《2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題50 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題50 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.doc（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

專題50 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【熱點聚焦與擴展】 縱觀近幾年的高考試題，高考對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，一直是命題的熱點，較多的考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系問題；有時，先求軌跡方程，再進(jìn)一步研究直線與曲線的位置關(guān)系.命題的主要特點有：一是以過特殊點的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，綜合性較強，往往與向量（共線、垂直、數(shù)量積）結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題等.本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點說明直線與橢圓、直線與拋物線位置關(guān)系問題的解法與技巧. （一）直線與橢圓位置關(guān)系 1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個公共點），相切（一個公共點），相離（無公共點） 2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過方程根的個數(shù)進(jìn)行判定， 下面以直線和橢圓：為例 （1）聯(lián)立直線與橢圓方程： （2）確定主變量（或）并通過直線方程消去另一變量（或），代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程：，整理可得： （3）通過計算判別式的符號判斷方程根的個數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系 ① 方程有兩個不同實根直線與橢圓相交 ② 方程有兩個相同實根直線與橢圓相切 ③ 方程沒有實根直線與橢圓相離 3、若直線上的某點位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交 （二）直線與拋物線位置關(guān)系：相交，相切，相離 1、位置關(guān)系的判定：以直線和拋物線：為例 聯(lián)立方程：，整理后可得： （1）當(dāng)時，此時方程為關(guān)于的一次方程，所以有一個實根.此時直線為水平線，與拋物線相交 （2）當(dāng)時，則方程為關(guān)于的二次方程，可通過判別式進(jìn)行判定 ① 方程有兩個不同實根直線與拋物線相交 ② 方程有兩個相同實根直線與拋物線相切 ③ 方程沒有實根直線與拋物線相離 2、焦點弦問題：設(shè)拋物線方程：， 過焦點的直線（斜率存在且），對應(yīng)傾斜角為，與拋物線交于 聯(lián)立方程：，整理可得： （1） （2） （3） （三）直線與雙曲線位置關(guān)系 1、直線與雙曲線位置關(guān)系，相交，相切，相離 2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個數(shù)進(jìn)行判定 以直線和橢圓：為例： （1）聯(lián)立直線與雙曲線方程：，消元代入后可得： （2）與橢圓不同，在橢圓中，因為，所以消元后的方程一定是二次方程，但雙曲線中，消元后的方程二次項系數(shù)為，有可能為零.所以要分情況進(jìn)行討論 當(dāng)且時，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有一個根.此時直線與雙曲線相交，只有一個公共點 當(dāng)時，常數(shù)項為，所以恒成立，此時直線與雙曲線相交 當(dāng)或時，直線與雙曲線的公共點個數(shù)需要用判斷： ① 方程有兩個不同實根直線與雙曲線相交 ② 方程有兩個相同實根直線與雙曲線相切 ③ 方程沒有實根直線與雙曲線相離 注：對于直線與雙曲線的位置關(guān)系，不能簡單的憑公共點的個數(shù)來判定位置.尤其是直線與雙曲線有一個公共點時，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二次方程解出相同的根，則為相切 （3）直線與雙曲線交點的位置判定：因為雙曲線上的點橫坐標(biāo)的范圍為，所以通過橫坐標(biāo)的符號即可判斷交點位于哪一支上：當(dāng)時，點位于雙曲線的右支；當(dāng)時，點位于雙曲線的左支.對于方程： ，設(shè)兩個根為 ① 當(dāng)時，則，所以異號，即交點分別位于雙曲線的左，右支 ② 當(dāng)或，且時，，所以同號，即交點位于同一支上 （4）直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋：通過（2）可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān)，其分界點剛好與雙曲線的漸近線斜率相同.所以可通過數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)系的判定 ① 且時，此時直線與漸近線平行，可視為漸近線進(jìn)行平移，則在平移過程中與雙曲線的一支相交的同時，也在遠(yuǎn)離雙曲線的另一支，所以只有一個交點 ② 時，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直線，直線均與雙曲線有兩個交點，且兩個交點分別位于雙曲線的左，右支上. ③ 或時，此時直線比漸近線“更陡”，通過平移觀察可得：直線不一定與雙曲線有公共點（與的符號對應(yīng)），可能相離，相切，相交，如果相交則交點位于雙曲線同一支上. （四）圓錐曲線問題的解決思路與常用公式： 1、直線與圓錐曲線問題的特點： （1）題目貫穿一至兩個核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉）， （2）條件與直線和曲線的交點相關(guān)，所以可設(shè)，至于坐標(biāo)是否需要解出，則看題目中的條件，以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜 （3）通過聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于（或）的二次方程，如果所求的問題與兩根的和或乘積有關(guān)，則可利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入，從而不需求出（所謂“設(shè)而不求”） （4）有些題目會涉及到幾何條件向解析語言的轉(zhuǎn)換，注重數(shù)形幾何，注重整體代入.則可簡化運算的過程 這幾點歸納起來就是“以一個（或兩個）核心變量為中心，以交點為兩個基本點，堅持韋達(dá)定理四個基本公式（，堅持?jǐn)?shù)形結(jié)合，堅持整體代入.直至解決解析幾何問題“ 2、韋達(dá)定理：是用二次方程的系數(shù)運算來表示兩個根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)致直接利用求根公式計算出來的實根形式非常復(fù)雜，難以參與后面的運算；二是解析幾何的一些問題或是步驟經(jīng)常與兩個根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系.進(jìn)而在思路上就想利用韋達(dá)定理，繞開繁雜的求根結(jié)果，通過整體代入的方式得到答案.所以說，解析幾何中韋達(dá)定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方.如果二次方程的根易于表示（優(yōu)先求點，以應(yīng)對更復(fù)雜的運算），或者所求的問題與兩根和，乘積無關(guān)，則韋達(dá)定理毫無用武之地. 3、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式： （1）斜截式：，此直線不能表示豎直線.聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問題時要注意檢驗斜率不存在的直線是否符合條件 （2），此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線.經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時使用，多用于拋物線（消元后的二次方程形式簡單）.此直線不能直接體現(xiàn)斜率，當(dāng)時，斜率 4、弦長公式：（已知直線上的兩點距離）設(shè)直線，上兩點，所以或 （1）證明：因為在直線上，所以 ，代入可得： 同理可證得 （2）弦長公式的適用范圍為直線上的任意兩點，但如果為直線與曲線的交點（即為曲線上的弦），則（或）可進(jìn)行變形：，從而可用方程的韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入. 5、點差法：這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線.不妨以橢圓方程為例，設(shè)直線與橢圓交于兩點，則該兩點滿足橢圓方程，有： 考慮兩個方程左右分別作差，并利用平方差公式進(jìn)行分解，則可得到兩個量之間的聯(lián)系： ① ② 由等式可知：其中直線的斜率，中點的坐標(biāo)為，這些要素均在②式中有所體現(xiàn).所以通過“點差法”可得到關(guān)于直線的斜率與中點的聯(lián)系，從而能夠處理涉及到弦與中點問題時.同時由①可得在涉及坐標(biāo)的平方差問題中也可使用點差法 【經(jīng)典例題】 例1.【2018年天津卷理】已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點. 設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 不妨設(shè)： ， 雙曲線的一條漸近線方程為： ， 據(jù)此可得： ， ， 則，則， 雙曲線的離心率： ， 據(jù)此可得： ，則雙曲線的方程為. 本題選擇C選項. 點睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可. 例2.【2018年新課標(biāo)I卷理】設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：， 解得，又， 所以， 從而可以求得，故選D. 點睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點坐標(biāo)所滿足的條件的問題，在求解的過程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程組，消元化簡求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應(yīng)用向量坐標(biāo)公式求得向量的坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果，也可以不求點M、N的坐標(biāo)，應(yīng)用韋達(dá)定理得到結(jié)果. 例3.過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 思路二：線段為橢圓的弦，且問題圍繞著弦中點展開，在圓錐曲線中處理弦中點問題可用“點差法”，設(shè)，則有，兩式作差，可得：，發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點和斜率相關(guān)的要素，其中，所以，且，所以等式化為即，所以 答案：D 點睛：兩類問題適用于點差法，都是圍繞著點差后式子出現(xiàn)平方差的特點. （1）涉及弦中點的問題，此時點差之后利用平方差進(jìn)行因式分解可得到中點坐標(biāo)與直線斜率的聯(lián)系 （2）涉及到運用兩點對應(yīng)坐標(biāo)平方差的條件，也可使用點差法 例4.【2018年北京卷文】已知直線l過點（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標(biāo)為_________. 【答案】 焦點坐標(biāo)為. 例5. 【2018年浙江卷】已知點P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大． 【答案】5 與對應(yīng)相減得，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值. 例6.【2018年浙江卷】如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上． （Ⅰ）設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸； （Ⅱ）若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ） 【解析】分析: （Ⅰ）設(shè)P,A,B的縱坐標(biāo)為，根據(jù)中點坐標(biāo)公式得PA,PB的中點坐標(biāo)，代入拋物線方程，可得，即得結(jié)論，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面積為，利用根與系數(shù)的關(guān)系可表示為的函數(shù)，根據(jù)半橢圓范圍以及二次函數(shù)性質(zhì)確定面積取值范圍. 詳解：（Ⅰ）設(shè)，，． 因為，的中點在拋物線上，所以，為方程 即的兩個不同的實數(shù)根． 因為，所以． 因此，面積的取值范圍是． 例7.【2018年天津卷理】設(shè)橢圓 (a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標(biāo)為，且. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線l： 與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若 (O為原點) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或 【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a=3，b=2．則橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x1，y1），點Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由題意可得5y1=9y2．由方程組可得．由方程組可得．據(jù)此得到關(guān)于k的方程，解方程可得k的值為或 詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有， 又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得， ， ， 由，可得ab=6，從而a=3，b=2． 所以，橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x1，y1），點Q的坐標(biāo)為（x2，y2）． 由5y1=9y2，可得5（k+1）=， 兩邊平方，整理得， 解得，或． 所以，k的值為或 例8.【2018年北京卷理】已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N． （Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值． 【答案】(1) 取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)證明過程見解析 【解析】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，．再由，得，．利用直線PA， 又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）．從而k≠-3． 所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直線PA的方程為y–2=． 令x=0，得點M的縱坐標(biāo)為． 同理得點N的縱坐標(biāo)為． 由，得，． 所以． 所以為定值． 例9. 已知拋物線的焦點為. (1)若斜率為的直線過點與拋物線交于兩點,求的值; (2)過點作直線與拋物線交于兩點,且,求的取值范圍. 【答案】(1)8；(2) . . ∵, ∴ . 又∵,∴恒成立,∴恒成立. ∵,∴只需即可,解得. ∴所求的取值范圍為. 例10.【2018屆四川省成都市第七中學(xué)模擬一】已知圓，點圓上一動點，，點在直線上，且，記點的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）已知，過點作直線與曲線交于不同兩點，線段的中垂線為，線段的中點為點，記與軸的交點為，求的取值范圍. 【答案】（1）（2） 詳解：（1）. （2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)：. 聯(lián)立直線與橢圓，消去得. ， 又，解得， ， 所以 所以，即. 所以. 【精選精練】 1.【2018屆峨眉山市第七教育發(fā)展聯(lián)盟高考適應(yīng)性考試】已知雙曲線的一條漸近線為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：通過橢圓的焦點，可以求出雙曲線的，根據(jù)雙曲線的漸近線可以得到，再由雙曲線中 的等量關(guān)系可以通過方程組求出的值。 詳解：橢圓的焦點坐標(biāo)為 ，所以 由漸近線方程，得 所以 ，可解得 所以標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以選A 2．橢圓的離心率為，為橢圓的一個焦點，若橢圓上存在一點與關(guān)于直線對稱，則橢圓的方程為 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 3．【2018屆安徽省合肥市第一中學(xué)最后1卷】點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，且，則稱點為“點”.下列結(jié)論中正確的是（ ） A. 直線上的所有點都是“點” B. 直線上僅有有限個點是“點” C. 直線上的所有點都不是“點” D. 直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點” 【答案】A 【解析】分析：設(shè)，由，可得，由在上，可得關(guān)于的方程，證明方程恒有解即可得結(jié)論 詳解： 如圖所示，設(shè)， 方程恒有實數(shù)解， 點在直線上，總存在過的直線交拋物線于兩點， 且，所以，直線上的所有點都是“點”，故選A. 點睛：新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.本題定義“點”達(dá)到考查共線向量、直線與拋物線的位置關(guān)系的目. 4．【2018屆安徽亳州市渦陽一中最后一卷】已知為坐標(biāo)原點，過點作兩條直線與拋物線：相切于，兩點，則面積的最小值為__________． 【答案】 【解析】分析：求出以為切點的切線方程為，為切點的切線方程為，代入，可得， 同理為切點的切線方程為，代入， 可得， 過的直線方程為，聯(lián)立， 可得，， 又到直線的距離為， ， 當(dāng)時，等號成立，故答案為. 點睛：解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解. 5．【2018屆安徽省宿州市第三次檢測】拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，交拋物線的準(zhǔn)線于點，若，，則__________． 【答案】1或3 結(jié)合可得：， 直線的方程為：， 與拋物線方程整理可得：， 則：，結(jié)合可得： ，則； 當(dāng)點B位于點A下方時，由幾何關(guān)系可知：， 代入拋物線方程可得：， 綜上可得，p的值為1或3. 6．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且垂直于軸的直線截橢圓形成的弦長為，且橢圓的離心率為，過點的直線與橢圓交于兩點. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若點，且，則當(dāng)取得最小值時，求直線的方程. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】（1）聯(lián)立解得，故. 又， ，解得， ， 整理得，所以， ， 故 . 綜上所述， 的最小值為，此時直線的方程為. 7.【2018屆江西省重點中學(xué)協(xié)作體第二次聯(lián)考】已知橢圓： 的離心率為，短軸為.點滿足. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)為坐標(biāo)原點，過點的動直線與橢圓交于點、，是否存在常數(shù)使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）.（2）答案見解析. 【解析】分析：（1）由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得的方程為. （2）當(dāng)不為軸時，設(shè)：，、.聯(lián)立與的方程可得，結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得.當(dāng)為軸時，也滿足上述結(jié)論.則存在使得 . 因為為定值，所以， 解得.此時定值為. 當(dāng)為軸時，，.. 綜上，存在使得為定值. 8．【2018年天津卷文】設(shè)橢圓 的右頂點為A，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線與橢圓交于兩點，與直線交于點M，且點P，M均在第四象限.若的面積是面積的2倍，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 詳解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．由,從而． 所以，橢圓的方程為． （II）設(shè)點P的坐標(biāo)為，點M的坐標(biāo)為，由題意，， 點的坐標(biāo)為．由的面積是面積的2倍，可得， 從而，即． 易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或． 當(dāng)時，，不合題意，舍去；當(dāng)時，，，符合題意． 所以，的值為． 點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意： (1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件； (2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題． 9．【2018年北京卷文】已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B. （Ⅰ）求橢圓M的方程； （Ⅱ）若，求 的最大值； （Ⅲ）設(shè)，直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若C,D和點 共線，求k. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） （Ⅱ）設(shè)直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 設(shè)， ，則， ， 則， 易得當(dāng)時， ，故的最大值為． （Ⅲ）設(shè)， ， ， ， 則 ①， ②， 又，所以可設(shè)，直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 又，代入①式可得，所以， 所以，同理可得． 故， ， 因為三點共線，所以， 將點的坐標(biāo)代入化簡可得，即． 10.【2018年新課標(biāo)I卷文】設(shè)拋物線，點， ，過點的直線與交于， 兩點． （1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程； （2）證明： ． 【答案】(1) y=或． (2)見解析. （2）當(dāng)l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN． 當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），則x1>0，x2>0． 由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4． 綜上，∠ABM=∠ABN． 點睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的問題，涉及到的知識點有直線方程的兩點式、直線與拋物線相交的綜合問題、關(guān)于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方程的時候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個，關(guān)于第二問，在做題的時候需要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達(dá)定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來得到角是相等的結(jié)論. 11.【2018年新課標(biāo)I卷理】設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標(biāo)為. （1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點，證明：. 【答案】(1) AM的方程為或. (2)證明見解析. 【解析】分析：(1)首先根據(jù)與軸垂直，且過點，求得直線l的方程為x=1，代入橢圓方程求得點A的坐標(biāo)為或，利用兩點式求得直線的方程； (2)分直線l與x軸重合、l與x軸垂直、l與x軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果. 詳解：（1）由已知得，l的方程為x=1. 由已知可得，點A的坐標(biāo)為或. 所以AM的方程為或. （2）當(dāng)l與x軸重合時，. 將代入得 . 所以，. 則. 從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以. 綜上，. 12.如圖，設(shè)為拋物線上不同的四點，且點關(guān)于軸對稱，平行于該拋物線在點處的切線. （1）求證：直線與直線的傾斜角互補； （2）若，且的面積為16，求直線的方程. 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】分析：（1）設(shè)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，于是可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得到關(guān)于x的一元二次方程，然后根據(jù)斜率公式和根與系數(shù)的關(guān)系證得，即證得直線與直線的傾斜角互補．（2）由可得，由 由消去y整理得， 因為直線與拋物線交于兩點， 所以． 設(shè)， 則． 因為， 所以直線與直線的傾斜角互補． （2）因為， 所以， 即，． 解得． 所以當(dāng)時，直線的方程為．