導人要去個分會場發(fā)言（每個分會場至少人），其中甲和乙要求不再同一分會場，甲和丙必須在同一分會場，則不同的安排方案共有__________種（用數(shù)字作答）. 【答案】30 【解析】分析：由題意甲和丙在同一分會場，甲和乙不在同一分會場，所以有“”和“”兩種分 點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式． 7．【2018屆湖南省益陽市5月18日統(tǒng)考】現(xiàn)有8本雜志，其中有3本是完全相同的文學雜志，還有5本是互不相同的數(shù)學雜志，從這8本里選取3本，則不同選法的種數(shù)為__________． 【答案】26 【解析】分析：從選取的數(shù)學雜志的本數(shù)入手討論即可. 詳解：若選取的三本書沒有數(shù)學雜志，有1種選法 若選取的三本書有1本數(shù)學雜志，有種選法 若選取的三本書有2本數(shù)學雜志，有種選法 若選取的三本書有1本數(shù)學雜志，有種選法 故不同選法的種數(shù)為26. 8．【2018屆浙江省杭州市第二次檢測】盒子里有完全相同的6個球，每次至少取出1個球(取出不放回)，取完為止，則共有_______種不同的取法（用數(shù)字作答）． 【答案】32 9．2018年6月份上合峰會在青島召開,面向高校招募志愿者,中國海洋大學海洋環(huán)境學院的8名同學符合招募條件并審核通過,其中大一、大二、大三、大四每個年級各2名.若將這8名同學分成甲乙兩個小組,每組4名同學,其中大一的兩名同學必須分到同一組,則分到乙組的4名同學中恰有2名同學是來自于同一年級的分組方式共有__________種． 【答案】24 【解析】分析：首先要明確該題應該分類討論，第一類是大一的兩名同學在乙組，第二類是大一的兩名同學不在乙組，利用組合知識，求得相應的數(shù)，之后應用分類加法計數(shù)原理，求得結果，問題得以解決. 詳解：根據(jù)題意，第一類：大一的兩名同學在乙組，乙組剩下的兩個來自不同的年級，從三個年級中選兩個為種，然后分別從選擇的年級中再選擇一個學生為種，故有種； 第二類：大一的兩名同學不在乙組，則從剩下的三個年級中選擇一個年級的兩名同學在乙組，為種，然后再從剩下的兩個年級中分別選擇一人為種，這時共有種； 根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有種不同的分組方式. 10．【2018屆山東省煙臺市高考適應性練習（一）】上合組織峰會將于2018年6月在青島召開，組委會預備在會議期間將這五名工作人員分配到兩個不同的地點參與接待工作.若要求必須在同一組，且每組至少2人，則不同分配方法的種數(shù)為__________． 【答案】8. 【解析】分析：AB捆綁在一起，分兩類，一類是A、B兩人在一組，另三人在一組，一類是A、B再加另一人在一組，另一組只有2人，還要注意有兩個地點是不同的. 詳解：由題意不同的分配方法為， 故答案為8. 11．【2018屆天津市河東區(qū)二模】一共有5名同學參加《我的中國夢》演講比賽，3名女生和2名男生，如果男生不排第一個演講，同時兩名男生不能相鄰演講，則排序方式有_______種．（用數(shù)字作答） 【答案】36. 12．【2018屆天津市部分區(qū)質量調查（二）】天津大學某學院欲安排4名畢業(yè)生到某外資企業(yè)的三個部門實習，要求每個部門至少安排1人，其中甲大學生不能安排到部門工作的方法有_______種（用數(shù)字作答）. 【答案】24 【解析】分析：根據(jù)題意，設4名畢業(yè)生為甲、，分2種情況討論：①，甲單獨一人分配到或部門，②，甲和其他人一起分配到或部門，由加法原理計算可得答案． 詳解：根據(jù)題意，設4名畢業(yè)生為甲、，分2種情況討論： ①，甲單獨一人分配到或部門，則甲有2種情況， 將分成2組，有種分組方法，再將2組全排列，分配到其他2個部門，有種情況，