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第二講　不等式選講 年份 卷別 考查內(nèi)容及考題位置 命題分析 2018 Ⅰ卷 絕對(duì)值不等式的解法、不等式的應(yīng)用及恒成立問題T23 1.不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點(diǎn)是不等式的證明、絕對(duì)值不等式的解法等，命題的熱點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的求解，以及絕對(duì)值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解． 2.此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用. Ⅱ卷 絕對(duì)值不等式的解法、不等式的應(yīng)用及恒成立問題T23 Ⅲ卷 分段函數(shù)圖象的畫法與應(yīng)用T23 2017 Ⅰ卷 含絕對(duì)值不等式的解法、求參數(shù)的取值范圍T23 Ⅱ卷 基本不等式的應(yīng)用、一些常用的變形及證明不等式的方法T23 Ⅲ卷 含絕對(duì)值不等式的解法、函數(shù)最值的求解T23 2016 Ⅰ卷 含絕對(duì)值不等式的解法、分段函數(shù)的圖象T24 Ⅱ卷 含絕對(duì)值不等式的解法、比較法證明不等式T24 Ⅲ卷 含絕對(duì)值不等式的解法、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)T24 含絕對(duì)值不等式的解法及應(yīng)用 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第71頁(yè) [悟通——方法結(jié)論] 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 (1)若c＞0，則|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根據(jù)a，b的取值求解即可； (2)若c＜0，則|ax＋b|≤c的解集為?，|ax＋b|≥c的解集為R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 (1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的一次式為0，求出相應(yīng)的根； (2)把這些根由小到大排序，它們把數(shù)軸分為若干個(gè)區(qū)間； (3)在所分區(qū)間上，根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，討論所得的不等式在這個(gè)區(qū)間上的解集； (4)這些解集的并集就是原不等式的解集． 　(2017高考全國(guó)卷Ⅰ)(10分)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范圍． [規(guī)范解答]　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)等價(jià)于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.① 當(dāng)x<－1時(shí)，①式化為x2－3x－4≤0，無解； (2分) 當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，①式化為x2－x－2≤0， 從而－1≤x≤1； 當(dāng)x>1時(shí)，①式化為x2＋x－4≤0， 從而12時(shí)，由f(x)≥1解得x>2. 所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}． (2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x| ＝－2＋ ≤， 且當(dāng)x＝時(shí)，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝. 故m的取值范圍為. 2．(2018成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R. (1)當(dāng)k＝1時(shí)，若不等式f(x)＜4的解集為{x|x1＜x＜x2}，求x1＋x2的值； (2)當(dāng)x∈R時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≥k恒成立，求k的最大值． 解析：(1)由題意，得|x－2|＋|x＋1|＜4. 當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為2x＜5，∴2＜x＜； 當(dāng)x＜－1時(shí)，原不等式可化為－2x＜3，∴－＜x＜－1； 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為3＜4，∴－1≤x≤2. 綜上，原不等式的解集為{x|－＜x＜}，即x1＝－，x2＝. ∴x1＋x2＝1. (2)由題意，得|x－2|＋k|x＋1|≥k. 當(dāng)x＝2時(shí)，即不等式3k≥k成立，∴k≥0. 當(dāng)x≤－2或x≥0時(shí)， ∵|x＋1|≥1，∴不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成立． 當(dāng)－2＜x≤－1時(shí)， 原不等式可化為2－x－kx－k≥k，可得k≤＝－1＋， ∴k≤3. 當(dāng)－1＜x＜0時(shí)， 原不等式可化為2－x＋kx＋k≥k，可得k≤1－， ∴k＜3. 綜上，可得0≤k≤3，即k的最大值為3. 【類題通法】 　不等式恒成立問題關(guān)鍵在于利用轉(zhuǎn)化思想，常見的有： f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a；f(x)＞a有解?f(x)max＞a；f(x)＜a有解?f(x)min＜a；f(x)＞a無解?f(x)max≤a；f(x)＜a無解?f(x)min≥a. 不等式的證明 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第72頁(yè) [悟通——方法結(jié)論] 證明不等式的5個(gè)基本方法 (1)比較法：作差或作商比較． (2)綜合法：根據(jù)已知條件、不等式的性質(zhì)、基本不等式，通過邏輯推理導(dǎo)出結(jié)論． (3)分析法：執(zhí)果索因的證明方法． (4)反證法：反設(shè)結(jié)論，導(dǎo)出矛盾． (5)放縮法：通過把不等式中的部分值放大或縮小的證明方法． [全練——快速解答] 1．(2017高考全國(guó)卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2) a＋b≤2. 證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 2．(2018南寧柳州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|. (1)求不等式f(x)≥3－2|x|的解集； (2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋|x＋3|的最小值為m，正數(shù)a，b滿足a＋b＝m，求證：＋≥4. 解析：(1)當(dāng)x≥1時(shí)，x－1≥3－2x，解得x≥，∴x≥； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1－x≥3－2x，解得x≥2，無解； 當(dāng)x≤0時(shí)，1－x≥3＋2x?x≤－，∴x≤－. ∴原不等式的解集為{x|x≥或x≤－}． (2)證明：法一：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，∴m＝4，即a＋b＝4. 又＋b≥2a，＋a≥2b， ∴兩式相加得(＋b)＋(＋a)≥2a＋2b，∴＋≥a＋b＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)等號(hào)成立． 法二：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，∴m＝4，即a＋b＝4， 由柯西不等式得(＋)(b＋a)≥(a＋b)2，∴＋≥a＋b＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝2時(shí)等號(hào)成立． 【類題通法】 不等式證明的常用方法 對(duì)于不等式的證明問題常用比較法、綜合法和分析法． (1)一般地，對(duì)于含根號(hào)的不等式和含絕對(duì)值的不等式的證明，“平方法”(即不等號(hào)兩邊平方)是其有效方法． (2)如果所證命題是否定性命題或唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出，則考慮用反證法． (3)能轉(zhuǎn)化為比較大小的可以用比較法． (4)利用基本不等式證明的多用綜合法與分析法. 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第144頁(yè) 1．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，x∈R. (1)解不等式f(x)＜|x|＋1； (2)若對(duì)x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求證：f(x)＜1. 解析：(1)∵f(x)＜|x|＋1，∴|2x－1|＜|x|＋1， 即或 或 得≤x＜2或0＜x＜或無解． 故不等式f(x)＜|x|＋1的解集為{x|0＜x＜2}． (2)證明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2＋＝＜1. 2．(2018高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)?(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)畫出y＝?(x)的圖象； (2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，?(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值． 解析：(1)?(x)＝ y＝?(x)的圖象如圖所示． (2)由(1)知，y＝?(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，?(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值為5. 3．(2018福州四校聯(lián)考)(1)求不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集； (2)設(shè)a，b均為正數(shù)，h＝max，證明：h≥2. 解析：(1)記f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ 由－2＜－2x－1＜0，解得－＜x＜，則不等式的解集為(－，)． (2)證明：h≥，h≥，h≥， h3≥≥＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，∴h≥2. 4．(2018石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝|ax－1|－(a－2)x. (1)當(dāng)a＝3時(shí)，求不等式f(x)＞0的解集； (2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)a＝3時(shí)，不等式可化為|3x－1|－x＞0，即|3x－1|＞x， ∴3x－1＜－x或3x－1＞x，解得x＞或x＜， 故f(x)＞0的解集為{x|x＜或x＞}． (2)當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)＝要使函數(shù)f(x)的圖象與x軸無交點(diǎn)， 只需得1≤a＜2； 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x＋1，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)； 當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)＝要使函數(shù)f(x)的圖象與x軸無交點(diǎn)， 只需此時(shí)無解． 綜上可知，當(dāng)1≤a＜2時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與x軸無交點(diǎn)．