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第十五章 不等式選講
考綱解讀
考點
內(nèi)容解讀
要求
高考示例
??碱}型
預測熱度
不等式的解法及證明
1.理解絕對值的幾何意義并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R),|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R)
2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a
3.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法等
Ⅱ
2017課標全國Ⅰ,23;
2017課標全國Ⅱ,23;
2017課標全國Ⅲ,23;
2016課標全國Ⅰ,24;
2016課標全國Ⅱ,24;
2016課標全國Ⅲ,24;
2015課標Ⅰ,24;
2015課標Ⅱ,24
填空題、
解答題
★★☆
分析解讀
不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一,主要考查絕對值的幾何意義,絕對值不等式的解法及不等式證明的基本方法.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為10分,屬中檔題.
五年高考
考點 不等式的解法及證明
1.(2017課標全國Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
證明 (1)(a+b)(a5+b5)
=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
2.(2017課標全國Ⅲ,23,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.
解析 (1)f(x)=-3,x<-1,2x-1,-1≤x≤2,3,x>2.
當x<-1時, f(x)≥1無解;
當-1≤x≤2時,由f(x)≥1得,2x-1≥1,
所以1≤x≤2;
當x>2時,由f(x)≥1得x>2.
所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而
|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
=-|x|-322+54≤54,
且當x=32時,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.
故m的取值范圍為-∞,54.
3.(2016課標全國Ⅲ,24,10分)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(1)當a=2時,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)設函數(shù)g(x)=|2x-1|.當x∈R時, f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.
解析 (1)當a=2時, f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.(5分)
(2)當x∈R時,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
當x=12時等號成立,
所以當x∈R時, f(x)+g(x)≥3等價于|1-a|+a≥3.①(7分)
當a≤1時,①等價于1-a+a≥3,無解.
當a>1時,①等價于a-1+a≥3,
解得a≥2.
所以a的取值范圍是[2,+∞).(10分)
4.(2016課標全國Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=x-12+x+12,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|.
解析 (1)f(x)=-2x,x≤-12,1,-12
-1;(3分)
當-120.
(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:當a=1時,f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.
當x≤-1時,不等式化為x-4>0,無解;
當-10,解得230,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為x23a.
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面積為23(a+1)2.
由題設得23(a+1)2>6,故a>2.
所以a的取值范圍為(2,+∞).(10分)
6.(2015課標Ⅱ,24,10分)選修4—5:不等式選講
設a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d.證明:
(1)若ab>cd,則a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.
證明 (1)因為(a+b)2=a+b+2ab,
(c+d)2=c+d+2cd,
由題設a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.
因此a+b>c+d.
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因為a+b=c+d,所以ab>cd.
由(1)得a+b>c+d.
(ii)若a+b>c+d,則(a+b)2>(c+d)2,
即a+b+2ab>c+d+2cd.
因為a+b=c+d,所以ab>cd.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
綜上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.
7.(2014課標Ⅰ,24,10分)選修4—5:不等式選講
若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.
解析 (1)由ab=1a+1b≥2ab,得ab≥2,且當a=b=2時等號成立.
故a3+b3≥2a3b3≥42,且當a=b=2時等號成立.
所以a3+b3的最小值為42.
(2)由(1)知,2a+3b≥26ab≥43.
由于43>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.
教師用書專用(8—15)
8.(2014陜西,15A,5分)(不等式選做題)設a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則m2+n2的最小值為 .
答案 5
9.(2014江西,15,5分)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,則x+y的取值范圍為 .
答案 [0,2]
10.(2013陜西,15A,5分)(不等式選做題)設a,b∈R,|a-b|>2,則關于實數(shù)x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是 .
答案 (-∞,+∞)
11.(2015陜西,24,10分)選修4—5:不等式選講
已知關于x的不等式|x+a|0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:由a>0,有f(x)=x+1a+|x-a|≥x+1a-(x-a) =1a+a≥2,所以f(x)≥2.
(2)f(3)=3+1a+|3-a|.
當a>3時, f(3)=a+1a,由f(3)<5得3-1,且當x∈-a2,12時, f(x)≤g(x),求a的取值范圍.
解析 (1)當a=-2時,不等式f(x)1.
其圖象如圖所示.
從圖象可知,當且僅當x∈(0,2)時,y<0.
所以原不等式的解集是{x|012時,x的取值范圍是12,a.
2.(2018湖北荊州中學月考,23)已知函數(shù)f(x)=|x-3|.
(1)求不等式f(x)+f(2x)4,證明:f(x1)+f(x2)>12.
解析 (1)由f(x)+f(2x)4,∴f(x1)+f(x2)>12.
3.(2017河南考前預測,23)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-1|.
(1)求不等式f(x)+|x+1|<2的解集;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f(x-1)的最小值為a,且m+n=a(m>0,n>0),求4m+1n的最小值.
解析 (1)f(x)+|x+1|=-3x,x≤-1,-x+2,-1-23,所以x∈?;
當-10,所以00,n>0,所以4m+1n=12(m+n)4m+1n=125+4nm+mn≥125+24nmmn=92,
當且僅當4nm=mn,即m=43,n=23時等號成立.
所以4m+1n的最小值為92.
4.(2017廣東百校聯(lián)考,23)已知f(x)=|x+2|-|2x-1|,M為不等式f(x)>0的解集.
(1)求M;
(2)求證:當x,y∈M時,|x+y+xy|<15.
解析 (1)f(x)=x-3,x<-2,3x+1,-2≤x≤12,-x+3,x>12.
當x<-2時,由x-3>0,得x>3,所以x∈?;
當-2≤x≤12時,由3x+1>0,得x>-13,故-1312時,由-x+3>0,得x<3,故1232,(2x+1)+(2x-3)≤6
或-12≤x≤32,(2x+1)-(2x-3)≤6或x<-12,-(2x+1)-(2x-3)≤6,
解得324,解此不等式得a<-3或a>5.
2.(2018廣東珠海二中期中,23)已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m∈R).
(1)當m=-1時,求不等式f(x)≤2的解集;
(2)設關于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集為A,且34,2?A,求實數(shù)m的取值范圍.
解析 (1)當m=-1時,f(x)=|x-1|+|2x-1|,
f(x)≤2即|x-1|+|2x-1|≤2,
上述不等式可化為x≤12,1-x+1-2x≤2
或120,b>0,且a+b=1.
(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范圍;
(2)若4a+1b≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范圍.
解析 (1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴由基本不等式得ab≤a+b22=14,當且僅當a=b=12時等號成立.∵ab≤m恒成立,∴m≥14.
(2)∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,
∴4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab≥9,當且僅當a=2b=23時,等號成立.
故要使4a+1b≥|2x-1|-|x+2|恒成立,則|2x-1|-|x+2|≤9,
當x≤-2時,不等式可化為1-2x+x+2≤9,得-6≤x≤-2;
當-20時,-2a≤x≤4a.
因為不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},
所以-2a=-1,4a=2,解得a=2.
當a<0時,4a≤x≤-2a.
因為不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},
所以-2a=2,4a=-1,無解.
所以a=2.
(2)因為f(x)+f(-x)3=|2x-1|+|2x+1|3≥|(2x-1)-(2x+1)|3=23,
所以要使 f(x)+f(-x)3<|k|存在實數(shù)解,只需|k|>23.
解得k>23或k<-23.
所以實數(shù)k的取值范圍是-∞,-23∪23,+∞.
6.(2016福建“四地六?!钡谌温?lián)考,23)設函數(shù)f(x)=12x+1+|x-1|(x∈R)的最小值為a.
(1)求a;
(2)已知兩個正數(shù)m,n滿足m2+n2=a,求1m+1n的最小值.
解析 (1)函數(shù)f(x)=12x+1+|x-1|=-32x,x≤-2,-12x+2,-20,n>0,∴1mn≥43,
故有1m+1n≥21mn≥433,當且僅當m=n=32時取等號.
所以1m+1n的最小值為433.
C組 2016—2018年模擬方法題組
方法1 含有兩個絕對值的不等式的解法
1.(2018河南開封定位考試,23)已知函數(shù)f(x)=|x-m|,m<0.
(1)當m=-1時,解不等式f(x)+f(-x)≥2-x;
(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,求m的取值范圍.
解析 (1)當m=-1時,f(x)=|x+1|,設F(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|=-2x(x<-1),2(-1≤x<1),2x(x≥1),F(x)≥2-x,即x<-1,-2x≥2-x或-1≤x<1,2≥2-x或x≥1,2x≥2-x,解得x≤-2或x≥0,故原不等式的解集為{x|x≤-2或x≥0}.
(2)f(x)+f(2x)=|x-m|+|2x-m|,m<0,
當x≤m時,f(x)=m-x+m-2x=2m-3x,則f(x)≥-m;
當m-m2,解得m>-2,
由于m<0,所以m的取值范圍是(-2,0).
2.(2017湖南五市十校12月聯(lián)考,23)設函數(shù)f(x)=|x-1|-2|x+a|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]時恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)∵a=1,∴f(x)>1?|x-1|-2|x+1|>1
?x≤-1,-x+1+2(x+1)>1或-11或x>1,x-1-2(x+1)>1,
解得-20在x∈[2,3]時恒成立
?|x-1|-2|x+a|>0在x∈[2,3]時恒成立
?|2x+2a|1.
解析 (1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=2,x≥1,2x,-11,只需證|1-abc|>|ab-c|,
只需證1+a2b2c2>a2b2+c2,只需證1-a2b2>c2(1-a2b2),
只需證(1-a2b2)(1-c2)>0,
由a,b,c∈A,得-10恒成立.
綜上,1-abcab-c>1.
4.(2017四川廣安等四市一模,23)已知函數(shù)f(x)=|x+b2|-|-x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|,其中a,b,c均為正實數(shù),且ab+bc+ac=1.
(1)當b=1時,求不等式f(x)≥1的解集;
(2)當x∈R時,求證f(x)≤g(x).
解析 (1)當b=1時,f(x)=-2,x≤-1,2x,-1
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2019高考數(shù)學一輪復習
第十五章
不等式選講練習
2019
高考
數(shù)學
一輪
復習
第十五
不等式
練習
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