2018版高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列學(xué)案 新人教B版必修5.doc
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2.1.1 數(shù) 列 1.理解數(shù)列的概念.(重點(diǎn)) 2.掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用.(重點(diǎn)) 3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1 數(shù)列的定義及分類 閱讀教材P25第一行~P25倒數(shù)第5行,及P26例1上面倒數(shù)第一、二自然段,完成下列問(wèn)題. 1.數(shù)列的概念及一般形式 2.數(shù)列的分類 類別 含義 按項(xiàng)的個(gè)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列 無(wú)窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列 按項(xiàng)的變化趨勢(shì) 遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 常數(shù)列 各項(xiàng)相等的數(shù)列 擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)1,7,0,11,-3,…,-1 000不構(gòu)成數(shù)列.( ) (2){an}與an是一樣的,都表示數(shù)列.( ) (3)數(shù)列1,0,1,0,1,0,…是常數(shù)列.( ) (4)數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,2,4,3是同一個(gè)數(shù)列.( ) 【解析】 (1).因?yàn)橹灰匆欢ù涡蚺懦傻囊涣袛?shù)就是一個(gè)數(shù)列,所以1,7,0,11,-3,…,-1 000是一個(gè)數(shù)列. (2).因?yàn)閧an}代表一個(gè)數(shù)列,而an只是這個(gè)數(shù)列中的第n項(xiàng),故{an}與an是不一樣的. (3).因?yàn)楦黜?xiàng)相等的數(shù)列為常數(shù)列,而1,0,1,0,1,0,…為擺動(dòng)數(shù)列,而非常數(shù)列. (4).兩個(gè)數(shù)列只有項(xiàng)完全相同,且排列的次序也完全相同才稱為同一個(gè)數(shù)列,數(shù)列1,2,3,4與1,2,4,3雖然所含項(xiàng)相同,但各項(xiàng)排列次序不同,故不是同一個(gè)數(shù)列. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 教材整理2 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 閱讀教材P25倒數(shù)第5行~P26倒數(shù)第4自然段,完成下列問(wèn)題. 1.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式an=f(n)來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù),關(guān)系如下表: 定義域 正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n}) 解析式 數(shù)列的通項(xiàng)公式 值域 自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成 表示方法 (1)通項(xiàng)公式(解析法);(2)列表法;(3)圖象法 1.下列四個(gè)數(shù)中,哪個(gè)是數(shù)列{n(n+1)}中的一項(xiàng)( ) A.380 B.392 C.321 D.232 【解析】 因?yàn)?920=380, 所以380是數(shù)列{n(n+1)}中的第19項(xiàng).應(yīng)選A. 【答案】 A 2.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的通項(xiàng)公式是an=( ) A.(10n-1) B. C.(10n-1) D.(10n-1) 【解析】 1-=0.9,1-=0.99,…,故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.應(yīng)選B. 【答案】 B 3.觀察下列數(shù)列的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)數(shù)填空:1, , , ,________,,…. 【解析】 據(jù)規(guī)律填寫可知通項(xiàng)為an=,∴a5=3. 【答案】 3 4.數(shù)列{an}滿足an=log2(n2+3)-2,則log23是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng). 【解析】 令an=log2(n2+3)-2=log23,解得n=3. 【答案】 3 [小組合作型] 數(shù)列的概念及分類 已知下列數(shù)列: ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016; ②1,,,…,,…; ③1,-,,…,,…; ④1,0,-1,…,sin,…; ⑤2,4,8,16,32,…; ⑥-1,-1,-1,-1. 其中,有窮數(shù)列是________,無(wú)窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,遞減數(shù)列是________,常數(shù)列是________,擺動(dòng)數(shù)列是________.(填序號(hào)) 【精彩點(diǎn)撥】 緊扣有窮數(shù)列,無(wú)窮數(shù)列,遞增數(shù)列,遞減數(shù)列,常數(shù)列及擺動(dòng)數(shù)列的定義求解. 【自主解答】 ①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列;②為無(wú)窮、遞減數(shù)列;③為無(wú)窮、擺動(dòng)數(shù)列;④是擺動(dòng)數(shù)列,是無(wú)窮數(shù)列,也是周期為4的周期數(shù)列;⑤為遞增數(shù)列,也是無(wú)窮數(shù)列;⑥為有窮數(shù)列,也是常數(shù)列. 【答案】 ①⑥?、冖邰堍荨、佗荨、凇、蕖、邰? 1.與集合中元素的性質(zhì)相比較,數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下特點(diǎn): ①確定性:一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的,集合中的元素也具有確定性; ②可重復(fù)性:數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù),而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性); ③有序性:一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān),而集合中的元素沒(méi)有順序(即無(wú)序性); ④數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù),而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物. 2.判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn).對(duì)于遞增、遞減、擺動(dòng)還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢(shì)來(lái)分析;而有窮還是無(wú)窮數(shù)列則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)有限還是無(wú)限. [再練一題] 1.給出下列數(shù)列: (1)2006~2013年某市普通高中生人數(shù)(單位:萬(wàn)人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,119,129,130,132,135. (2)無(wú)窮多個(gè)構(gòu)成數(shù)列, , , ,…. (3)-2的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…構(gòu)成數(shù)列-2,4,-8,16,-32,…. 其中,有窮數(shù)列是________,無(wú)窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,常數(shù)列是________,擺動(dòng)數(shù)列是________. 【解析】 (1)為有窮數(shù)列;(2)(3)是無(wú)窮數(shù)列,同時(shí)(1)也是遞增數(shù)列;(2)為常數(shù)列;(3)為擺動(dòng)數(shù)列. 【答案】 (1) (2)(3) (1) (2) (3) 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: (1),2,,8,,…; (2)9,99,999,9 999,…; (3),,,,…; (4)-,,-,,…. 【精彩點(diǎn)撥】 先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn),注意前后項(xiàng)間的關(guān)系,分子與分母的關(guān)系,項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系,每一項(xiàng)符號(hào)的變化規(guī)律,然后歸納出通項(xiàng)公式. 【自主解答】 (1)數(shù)列的項(xiàng),有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察:,,,,,…,所以,它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(n∈N+). (2)各項(xiàng)加1后,變?yōu)?0,100,1 000,10 000,…此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=10n-1(n∈N+). (3)數(shù)列中每一項(xiàng)由三部分組成,分母是從1開(kāi)始的奇數(shù)列,可用2n-1表示;分子的前一部分是從2開(kāi)始的自然數(shù)的平方,可用(n+1)2表示,分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù),可用n表示,綜上,原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(n∈N+). (4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n(n∈N+). 1.據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),需仔細(xì)觀察分析,抓住以下幾方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相鄰項(xiàng)的變化特征; ③拆項(xiàng)后的特征; ④各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想. 2.觀察、分析問(wèn)題的特點(diǎn)是最重要的,觀察要有目的,觀察出項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系、規(guī)律,利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問(wèn)題得到解決,對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化,可用(-1)n或(-1)n+1來(lái)調(diào)整. [再練一題] 2.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: 【導(dǎo)學(xué)號(hào):18082015】 (1)0,3,8,15,24,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)1,2,3,4,…; (4)1,11,111,1 111,…. 【解】 (1)觀察數(shù)列中的數(shù),可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2-1(n∈N+). (2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9,…,是連續(xù)的正奇數(shù),并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1)(n∈N+). (3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4,…恰好是序號(hào)n,分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的關(guān)系為,故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+=(n∈N+). (4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?,99,999,9 999,…,易知數(shù)列9,99,999,9 999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(10n-1)(n∈N+). [探究共研型] 數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義 探究1 數(shù)列,,,,,…的通項(xiàng)公式是什么?該數(shù)列的第7項(xiàng)是什么?是否為該數(shù)列中的一項(xiàng)?為什么? 【提示】 由數(shù)列各項(xiàng)的特點(diǎn)可歸納出其通項(xiàng)公式為an=,當(dāng)n=7時(shí),a7==,若為該數(shù)列中的一項(xiàng),則=,解得n=8,所以是該數(shù)列中的第8項(xiàng). 探究2 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-n2+2n+1,該數(shù)列的圖象有何特點(diǎn)? 試?yán)脠D象說(shuō)明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項(xiàng). 【提示】 由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知,數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y=-x2+2x+1圖象上的離散的點(diǎn),如圖所示,從圖象上可以看出該數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列,且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng),從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng). 已知數(shù)列. (1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng); (2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng),為什么? (3)求證:數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi). 【精彩點(diǎn)撥】 (1)將n=10代入數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.(2)由=求得n(n∈N+)是否有正整數(shù)解即可.(3)求函數(shù)an=的值域即可. 【自主解答】 設(shè)f(n)= ==. (1)令n=10,得第10項(xiàng)a10=f(10)=. (2)令=,得9n=300. 此方程無(wú)正整數(shù)解,所以不是該數(shù)列中的項(xiàng). (3)證明:∵an===1-, 又n∈N+, ∴0<<1,∴0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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